0-場(chǎng)論與張量(數(shù)學(xué)基礎(chǔ))

1、1,笛卡爾張量,2,3 笛卡爾張量,一、張量,在三維空間和選定的坐標(biāo)系中，需要用3n個(gè)數(shù)來(lái) 定義的量稱(chēng)為n階張量,30 零階張量 一個(gè)分量,31 一階張量 三個(gè)分量,32 二階張量 九個(gè)分量,在直角坐標(biāo)系中，稱(chēng)笛卡兒張量； 在其他坐標(biāo)系稱(chēng)普遍張量 。,坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)能自身轉(zhuǎn)換而保持不變的量，統(tǒng)稱(chēng)為張量,3,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,x、y、z 分別計(jì)作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分別計(jì)作 a1、a2、a3， 分別計(jì)作,指標(biāo)表示法,直角坐標(biāo)的3個(gè)方向記做1、2、3，,4,求和約定,在同一項(xiàng)中如有兩個(gè)指標(biāo)相同時(shí)，就表示對(duì)該指標(biāo)從1到3求和,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,5,例如,指標(biāo) i

2、在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱(chēng)之為自由指標(biāo)。 一個(gè)自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1, 3, , n，與啞標(biāo)一樣，無(wú) 特別說(shuō)明總?cè)=3。于是，上式表示3個(gè)方程的縮寫(xiě)：,自由指標(biāo)和啞指標(biāo),在同一方程的所有項(xiàng)中出現(xiàn)的自由指標(biāo)必須相同。,6,i 為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo),表示,7,例題1. 展開(kāi)下列求和式，,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,解：,8,克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,與 相乘，相當(dāng)于把 的下標(biāo) j 置換為 i。,符號(hào)具有以下重要性質(zhì)：,9,符號(hào)具有以下重要性質(zhì)：,克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,置換符號(hào),i、j、k 偶排列， 123，2

3、31，312,i、j、k 中有兩個(gè)以上指標(biāo)相同時(shí),i, j, k 奇排列， 213，321，132,10,有以下重要性質(zhì)：,置換符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,11,重要公式匯總,（1）指標(biāo)表示法和求和約定,12,標(biāo)量是一維的量，它只需1個(gè)數(shù)來(lái)表示，如溫度、密度等。 矢量則不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空間坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸方向的3 個(gè)分量來(lái)表示，矢量是三維的量。 三維空間中的二階張量是一個(gè)9維的量，必須用9個(gè)分量才可完整地表示，如應(yīng)力，變形速率。 三維空間中的 n 階張量由 3n 個(gè)分量組成。 標(biāo)量和矢量是低階張量，標(biāo)量為零階張量，而矢量為一階張量。 笛卡爾張量。,（2

4、）笛卡爾張量,標(biāo)量、矢量和張量,13,二階張量 二階張量有 9 個(gè)分量，二階張量也可表示為矩陣形式，,標(biāo)量、矢量和張量,（2）笛卡爾張量,張量可以用黑體大寫(xiě)字母 表示，也可用它的一個(gè)分量 表示。,14,張量相等 兩個(gè)張量相等則各分量一一對(duì)應(yīng)相等。設(shè) ， 若 則,二階張量的代數(shù)運(yùn)算,若兩個(gè)張量在某一直角坐標(biāo)系中相等，則它們?cè)谌我庖粋€(gè)直角坐標(biāo)系中也相等。,（2）笛卡爾張量,15,張量加減 設(shè) 、 ，則,二階張量的代數(shù)運(yùn)算,張量的加減為其同一坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)元素相加減，只有同階的張量才 能相加減。,（2）笛卡爾張量,16,二階張量的代數(shù)運(yùn)算,張量乘積 設(shè) 、 ，分量相乘， 是 4 階張量。,可以證明一個(gè)

5、 m 階張量和一個(gè) n 階張量的乘積是 m + n 階張量。,（2）笛卡爾張量,17,若二階張量分量 之間滿足 則稱(chēng)此張量為對(duì)稱(chēng)張量，可表示為, 一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量，只有6個(gè)獨(dú)立的分量。,對(duì)稱(chēng)張量,共軛張量、對(duì)稱(chēng)張量、反對(duì)稱(chēng)張量和張量的分解,（2）笛卡爾張量,18,若二階張量分量 之間滿足 則稱(chēng)此張量為反對(duì)稱(chēng)張量，可表示為 一個(gè)二階反對(duì)稱(chēng)張量只有3個(gè)獨(dú)立的分量，對(duì)角線各元素均為零。,反對(duì)稱(chēng)張量,共軛張量、對(duì)稱(chēng)張量、反對(duì)稱(chēng)張量和張量的分解,（2）笛卡爾張量,19,張量分解定理 一個(gè)二階張量可以唯一地分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量之和 容易驗(yàn)證上式右邊第一項(xiàng)是對(duì)稱(chēng)張量，第二項(xiàng)是反對(duì)稱(chēng)張量。,共軛張量

6、、對(duì)稱(chēng)張量、反對(duì)稱(chēng)張量和張量的分解,（2）笛卡爾張量,20,梯度、散度和旋度,2.1 哈密爾頓（Hamilton）算子 哈密爾頓（Hamilton）算子是矢量微分算子，其定義如下：,2.2 數(shù)量場(chǎng)的梯度 設(shè)數(shù)量函數(shù),連續(xù)可微，則：,稱(chēng)為u的梯度。數(shù)量函數(shù)u的梯度是矢量，指向u變化率最大的方向。,21,2.3散度 設(shè)矢量函數(shù),的散度。矢量的散度是標(biāo)量。,連續(xù)可微，則稱(chēng)下式為矢量A,2.4旋度 設(shè)矢量函數(shù),連續(xù)可微，則稱(chēng)三階行列式,為A的旋度。上述行列式的展開(kāi)式為：,22,哈密頓算子,利用張量下標(biāo)表示法哈密頓算子可寫(xiě)為,一個(gè)具有微分及矢量雙重運(yùn)算的算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,23,利用哈密頓算子進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，需分別進(jìn)行微分和矢量?jī)煞N運(yùn)算。,梯度,散度,哈密頓算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,24,旋度,哈密頓算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,25,拉氏算子,哈密頓算子,（1）指標(biāo)表示法和符