3.4極大線性無關(guān)組.ppt

1、定理1:,復(fù)習(xí)n維向量及線性相關(guān)性,或者，令,定義：,或者，令,推論2： mn時， m 個n維向量必線性相關(guān).,推論3： n個n維向量線性無關(guān),即 它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零.,（注：m個未知數(shù)，卻只有n個方程）,例4的等價命題是: 若向量組a1,a2,.,am線性無關(guān), 則其任一部分組都是線性無關(guān)的.,例4 證明:若向量組a1,a2,.,am中有一部分向量線性相關(guān), 則該向量組線性相關(guān).,證 不妨設(shè)a1,a2,.,ar線性相關(guān)(rm), 于是有不全為零的數(shù) k1,k2,.,kr使 k1a1+k2a2+.+krar=0,從而有 k1a1+k2a2+.+krar+0ar+1+.+0am=0,這

2、就證明了a1,a2,.,as線性相關(guān).,對一向量組, 如部分相關(guān), 則整體相關(guān), 如整體無關(guān), 則任一部分必?zé)o關(guān).,因此b1,b2,b3線性相關(guān).,例5 設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān), 又b1=a1+a2+2a3, b2=a1-a2, b3=a1+a3, 證明b1,b2,b3線性相關(guān).,證 : 設(shè) x1b1+x2b2+x3b3=0,即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0,(x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)a3=0,由于a1,a2,a3線性無關(guān), 必有,定理：如果一組n維向量a1,a2,.,am線性無關(guān), 那么把這些 向量各任意

3、添加t個分量所得到的新向量組也是線性無關(guān);,這即是說對于上述不全為0的數(shù)k1，k2，km有,第3.4節(jié) 向量組的極大 線性無關(guān)組,線性代數(shù),一、等價向量組,即,自反性：一個向量組與其自身等價；,對稱性：若向量組 與 等價，則 和 等價；,傳遞性： 與 等價, 與 等價，則 與 等價。,數(shù)學(xué)上一般將具有上述三種性質(zhì)稱為等價關(guān)系；,等價向量組的基本性質(zhì),(2),則向量組 必線性相關(guān)。,推論2：兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必包含相同個數(shù)的向量。,二、向量組的極大線性無關(guān)組,定義2:,注:,（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.,簡稱極大無關(guān)組。,（2）任意r1個向量都線性相關(guān)。（如果有的話）,那么

4、稱部分組 為向量組 的一個極大線性無關(guān)組。,（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。,（3）一個向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性 表示,例如：在向量組 中，,注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。,例1 全體n維實向量構(gòu)成的集合記為Rn，求Rn的 一個最大無關(guān)組。,解: 因為n個單位坐標向量e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,，0), , en = (0,0,1)是線性無關(guān)的，,而Rn中任意向量都可用e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,，0), , en = (0,0,1)線性表示，,因此e1, e2 , , en 就是R n的一個最

5、大無關(guān)組。,注: 以后稱Rn為n維歐幾里得空間，且稱它 的一個最大無關(guān)組為Rn的一組基。,極大無關(guān)組的一個基本性質(zhì)：,任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。,又，向量組的極大無關(guān)組不唯一，而每一個極大無關(guān)組都 與向量組等價，所以：,向量組的任意兩個極大無關(guān)組都是等價的。,由等價的線性無關(guān)的向量組必包含相同個數(shù)的向量，可得,一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價， 且所含向量的個數(shù)相同。,定理：,三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,定義3：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù) 稱為這個向量組的秩, 記作,例如： 向量組 的,秩為2。,1. 向量組的秩,（4）等價的向量組必有相同的秩。,關(guān)于向量組的秩的結(jié)論

6、：,（1）零向量組的秩為0。,注：兩個有相同的秩的向量組不一定等價。,2. 矩陣的秩,2.1. 行秩、列秩、矩陣的秩,把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認為由這些行向量組成， 把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認為由這些列向量組成。,定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩; 矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。,例如：矩陣,的行向量組是,因為，由,即,可知,線性相關(guān)。,所以矩陣A的行秩為3。,矩陣A的列向量組是,而,所以矩陣A的列秩是3。,問題：矩陣的行秩 矩陣的列秩,引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。 （列） （列）,（1）對換矩陣A的兩行,A的行向量組所含向量未變，所以

7、向量組的秩不變， 所以矩陣A的行秩不變。,（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行,又等價的向量組有相同的秩，,即A的行秩不變。,（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上,所以兩個向量組等價，所以行向量組的秩不變， 所以矩陣的行秩不變。,引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。 （列） （行）,證：設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽，,即存在有限個初等矩陣,使得,不妨設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為,（可交換列的次序把它們換到前r列，矩陣的秩不變）,則,因為P為初等矩陣的乘積，所以P可逆。,線性無關(guān)。,（2）再證B的列向量組中任一向量,可由向量組,線性表示。,是A的列向量組的極大無關(guān)組,使得,所以，B的列秩r

8、A的列秩,綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。,定理：矩陣的行秩矩陣的列秩,證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)?形式，,而它的行秩為r，列秩也為r。,又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定義5：矩陣的行秩矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。,記為r(A),或rankA，或秩A。,推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。,2.2 矩陣秩的求法.,行階梯形矩陣：,例如：,特點：,(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；,(2)每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元,行最簡形矩陣：,在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求

9、非零行的第一個非零元 為數(shù)1，且這些1所在的列的其他元素全都為零。,例如：,注：對于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變 為 行階梯形矩陣和行最簡形矩陣。,解：看行秩,例2：求上三角矩陣的秩,線性無關(guān)，,所以矩陣的秩行向量組的秩3非零行的行數(shù),結(jié)論：行階梯形矩陣的秩非零行的行數(shù),證明：只要證明在行階梯形矩陣中那些非零的行 是線性無關(guān)就行了。,設(shè)A是一階梯形矩陣，不為零的行數(shù)是r。,因為初等列變換不改變矩陣的秩，所以適當?shù)?變換列的順序，不妨設(shè),其中,顯然，左上角的r個r維行向量線性無關(guān)，當分量增加為 n維時依然無關(guān)，所以矩陣A的非零行的向量是線性無關(guān)的。,加上任一零行即相關(guān)，所以 矩陣A

10、的秩矩陣A的行秩非零行的行數(shù),求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形 矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。,非零子式的最高階數(shù),由階梯形矩陣有三個非零行可知,求向量組的秩、極大無關(guān)組的步驟.,r(A)=B的非零行的行數(shù),（3）求出B的列向量組的極大無關(guān)組,（4）A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)部分的列向量組 即為A的極大無關(guān)組。,（根據(jù)見引理2：初等行變換不改變列秩，且保持線性關(guān)系不變）,解：,又因為B的1，2，5列是B的列向量組的一個極大無關(guān)組,考慮：是否還有其他的極大無關(guān)組？,與,解：設(shè),則B的1，2列為極大無關(guān)組，且,2.3 矩陣秩的性質(zhì),重要性質(zhì)：任何矩陣

11、與可逆矩陣相乘，秩不變。,3.矩陣的秩與行列式的關(guān)系,定理:,n階方陣A，,即A為可逆矩陣（也稱為滿秩矩陣）,A的n個行（列）向量線性無關(guān),A的n個行（列）向量線性相關(guān),例6 設(shè)n維向量組Aa1,a2,an 性無關(guān), 討論Bb1=a1+a2 , b2=a2+a3, bn-1=an-1+an, bn=an+a1的線性關(guān)系.,證 : 向量組b1 ,b2, bn 可以由向量組a1,a2,an 線性表出 ，可以記為,性質(zhì)1 r(A+B)r(A)+r(B),證 設(shè)A,B均是mn矩陣, r(A)=p, r(B)=q, 將A,B按列分塊為,A=a1,a2,.,an, B=b1,b2,.,bn, 于是 A+B=a1+b1,a2+b2,.,an+bn.,不妨設(shè)A和B的列向量組的極大無關(guān)組分別為a1,a2,.,ap和b1,b2,.,bq,于是A+B的列向量組可由a1,a2,.,ap, b1,b2,.,bq線性表示,因此,