3資金的時間價值與等值計算.ppt

1、資金的時間價值 普通復利公式 資金的等值計算,3 資金的時間價值與等值計算,礦業(yè)技術經濟學電子教案,本章學習目標,熟悉資金時間價值、資金等值的相關概念； 掌握現金流量的概念和構成； 熟練應用資金等值計算公式。,熟悉資金時間價值、資金等值的相關概念; 掌握現金流量的概念和構成; 熟練應用資金等值計算公式。,本章學習目標,3.1 資金的時間價值,給我一個支點我能撬動地球 阿基米德 給你足夠時間你將買下世界 技術經濟 數百年前十幾萬美元買下美國的一個州,3.1.1 資金時間價值的概念,俗話說“時間就是金錢”，今天用來投資的一筆錢，即使不考慮通貨膨脹因素，也比將來的等額資金更有價值。因為當前可用的資金

2、能進行即時投資并帶來收益，而將來才有的資金則不存在這種機會，也無法獲取相應的收益。 所謂“資金的時間價值”是指不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差別。,解燃眉之急,問題,在分析投資方案的經濟效果時，能否將不同時期發(fā)生的現金金額直接相加（求代數和）？先看下面的例子。,300 000,【引例 1 】孰多孰少,1 000 000,我暈,【引例 2 】開源節(jié)流,例3.1 某企業(yè)擬進行項目投資，目前有兩個方案可供選擇，兩者的投入與產出列于表 3.1 。如果其它條件都相同，問該企業(yè)應選擇哪個方案。,【引例 3 】朝三暮四,例 3.2 某企業(yè)面臨一投資項目，擬有兩個方案可供挑選，兩者的投資與收益如表 3.1

3、所示。若其它條件都一樣，問該企業(yè)應如何決策。,議論,不言而喻，例 3.1 的方案乙明顯劣于方案甲，因為投入少產出大；對于例 3.2，從直覺和常識來判斷，人們會認為方案丙要優(yōu)于方案丁。因為，盡管它們的投資總額和年凈收益總額相等，但是方案丙比方案丁可以晚 1 年投放 1000萬元的投資，并早 1 年獲得 4000萬元的凈收益。 先到手或晚出手的資金可以通過運作而產生新的價值。 這兩個例子表明，方案的優(yōu)劣不僅與資金收支的金額大小有關，而且與資金收支的時間早晚也密切相關。,資金時間價值的概念,資金的時間價值 ( time value of money ) 是指不同時間發(fā)生的等額資金在價值有差別。 把貨

4、幣作為社會生產資金（或資本）投入到生產或流通領域，就會得到資金的增值，資金的增值現象就叫做資金的時間價值。 從投資者角度看，是資金在生產與交換活動中給投資者帶來的利潤。 從消費者角度看，是消費者放棄即期消費所獲得的利息。,資金時間價值的含義,可以從三個方面對資金時間價值的含義進行解釋： 首先是貨幣增值因素(投資和消費)； 其次是通貨膨脹 (資金貶值)； 第三是承擔風險。 計劃不如變化，規(guī)劃是鬼話,美國用5千多萬美元買回大半國土,1803年4月，美法簽訂和約，以1500萬美元的價格，輕而易舉地獲得了260萬平方公里左右的土地，每平方公里不到5美元。,1819年2月22日，美西簽訂條約，美國僅花了

5、500萬美元就獲得15萬多平方公里的佛羅里達。,1848年2月2日，美國與墨西哥簽訂條約，美國只象征性地支付1500萬美元，就得到了包括加利福尼亞、新墨西哥地區(qū)在內的近140萬平方公里土地。,在1853年，美國駐墨西哥公使加茲登又以1000萬美元購得美墨邊境近10萬平方公里土地（后以“加茲登”命名此地）。,1867年3月，美國與俄國簽訂購買協議，以720萬美元絕對低廉的價格買到了面積達150多萬平方公里的巨大半島及其周邊的阿留申群島。,3.1.2 利息和利率,資金的時間價值體現為資金在運作過程中所帶來的收益或利息，它是衡量資金時間價值的絕對尺度。收益 (return) 一般用于表示由投資或經營

6、所產生的資金增值，利息(interest) 通常用于表示通過借貸而獲取的資金增值。 收益率或利率是指資金在單位時間內產生的增值(收益或利息) 與投入的資金額 (本金) 之比，即單位資金在單位時間內產生的收益或利息，它是衡量資金時間價值的相對尺度，記作 i 。 i 的大小表明資金增值的快慢。,何為利(息)率？怎么表示？,利 (息) 率是一個計息期中單位資金所產生的利息，一般用百分比表示，可用公式表示為： 上式中，分子中的單位時間稱為計息期，計息期可以是年、月、日等，依具體問題而定。因此又可以分為年利率、月利率和日利率。 年利率是按年計算利息，用本金的百分比(%)表示； 月利率是按月計算利息，用本

7、金的千分比(%o)表示； 日利率是按日計算利息，用本金的萬分比(%oo)表示；,長期存款 房貸 信用卡透支,1. 單利和復利,利息和利率是衡量資金時間價值的尺度，因此，可以用計算利息的方法來分析資金與時間的函數關系。 計算利息的方法主要有單利法 ( 簡單利率 )和復利法 ( 復合利率 ) 兩種。 利息可以按年計算，也可以按不等于一年的周期計算。用以表示計算利息的時間單位稱為計息期。,單利法,單利 ( simple interest ) 法是每期均按原始本金為基數的計息方法。這種計息法不論計息期數為多大，只有本金計息，而已產生的利息不再計息。 在以單利計息的方式下，利息與時間呈正比，即為線性關系

8、。 設 r 為單利利率，n 為計息期數， P 為原始本金， I 為利息總額，F 為期末本利和。則： I = P r n F = P + I = P ( 1+ n r ) 單利法的計息過程見表 3.3。,單利法計息過程舉例,假如以單利方式借入資金100元，年利率為6%。則各年的利息及本利和的計算如下表所示。,表3.3 單利法計息過程及本利和計算公式,單利法的計算公式,F = P ( 1+ n r ) P = F / ( 1+ n r ) r = ( F / P ) - 1 / n n = ( F / P ) - 1 / r 在我國，居民儲蓄的定期存款各商業(yè)銀行現行采用的都是單利計息，政府和企業(yè)發(fā)

9、行的各種債劵以前也大多是采用單利計息。,運用舉例,例 3.3 財政部 1997 年曾發(fā)行存期 n = 10 年、年利率 (單利) r = 12%、面額 P = 100 元的國庫券。問： (1) 該券種到期本利和是多少； (2) 若2002 年在證券市場以 176 元買入該券種，在余下的 5年中實際年利率 (單利) 為多少； (3) 若2005 年擬在證券市場購買該券種，要求余下的兩年中的年利率 (單利) r2不低于 3 %，該券種的價格應該不高于多少。,算例求解,解： (1) 設該券種到期本利和為 F，則 F = P ( 1+ n r ) = 100 ( 1 + 10 0.12 ) = 220

10、 (元) (2) 設該券種在買后 5 年中實際年利率為 r1 ，則 r1= ( 220 / 176 ) - 1 5 = 0.05 = 5 (%) (3) 設以不高于 C 元買入該券種，則 r2 = ( 220 / ) - 1 2 0.03 220 1.06 = 207.55 (元),復利法,復利 (compound interest) 法是以本金與累計利息之和為基數的計息方法。 在以復利計息的方式下，除本金計息外，前期利息也參入本期計息。復利法俗稱“利滾利”。 設 i 為復利利率，則本利和計算公式為 F = P ( 1 + i ) n 上式的推導過程見表3.4。 復利法的期末利息為 I = F

11、 - P = P ( 1 + i ) n - 1 ,復利法計息過程舉例,假如以復利方式借入一筆資金100元，年利率6%。則各年的利率及本利和的計算如下表所示。,復利法計息過程舉例,假如以復利方式借入一筆資金100元，年利率。則各年的利率及本利和的計算如下表所示。,表3.4 復利法期末本利和計算公式推導過程,復利法的計算公式,(1) F = P ( 1 + i ) n (2) P = F / ( 1 + i ) n = F ( 1 + i ) - n (3) i = ( F / P ) 1/ n - 1 (4) n = ( lg F - lg P ) / lg ( 1 + i ) 公式 (4)

12、的推導： 由公式 (1) 得 ( 1 + i ) n = F / P 上式兩邊取對數 lg ( 1 + i ) n = lg (F / P ) 上式對數變換 n lg ( 1 + i ) = lg F - lg P,算例,例 3.4 在我國國民經濟和社會發(fā)展“九五”計劃和 2010 年遠景目標綱要中提出“九五”期間我國國民生產總值的年平均增長率不低于 8 % ；按 1995 年不變價格計算，在 2010 年實現國民生產總值在 2000 的基礎上翻一番。問： (1) 已知我國國民生產總值在“八五”期末的 1995 年為 5.76 萬億元，“九五”期末的 2000 年的國民生產總值不低于多少萬億元

13、？ (2) 21 世紀的頭十年我國國民生產總值的年平均增長率為多少？,算例求解,解： (1) 設國民生產總值 1995 年為 P、 2000 年不低于F 萬億元，取 i = 8%，n = 5，由復利法的計算公式可得 F = P ( 1 + i ) n = 5.76 ( 1 + 0.08 )5 = 5.76 1.4693 8.5 ( 萬億元 ) (2) 設平均增長率為 i ，2000 年和 2010 年的國民生產總值分別為 P 和 F 萬億元，取 n = 10，由復利法的計算公式可得 i = ( F / P ) 1/ n - 1 = 2 1/10 - 1 1.072 - 1 = 7.2 %,19

14、91年 21781.5 1992年 26923.5 1993年 35333.9 1994年 48197.9 1995年 60793.7 1996年 71176.6 1997年 78973 1998年 84402.3 1999年 89677.1 2000年 99214.6,2001年 109655.2 2002年 120332.7 2003年 135822.8 2004年 159878.3 2005年 183867.9 2006年 210871 2007年 257306 246619 2008年 300670 2009年 335353,單利與復利的利息(透支利息),F = P ( 1 + n r

15、 ) = P ( 1 + 365 0.001 ) = 1.365 P ( 2.095 P ) F = P ( 1 + i ) n = P ( 1 + 0.001 ) 365 = 1.440 P ( 2.986 P ) 同一筆款項 P ，在利率 i 與 r 相同、計息期 n 相同的情況下，用復利計算的利息金額比用單利計算的利息金額要大。,單利與復利的換算,居民儲蓄定期存款年復利的計算,居民儲蓄定期存款年復利的計算公式： i = ( F / P ) 1/ n - 1 = ( 1 + n r ) 1/ n - 1 F = P ( 1 + i ) n，P = F / ( 1+ n r )，F / P

16、= ( 1 + n r ) i = ( 1 + r / m ) m -1,統(tǒng)一換算公式,我國居民儲蓄定期存款利率與對應的年復利的統(tǒng)一換算公式： ( 1 + i ) = ( 1 + r / m ) m i = ( 1 + r / m ) m -1 式中：r 為居民儲蓄定期存款利率 ( 存期小于 1 年時為名義利率，存期大于或等于 1 年時 為單利 )； m = 365 / 存期天數。,歷年存款利率表,單利與復利的利弊,由上述討論可以看出，單利與復利有如下差異： 單利計算利息的多少要比復利容易 復利判別利率的高低要比單利容易 復利體現資金時間價值規(guī)律比單利合理，并且直觀、明確 鑒于上述原因，在技術

17、經濟工作中通常采用復利法。,2. 有效利率、名義利率和實際利率,在實際經濟活動中，若不以年作為時間單位計息，如半年計息一次、一季計息一次、一月計息一次或一日計息一次，則會出現利率周期與計息周期不一致的問題。 例3.5 一筆貸款按月計息，月利率為 0.5 %，若分別以單利法和復利法計息，問這筆貸款的年利率各是多少?,利率周期與計息周期,利率是指一定時期內的利息與本金的比率，這里的 “ 一定時期 ” 就是利率周期。按照國際慣例，如沒有特別說明，利率通常是指年利率，即利率周期就是 “ 年 ”,或者說是以年為單位。 如前所述，計息周期可以是年，也可以是半年、季、月，甚至是日。 當利率周期與計息周期不一

18、致時，在復利法中就有名義利率和實際利率之分。,有效利率,有效利率( i)是指計息周期發(fā)生的真實利率。 在例3.5中是每月計息一次，利率為 0.5 %。這個 0.5 %，是實際計息采用的利率，也是資金在計息期發(fā)生的真實利率，就是有效利率。因此， i = 0.5 %。 當計息期為一年，此時的有效利率稱為年有效利率。,名義利率,(年)名義利率 ( r ) 是指計息期的有效利率 i 乘以一年中的計息期數 m 所得到的（字面上的）年利率。 如例3.5 的名義利率為 r = i m = 0.5 % 12 = 6 % 名義利率都是以年為時間單位，在實際計息中不用這個利率，它只是習慣上的表示形式。比如對于例3

19、.5 中的“月利率為 0.5 % ”，習慣說法為 “ 年利率為 6 %，每月計息一次?！?通常所說的年利率都是指名義利率。,實際利率,(年)實際利率 ( i )是指以利率周期 “ 年 ”作為計息期而得到的等價年有效利率。 當計息期短于一年時，以計息期的有效利率 i和一年中的計息期數 m 為參數，采用復利法計算實際利率。 設本金為 P ，一年后本利和為 F，則 F = P (1+ i)m 按利率定義得年實際利率,例 3.5 的實際利率,由實際利率 i = (1 + r / m )m - 1 計算例3.5 中貸款的年實際利率為: i = (1 + 0.06 / 12 )12 1 = (1+ 0.0

20、05 )12 - 1 = 1.0617 - 1 = 0.0617 = 6.17 %,三種利率的換算,設利率周期 ( 1 年 ) 內的計息次數為 m，則有效利率 i 、名義利率 r 和實際利率 i 三者之間存在下述換算關系： 名義利率 r = i m 有效利率 i = r / m (銀行計算存款利息) 實際利率 i = (1+ i)m - 1 = (1 + r / m )m - 1 當 m = 1 時，三種利率相等； 當 m 1 時，i r ； 當 m 時，稱為連續(xù)復利計息。,小結,有效利率是指計息期發(fā)生的真實利率 名義利率是（有效利率對應的）用單利法換算出來的年利率 實際利率是（有效利率對應的

21、）用復利法換算出來的年利率 在工程經濟分析中，如果各方案的計息期不同，就不能簡單地使用名義利率來評價，而必須換算成實際利率進行評價，否則會得出不正確的答案。,間斷復利與連續(xù)復利,年實際利率又分為間斷復利計息和連續(xù)復利計息兩種。 按期(年、半年、季、月或日)計息的方式稱為間斷復利計息。一年中計息期次愈多，則年實際利率較年名義利率愈高。年實際利率的上限可由連續(xù)復利計息方式求得。 按瞬間計息的方式稱為連續(xù)復利計息。在這種情況下，一年中計息期次為無窮大，年實際利率為,= e r - 1,間斷復利與連續(xù)復利的算例,表3.6 列出了名義利率為 6 % 時，由復利法按不同計息期次計算的年實際利率。,利息和利

22、率的作用,利率在國民經濟中的作用 利率是各國發(fā)展國民經濟國民經濟和管理經濟工作的金融杠桿 利息和利率在工程經濟活動的作用 利息是占用資金所付的代價或者是放棄使用資金所得的補償 利息促進企業(yè)加強經濟核算節(jié)約使用資金 利息和利率是以信用方式動員和籌集資金的動力,利率的高低,利率高低的影響因素： 利率的高低首先取決于社會平均利潤率的高低，并隨之正向變動。在通常情況下，平均利潤率是利率的上限 在平均利潤率不變的情況下，利率的高低取決于金融市場借貸資本的供求情況 借出資本的風險大小（借出資本要承擔風險） 借出資本的期限長短 通貨膨脹 (CPI) 對利率的波動有間接影響,利率與匯率 亞洲金融風暴,我國央行

23、時隔3年后的首度加息,2010年10月19日晚，央行宣布自10月20日起上調金融機構人民幣存貸款基準利率。其中，金融機構一年期存款基準利率上調0.25個百分點，由現行的2.25%提高到2.50%；一年期貸款基準利率上調0.25個百分點，由現行的5.31%提高到5.56%；除活期存款利率未調整外，其他各檔次存貸款基準利率均相應調整。,人民日報：央行為何揮出加息利劍,9月份CPI同比漲幅很可能高于8月份的3.5%，環(huán)比也可能上升，表明出現了翹尾因素之外的新漲價因素，物價還可能繼續(xù)上行。 這些新漲價因素包括全球大宗商品價格上漲帶來的輸入型通脹壓力、貨幣信貸仍在高位運行、房價大幅攀升后抬高日常消費的成

24、本等 。 隨著物價上漲，我國“負利率”已持續(xù)7個月之久，這不利于存款人增加收入、擴大消費，也可能導致居民強化投資股市、購買住房等意愿，不利于銀行體系資金穩(wěn)定。,3.2 普通復利公式,本節(jié)介紹在技術方案的經濟評價中用于資金等值換算的普通復利公式及與之相關的一些概念和方法。,3.2.1 現金流量及現金流量圖,對于一個經濟系統(tǒng)而言，如某個自然人或法人投放的資金、花費的成本、獲取的收益，都可看成是以貨幣形式體現的現金流出或現金流入。 現金流出 現金流入 通常用貨幣單位來計量工程技術方案的得失，,技術經濟分析的基本方法,技術經濟分析的基本方法是用現金流量而非會計帳目來衡量投資的得失。現金流量反映的是實際

25、發(fā)生的現金收支，而非應收、應付帳款及折舊、攤銷費用。 會計利潤是帳面數字、是紙上富貴；現金收益是真金白銀，能落袋為安。,經濟系統(tǒng)及其現金流入和現金流出,對于一個系統(tǒng) (如國家、部門、企業(yè)或個人等經濟實體 )，它的各種形式的支出和收入都可看作是以貨幣形式體現的資金流出和資金流入。在技術經濟分析中，為了對考察對象 ( 如一個投資方案 ) 進行經濟性評價，是按這個獨立對象的投入和產出來界定相關系統(tǒng)的資金流出和資金流入。,在技術經濟分析中，考察對象 ( 投資項目 ) 是特定的，而經濟系統(tǒng) ( 投資者 ) 是泛指的，研究的注意力是放在前者。因此，通常把某個系統(tǒng)相對于特定考察對象的現金流量說成是這個考察對

26、象的現金流量。,現金流量的概念,在技術經濟分析中： 把各個時間點流出系統(tǒng)的貨幣稱為現金流出 CO ( cash output )，流入系統(tǒng)的貨幣稱為現金流入 CI ( cash income )； 現金流入和現金流出統(tǒng)稱為現金流量 CF ( Cash Flow )； 同一時間點上的現金流入和現金流出的代數和稱為凈現金流量(NC)。,現金流量及其表達要素,要準確界定現金流量，必須把握住表達現金流量的三個要素：現金流量的大?。ㄙY金數額）、流向（資金流入或流出）和時間點（資金發(fā)生的時間）。,現金流量表,一個項目的實施，需要持續(xù)一定的時間。在項目的壽命期內，各種現金流量的數額和發(fā)生的時間不盡相同。為了

27、便于分析不同時間上的現金流入和現金流出，計算其凈現金流量，通常采用現金流量表的形式來表示特定項目（即某個經濟系統(tǒng)）在一定時間內發(fā)生的現金流量。,現金流量表（稅前）, 現金流量構成 ,1. 現金流出 (1) 投資 固定資產投資 流動資金 其他投資(包括預備費與建設期貸款利息), 現金流量構成 ,(2) 經營成本 經營成本是為技術經濟分析而提出的有別于財務會計中銷售成本的一種專門成本概念，計算公式為： 經營成本=總成本費用- 折舊及攤消費- 利息支出 總成本費用 = 生產成本+銷售費用+管理費用 + 財務費用, 現金流量構成 ,之所以扣除折舊與利息，是因為： 折舊是對固定資產磨損的價值補償，并不是

28、實際發(fā)生的現金流出，如再計入成本，會造成固定資產投資的重復計算。 貸款利息對于企業(yè)而言雖是實際的現金流出，但在考察全部投資的實際經濟效果時，并不考慮資金的來源問題，故無需考慮利息支出。, 現金流量構成 ,(3)稅金與規(guī)費 稅金是國家憑借政權的力量參與國民收入分配與再分配的一種方式。它的課目種類和計征辦法等，均由國家以法律法規(guī)的形式加以明確規(guī)定；未經授權，各地不得隨意增減、豁免。 規(guī)費即各種行政性收費，是中央或地方政府為執(zhí)行公務、提供服務或達到某種公共目的，以行政命令的形式向特定的對象征收的一種費用。, 現金流量構成 ,2. 現金流入 (1) 經營收入 經營收入是企業(yè)向社會出售其產品或勞務的貨幣

29、收入。 經營收入與總產值不同：總產值是企業(yè)的產品、半成品和在產品等按照某種價格計算的價值總和，是生產階段的效益反映，它不一定通過銷售并以貨幣形式表現出來，即企業(yè)不一定取得了實際的貨幣收入；而經營收入則是企業(yè)真正的經濟收益，是實際的現金流入。, 現金流量構成 ,(2) 固定資產殘值與流動資金回收 對于項目而言，固定資產殘值與流動資金都是在項目期的終了時可以回收的現金流入。,怎樣計算凈現金流量,(1) 項目建設期內的現金流量 表現為只有現金流出，暫無現金流入。 建設期的年凈現金流量-(建設投資 + 流動資金墊資) (2) 項目投、達產期的現金流量 投、達產期的年凈現金流量銷售收入經營成本 銷售稅金

30、流動資金增加額,怎樣計算凈現金流量,(3) 項目正常運營期的現金流量 正常運營期的年凈現金流量銷售收入經營成本 銷售稅金 (4) 項目壽命期末的現金流量 壽命期末的年凈現金流量銷售收入 + 回收固定資產 余值+回收流動資金經營成本銷售稅金,財務現金流量表,現金流量表由現金流入、現金流出和凈現金流量構成。 財務現金流量表主要用于建設項目財務評價。 財務現金流量表按其評價的角度不同可分為 項目財務現金流量表 資本金財務現金流量表 投資各方財務現金流量表 項目增量財務現金流量表 資本金增量財務現金流量表,現金流量構成的基本要素,投資、經營成本、銷售收入和稅金等是構成經濟系統(tǒng)財務現金流量的基本要素，這

31、些經濟要素也是進行工程經濟分析最重要的基礎數據。因此，必須明確各基本經濟要素的概念與計算。,現金流量圖,由于資金時間價值的存在，使不同時間上發(fā)生的貨幣無法直接加以比較。一定量的資金必須賦予相應的時間，才能表達其確切的價值概念。 為了對項目進行經濟評價和對方案進行比較，反映項目和各技術方案的費用、效益的大小及相應發(fā)生的時間，需要借助一個直觀的圖示系統(tǒng)來反映項目經濟活動的全過程，現金流量圖就是這樣一個有效的工具。 現金流量圖 (cash flow diagram) 是一種描述某個經濟系統(tǒng)資金運動狀態(tài)的二維圖式，（它能全面反映現金流量的三要素）。,現金流量圖的要素及形式,一個完整的現金流量圖一般具有

32、以下三個要素： 描述時間序列的水平數軸 表示現金流量的垂直箭線 用于資金等值計算的利率 ( 貼現率 ) 現金流量圖一般形式如右圖所示。,現金流量圖的要素及其解釋,水平數軸是一個向右延伸的時間軸。時間軸的單位長度一般代表計息周期或支付周期，每個單位數對應的時間點既表示本周期的結束時刻又表示下一周期的開始時刻。時間軸的總長度表示考察對象的壽命期，壽命期初為起點，期末為終點。時間軸上的點統(tǒng)稱為時點。 采用間斷復利計息時，時間軸實質上表示一個時間序列，只有整 數時點才是有 意義的。,現金流量圖的要素及其解釋(續(xù)1),垂直箭線表示現金流量，箭尾一般與時點相連。表示現金流出和流入的垂直箭線分別位于時間軸的

33、下方 (即箭頭向下) 和上方 (即箭頭向上)。垂直箭線的長短示意現金流量的大小，但無須嚴格按比例繪制，現金流量的金額可在箭頭的下方或上方用數值標出。,( i 0 ),現金流量圖的要素及其解釋(續(xù)2),由于資金時間價值的存在，不同時點上的現金流量不能直接進行比較，選取適當的貼現率就有了現金流量折算或比較的基準。,3.2.2 普通復利公式,基本概念 普通復利公式 復利系數之間的關系,1. 基本概念,資金的等值計算可以借助直觀的現金流量圖來描述。因此，在推導用于資金等值計算的復利公式之前，先引人幾個相關的基本概念： 時間軸：表示一個時間序列，只有整數點才有意義。 時點：時間軸上的點統(tǒng)稱為時點，長度為

34、 n 的時間軸有 n+1個時點，其中 n 個是期末 (或期初 ) 時點 1 n ( 0 n-1 )； 時值 T ( time value )：現金流量在時點上的數值；,時點與時值,壽命期數 n ( number )：表示以計算期為單位的時間軸長度，計算期一般取計息期或者支付期，依具體情況而定。,P,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,T0,( i 0 ),現值、終值和年值,現值 P ( present value ) ：時值在 ( 或者說時值折算為 ) 時間序列起點上的價值； 終值或將來值 F ( future value )：時值在時間序列終點上的價值；,P,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,

35、T0,( i 0 ),年值或年金 A (annuity )：時間序列中每期期末( 或期初 ) 時點上流向相同、金額相等的一系列時值，這種年金稱為后付年金( 或先付年金 ) 。在此，只討論后付年金。,P,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,T0,( i 0 ),貼現與貼現率,貼現 ( discount ) 與貼現率 i ：把時值換算成現值的操作稱為貼現或折現，貼現所用的利率稱為貼現率或折現率。,P,T1,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,T0,( i 0 ),2. 普通復利公式,一次支付終值公式 一次支付現值公式 等額分付終值公式 等額分付積累基金公式 等額分付資金回收公式 等額分付現值公式 均勻

36、梯度序列公式,(1) 一次支付終值公式,第 1 年年初存入本金 P ，利率為 i，問第 n 年年末本利和 F 是多少。 這項資金運作的現金流量圖如下，問題的實質是求時值的終值 F，計算公式為 F = P ( 1 + i )( 1 + i ) ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) n ( 3.1 ),F = ?,P,n 期,一次支付終值系數,式 (3.1) 稱為一次支付終值公式或一次支付復利公式 ( single-payment compound-amount formula )，式中的系數 ( 1 + i ) n 稱為一次支付終值系數，記為 ( F / P , i , n ) 。因此

37、，式 (3.1) 又可以寫成 F = P ( F / P , i , n ) = P ( 1 + i ) n ( 3.2 ) ( 1 + i ) n = ( F / P , i , n ) = F / P,(2) 一次支付現值公式,若 n 年后欲取得儲蓄金 F ，利率為 i ，問現在存入的本金 P 是多少。 如現金流量圖所示，這個問題的一般意義是求時值的現值 P ，亦是一次支付終值公式的逆向運算。,將式 (3.1)等號兩邊除以一次支付終值系數 ( 1 + i ) n ， 可得到計算公式 P = F ( 1 + i )- n ( 3.3 ),F,P = ?,一次支付現值系數,式 ( 3.3 )

38、稱為一次支付現值公式 ( single-payment present-value formula )，相應地，式中的系數 ( 1 + i )- n 稱為一次支付現值系數， 記為 ( P / F , i , n ) 。因此 P = F ( P / F, i , n ) ( 3.4 ),翻一番的 72 規(guī)則,售房高招,某房地產公司的商品房推行九折優(yōu)惠，幾個月過去了，但所吸引的顧客寥寥無幾。銷售部經理正好學習了有關資金的時間價值原理，于是他靈機一動，按當年的利率10 % 仔細一算，目前10 %的房款折扣，過 24 25 年又增值為一套房子的房款。這簡直太奇妙了！他立即著手起草了一份廣告，標題是：

39、100% 返款售房,售房廣告正文,廣告一出，即吸引了大批顧客。廣告正文如下： 您只要按原銷售價格購買一套住宅，則本公司將在第 23 25 年，分三次按照 20 %、30 %、50%的比例退還您的全部房款。屆時您便可用這筆錢再購買一套住宅，供您的子女結婚居住。如此循環(huán)下去，可使您的子孫后代都能在結婚成家時獲得一套住宅?？芍^一次投資，惠及千秋萬代。,售房高招之返款測算,設房款為 F，房款折扣為 P，已知 i =10%, 則 (1) F = P ( 1+ i ) n = 0.1F (1+ 0.1 ) n = 0.1F (1.1 ) n 1.1n = F / 0.1F = 10 (2) n = ( l

40、g F - lg P ) / lg ( 1 + i ) = lg ( F / P ) / lg ( 1 + i ) = lg 10 / lg 1.1 = 1 / lg 1.1 = 24.16 (年),(3) 等額分付終值公式序列,每年年末存入本金 A ，利率為 i，問第 n 年年末本利和 F 是多少。 這樣一種儲蓄方式就是所謂的 “零存整取”，問題是求年值 A 的終值 F。如相應的現金流量圖所示，等額,F = ?,分付的終值可以看作是 n 個一次支付的終值之和。,等額分付終值公式及其推導,運用一次支付終值公式可得 F = F1 + F2 + F3 + + Fn-1 + Fn = A(1+i)n

41、-1 + A(1+i)n-2 + + A(1+i) + A = A 1 + (1+i) + (1+i)2 + + (1+i)n-2 + (1+i)n-1 式中，1 + (1+i) + (1+i)2 + + (1+i)n-2 + (1+i)n-1 為一等比數列的前 n 項和，其公比為 (1+i )，按照求和公式它等于 1 - (1+i)n / 1 - (1+i) ，即 (1+i)n - 1 / i 。因此,( 3.5 ),等額分付終值系數,式 (3.5) 稱為等額分付終值公式或等額支付序列復利公式(uniform-series compound-amount formula )，式中的系數 (1

42、+i)n - 1 / i 稱為等額分付終值系數，可以用 ( F / A , i , n )表示。因此，式 (3.5) 又可以寫成 F = A ( F / A , i , n ) ( 3.6 ),算例,例3.8 資源 07級某本科生在大學四年里，每年開支 12 000 元，若年利率為 i = 3 %，問該生大四那年本科教育費用 F 是多少？ 解：相應現金流量圖如下，由式 ( 3.5 ) 可得,A = 12 000,F = ?,(4) 等額分付積累基金公式,額分付終值系數，可得到計 算公式,F,第 n 期期末要提取一筆款項 F ，利率為 i ，問每期期末存入本金 A 是多少。 如現金流量圖所示，這

43、個問題的意義是求終值的等價年值 ，亦是等額分付終值公式的逆運算。將式 (3.6)等號兩邊除以等,A = ?,( 3.7 ),等額分付積累基金系數,式 ( 3.7 ) 稱為等額分付償債基金公式或等額支付序列積累基金公式 (uniform-series sinking-fund deposit formula )，相應地，公式中的系數 i / (1+i)n - 1 稱為等額分付償債基金系數，記為 ( A / F , i , n ) 。因此 A = F ( A / F , i , n ) ( 3.8 ),算例,例3.9 資源 07 級某本科生的家長在該生小學畢業(yè)時就開始為其積攢 10 年后的本科教育

44、資金 50 203 元，若年利率為 i = 5 %，問每年需要存款多少？ 解：直接應用式( 3.8 )，計算可得 A=F(A/F , 5 % , 10) = 50 203 0.0795=3 991,(5) 等額分付資金回收公式,第 1 期期初發(fā)放貸款 P，n 期內收回全部本和息，利率為 i，問每期期末要回收的等額資金 A 是多少。 目前銀行的房貸就是采用這種方式，相應的現金流量圖如 下，問題是求 現值 P 的等價 年值 A 。,P,A = ?,等額分付資金回收公式及其推導,直接推導由 P 計算 A 的公式較為繁瑣，若借助等額分付積累基金公式 A = F ( A / F , i , n ) 和一

45、次支付終值公式 F = P ( F / P , i , n ) ，可得到 A 與 P 的關系 A = F ( A / F , i , n ) = P ( F / P , i , n ) ( A / F , i , n ) 即,( 3.9 ),等額分付資金回收系數,公式 ( 3.9 ) 稱為等額分付資金回收公式 ( uniform-series capital-recovery formula ) 或等額支付序列資金恢復公式，相應地，公式中的系數 i (1 + i ) n / (1+i ) n - 1 稱為等額分付資金回收系數，記為 ( A / P , i , n ) 。因此 A = P ( A

46、 / P , i , n ) ( 3.10 ),算例,例3.10 建行提供貸款 30 萬元購買住房，貸款期限 25 年，年利率為 6 %，每月計息一次，采用每月等額本息還款法。問每月還貸多少元？ 解：這是已知現值 P 求年金的問題，確切地說本例是求月供 A。設貸款期限 n =12 25 = 300 (月)，月有效利率 i = 0.06 12 = 0.005，則 A = P i (1 + i ) n/ (1 + i ) n - 1 = 300 0000.005(1+0.005)300/(1+0.005)300-1 = 300 000 (0.0054.465) (4.465-1) = 300 00

47、0 0.0223 = 1932.89 (元),(6) 等額分付現值公式,期數為 n ，每期期末提取等額資金A ，利率為 i，問第 1 期期初存入本金 P 是多少。 如現金流量圖所示，這個問題是求年值的等價現值 P ，亦是等額分付資金回收公式的逆運算。將式 (3.10) 等號兩邊除以,等額分付資金回收系數，可 得到計算公式,( 3.11 ),等額分付現值系數,式 ( 3.11 ) 稱為等額分付現值公式或等額支付序列現值公式 ( uniform-series present-value formula )，相應地，公式中的系數稱為等額分付現值系數，記為 ( P / A , i , n ) 。因此

48、P = A ( P / A , i , n ) ( 3.8 ),算例,例3.11 某項房貸月供 1932.89 元，還貸期限還剩 12.5 年，年利率為 6 %，每月計息一次。若現在欲一次還清剩余貸款，應支付多少錢？ 解：這是已知月供 A 求現值 P 的問題。設剩余貸款期限 n =12 12.5 = 150 (月)，月有效利率 i = 0.06 12 = 0.005，則 P = A(1 + i ) n - 1 / i (1 + i ) n = 1932.89 (1+0.005)150-1 /0.005(1+0.005)150 = 1932.89(1.1130 0.0106)= 1932.891

49、05.3455 = 203621.22 (元),(7) 均勻梯度序列公式,均勻梯度支付序列是在一定的基礎數值上逐期等差增 加或減少的現金流量。一般情況是將第 1 期期 末的現金流量 A1 作為基礎數值，然后 從第 2 期期末開始逐期按等差 額 G 遞增或等差遞減。 前者的現金 流量圖 如下。,現金流量的分解與轉換,比較簡便的方法是把一個均勻遞增的支付序列看作是由下列兩個支付序列的疊加；一個是由基礎數值 A1 組成的等額支付序列；另一個則是由 0，G，2G，(n-2)G，(n-1)G 組成的遞增支付序列。如果能把后者也轉換成一個等額支付序列 A2 ，那么整個均勻遞增支付序列就可以轉換成一個等額支

50、付序列 A = A1+ A2 。這種轉換關系如圖所示。,分解與轉換的圖示,均勻梯度序列公式及系數,事實上，A2 可以表示為 G 的函數，通過推導可得 上式稱為均勻梯度序列公式。式中系數稱為均勻梯度系數，記作 ( A / G , i , n )。因此 A2 = G ( A / G , i , n ) 當 G 0 時 A = A1+ A2 A1 當 G 0 時 A = A1+ A2 A1,退休金,例3.12 某企業(yè)按下述方式給一退休職工發(fā)放前十年的退休金：第 1 年 1 萬元，以后每年增加 3 百元 (該退休職工領取退休金的現金流量圖如下)。假如年利率為 5%，問與其等價的等額退休年金 A 是多少

51、？,解：設 A1=10 000 , G = 300 , i = 5 % , n = 10 . 則 A2 = 300 ( A / G , 0.05 , 10 ) = 300 4.0991 1 230 A = A1+ A2 = 11 230 元,萬元,等額本金還款法,例3.13 一項借貸，本金為 1 萬元，年利率為 10 %，期限10年，采用等額本金還款法，即每年歸還本金的十分之一，另外加上當年的利息。貸方收回貸款的現金流,量圖如下。問與其等價的等額本息還款法每年歸還的金額 A 是多少？ 解：A1=2000 , G = -100 , A2 = -100 ( A / G , 0.10 , 10 )

52、= -100 3.7255 = -372.55 A = A1+ A2 = 1627.45,六個基本公式,六個常用的普通復利公式,當問題包括P和A時，系列的第一個 A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當 問題包括F和A時，系列的最后一個 A是和F同時發(fā)生；,友情提示,運用利息公式應注意的問題: (1) 方案實施時的初始投資，假定發(fā)生在方案壽命期的期初； (2) 方案實施結束時的殘余價值，假定發(fā)生在方案壽命期的期末； (3) 方案實施過程中的經常性收支，假定發(fā)生在計息期期末； (4) 后付年金 A 是在考察期間各期期末發(fā)生。 (5) 均勻梯度系列中，第一個等差額 G 發(fā)生在考察期間的第二期期末。,復利系

53、數與金額換算,A,F,P,( F / A , i , n ),(A / F , i , n ),( P / A , i , n ),( F / P , i , n ),( P / F , i , n ),( A / P , i , n ),( 2 ) 連環(huán)關系 ( F/P, i , n )( A/F, i , n )( P/A, i , n ) =1 ( A/P, i , n )( F/A, i , n )( P/F, i , n ) =1 ( 3 ) 特殊關系 ( A/P, i , n ) - ( A/F, i , n ) = i,復利系數之間的關系,( 1 ) 倒數關系 ( F/P, i

54、, n )( P/F, i , n ) =1 ( A/F, i , n )( F/A, i , n ) =1 ( P/A, i , n )( A/P, i , n ) =1,( 2 ) 連環(huán)關系 ( F/P, i , n )( A/F, i , n )( P/A, i , n ) =1 ( A/P, i , n )( F/A, i , n )( P/F, i , n ) =1 ( 3 ) ( A/P, i , n ) - ( A/F, i , n ) = i,復利系數之間的關系,( 1 ) 倒數關系 ( F/P, i , n )( P/F, i , n ) =1 ( A/F, i , n )(

55、 F/A, i , n ) =1 ( P/A, i , n )( A/P, i , n ) =1,A,F,P,( F / A , i , n ),(A / F , i , n ),( P / A , i , n ),( F / P , i , n ),( P / F , i , n ),( A / P , i , n ),關系 ( 3 ) 的推導,( A / P, i , n ) - ( A / F, i , n ) = i,3.3 資金的等值計算,給我一個支點我能撬動地球 阿基米德 金 額 如 力 氣 利 率 當 支 點 時 間 是 杠 桿,3.3.1 等值的含義,如果兩個事物的作用是相同的

56、，則稱它們是等價的。 例如兩個力矩的等價 “ 等價 ” 一詞的原始含義是指資金或貨幣的價值相等，技術經濟分析中，資金的等價習慣地稱為資金的等值。 與資金價值相關的術語還有增值、貶值、保值等。,資金的等值,資金等值是考慮了資金時間價值的等值。即使資金的金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等；反之，不同時間上發(fā)生的金額不等，其資金的價值卻可能相等。 例如，在年利率 6 % 的情況下，現在的 300 元等值于 9 年后的 506.80=300 (F /P, 6% , 8) = 300 (1+0.06)8 元；相反，現在的 300 元與 9 年后的 300 元在年利率 6 % 的情況下，雖然

57、金額相等，由于生辰八字不同，其資金的價值并不相等。,資金等值的概念及因素,狹義地講，資金等值是指兩筆資金在同一時點的時值相等?；蚴侵竷烧叩男б嫦嗟取?廣義地說，若兩個現金流量的貼現值相等，則稱它們是等值的。反之，若有兩個現金流量等值，則兩者在任何時點上的時值均相等。特別地，它們的現值終值年值也相等 現金流量是由一系列時值組成，現金流量的貼現值是其中所有時值貼現值的疊加。顯然，時值的貼現值與本身金額的大小，發(fā)生時間的早晚(時點的位置) 以及貼現率的高低三者有關。 資金等值的三個影響因素：資金的金額、資金的發(fā)生時間和利率。,現金流量的等值,某企業(yè)獲得 10 萬元貸款，還款期 5 年，年利率 10

58、%。這筆貸款有好幾種歸還方式，下面列舉了幾種典型的還款法： 方法 1 ( 等額本金還款法 ) ； 方法 2 ( 等額本息還款法 ) ； 方法 3 ( 一次本金還款法 ) ； 方法 4 ( 一次本息還款法 ) ； 方法 5 ( 扣息本金還款法 ) 。( 6.21萬元 ),還貸方式與還貸金額,還貸方式的現金流量圖,3.3.2 等值的計算,等值的計算是指時值或者現金流量的等值變換。等值計算的工具是普通復利公式。 等值計算涉及計息期、支付期和計算期三個時間概念： 計息期是指相鄰兩次計息的時間間隔 支付期是指現金流量相鄰兩次支付的時間 間隔 計算期是指等值計算所采用的時間間隔,1. 現金流量的整理,對于