理論力學(xué)第7版第十三章達朗貝爾定理

1、,第十三章 動能定理,1. 常力在直線運動中的功:,單位: J（焦耳） 1 J = 1 Nm,力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。,力的功是代數(shù)量。時,正功；時,功為零；時,負(fù)功。,元功,2. 變力在曲線運動中的功:,令：,力 在 路程上的功：,（自然形式）,（矢量式）,（直角坐標(biāo)式）,1)、重力的功,質(zhì)點系:,由,重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,3. 常見力的功,質(zhì)點：,重力在三軸上的投影：,2、彈性力的功,k彈簧剛度系數(shù) (N/m),彈性力：,彈性力的功：,因,式中,即,彈性力的功只與彈簧在初始和末了位置的變形有關(guān)，與作用點路徑無關(guān)。,3. 定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功,若 常量,從角

2、轉(zhuǎn)動到角 過程中力 的功為：,同樣適用于剛體上作用一力偶所作的功。,當(dāng)質(zhì)心由 ，轉(zhuǎn)角由 時，力系的功：,平面運動剛體上力系的功，等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。,說明：1、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用；,2、C點為剛體上任意一點，上述結(jié)論仍成立；,3、計算力系的主矢、主矩時，不作功的力可 不考慮。,4. 平面運動剛體上力系的功,例：圖示彈簧原長l=100mm，剛性系數(shù)k=4.9KN/m,一端固定在點O，此點在半徑為R=100mm的圓周上。如彈簧的另一端由點B拉至點A和由點A拉至點D，AC垂直BC，OA和BD為直徑。分別計算彈簧力所作的功。,C,O,A,B,D,解：,對于彈簧作功：

3、,（m）,（m）,（m）,（m）,2、質(zhì)點系的動能,1、質(zhì)點的動能,單位：J（焦耳）,瞬時值,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量。,（1）平移剛體的動能,即,（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能,即,平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能 與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。,速度瞬心：P,（3）平面運動剛體的動能,上面結(jié)論也適用于剛體的任意運動。, 習(xí)題 P314 13-4 ,兩端乘 ，,1、質(zhì)點的動能定理,質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。,質(zhì)點動能定理 的微分形式,在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。,質(zhì)點動能定理 的積分形式,2、質(zhì)點系的動能定理,質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部

4、力所作的元功的和。,求和,質(zhì)點系動能定 理微分形式,質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。,質(zhì)點系動能定 理積分形式,3、理想約束,定義：約束力作功等于零的約束為理想約束。,1）光滑固定面約束、活動鉸支座、向心軸承、一 端固定的繩索類約束,力與位移垂直,2）固定鉸支座、固定端約束,位移為零,3）光滑鉸鏈、剛體二力桿、不可伸長繩索類約束,約束反力成對出現(xiàn)，作功之和為零,4）不計滾動摩阻時，純滾動（只滾不滑）的接觸點,無位移,對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可。,質(zhì)點系內(nèi)力作功之和不一定等于零。,質(zhì)點系內(nèi)力作功問題：,1）相互吸

5、引或排斥的質(zhì)點，兩力作功和不為零。,2）當(dāng)力作用點有滑動摩擦?xí)r，滑動摩擦力與 物體的相對位移相反，摩擦力作負(fù)功。,剛體（特殊的質(zhì)點系）所有內(nèi)力作功的和等于零。,例1 已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上; 均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動, 初始靜止 ;, M為常力偶。,求：輪心C走過路程S時的速度和加速度,解：,其中：,式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)，,已知：輪O的R1、m1,; 均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動, 初始靜止 ;, M為常力偶。,求：輪心C走過路程S時的速度和加速度,例2 沖擊試驗機m=18kg , l=840mm, 桿重不計，在 時靜止釋放，沖斷試件后擺至,求：沖斷試件需用的能

6、量,沖斷試件需要的能量為,解：,設(shè)沖斷試件所損失的能量為WK,例3 行星齒輪傳動機構(gòu), 放在水平面內(nèi)。 動齒輪半徑r ,重P, 視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q, 長l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動； 求曲柄的角速度 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示) 和角加速度。,解：取整個系統(tǒng)為研究對象,根據(jù)動能定理，,將式對t 求導(dǎo)數(shù)，,由 ，得,1、功率：,功率等于切向力與力作用點速度的乘積。,單位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S,作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率:,單位時間力所作的功。,2、功率方程,質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。,或,兩端除以dt,功率

7、方程,3、機械效率,機械效率,多級傳動系統(tǒng),表明機器對輸入功率的有效利用程度。是評定機器質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一。,對于有n級傳動的系統(tǒng)，總效率等于各級效率的連乘積。,( ),例1 已知：車床電動機功率,求：允許切削力F的最大值？若 ，問 允許的F的最大值。,解:,當(dāng),當(dāng),例2 已知 物塊質(zhì)量m ；彈簧原長 l0 .剛度系數(shù)k，質(zhì)量不計；滑輪半徑R ，轉(zhuǎn)動慣量J求：系統(tǒng)的運動微分方程。,解：,令 為彈簧靜伸長，即mg=k ,以自然位置為參考點,以平衡位置為參考點,1. 勢力場,勢力場：,力場：,若質(zhì)點在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。,重力場

8、、彈性力場、萬有引力場都是勢力場。,場力的功只與力作用點的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,質(zhì)點在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力)。如重力、彈力等。,（1）重力場中的勢能,（2）彈性力場的勢能,2. 勢 能,在勢力場中, 質(zhì)點從位置M 運動到任選位置M0, 有勢力所作的功稱為質(zhì)點在位置M 相對于位置M0的勢能。,M0作為基準(zhǔn)位置，勢能為零，稱為零勢能點。勢能具有相對性。,取彈簧的自然位置為零勢能點，,則有,（3）萬有引力場中的勢能,（零勢能點）,取零勢能點在無窮遠(yuǎn),質(zhì)點系的“零勢能位置”是各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置。,若質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。,質(zhì)點系在

9、某位置的勢能 質(zhì)點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和。,注：,例：已知均質(zhì)桿l, m， 彈簧剛度 k, AB水平時平衡，彈簧拉長變形,彈簧取自然位置O為零勢能點,重力以桿水平位置為零勢能點:,取桿平衡位置為彈簧和桿的零勢能點:,（重力-彈力系統(tǒng)常采用）,系統(tǒng)平衡,質(zhì)點系在勢力場中運動,有勢力功可通過勢能計算。,（零勢能點）,有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。,3. 機械能守恒定律,即：質(zhì)點系僅在有勢力作用下運動時，機械能守恒。此系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)。,機械能：系統(tǒng)的動能與勢能的代數(shù)和。,如質(zhì)點系還受到非保守力的作用，則類系統(tǒng)稱非保守系統(tǒng)。,非保

10、守力的功,卡住前 ：,卡住時：,解：,例 已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s勻速下降，鋼索 k=3.35 N/m，求: 輪D突然卡住時，鋼索的最大張力。,（平衡）,重物只受重力和彈力，系統(tǒng)機械能守恒。,（零勢能點）,即,由 有,已知：重物m, v勻速下降，鋼索 k，求: 輪D突然卡住時，鋼索的最大張力。, 例1 已知 輪I ：M，r, m1; 輪III :r，m3; 輪II ：R=2r, m2;壓力角為20o，物塊：mA；摩擦力不計。求：O1 O2處的約束力。,其中,解:,其中,M,研究 I 輪,壓力角為,研究物塊A,研究II輪,aA,例2 已知 m，R , k, CA=2R為無重彈簧原長，M為常力偶。求：圓心C 無初速度由最低點到達最高點時，O處約束力.,解：,整個系統(tǒng)：,O,O,已知，m，R, k, CA=2R為彈簧原長，M 為常力偶。求：圓心 C 無初速度由最低點到達最高點時，O 處約束力.,F,研究輪C：,act,acn,