隨機(jī)變量及其分布.ppt

1、2.1 隨機(jī)變量 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布律 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)分布 2.6 小結(jié),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2.1 隨機(jī)變量,(1) 擲一顆骰子， 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) X 1，2，6. (2) n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù) Y 0，1，2，n (3) 某商場(chǎng)一天內(nèi)來的顧客數(shù) Z 0，1，2， (4) 某種型號(hào)電視機(jī)的壽命 T : 0, +),2.1.1 隨機(jī)變量的定義,定義2.1.1 設(shè) =為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間， 稱定義在上的實(shí)值單值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量.,注 意 點(diǎn) (1),(1) 隨機(jī)變量X()是樣本點(diǎn)的函數(shù)，,其定義域?yàn)?/p>

2、 ，其值域?yàn)镽=(，),若 X 表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)， 則 X=1.5 是不可能事件.,(2) 若 X 為隨機(jī)變量，則 X = k 、 a X b 、 均為隨機(jī)事件.,即 a X b =；a X() b ,注 意 點(diǎn) (2),(3) 注意以下一些表達(dá)式：,X = k= X kX k；,a X b = X bX a；, X b = X b.,(4) 同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.,若隨機(jī)變量 X 可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或 可列個(gè)，則稱 X 為離散隨機(jī)變量. 若隨機(jī)變量 X 的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 a, b，則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量. 前例中的 X, Y, Z 為離散隨機(jī)變量； 而 T

3、為連續(xù)隨機(jī)變量.,兩類隨機(jī)變量,2.2 離散隨機(jī)變量及其分布律,設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的可能取值為： x1，x2，xn， 稱 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 為 X 的分布律. 分布律也可用表格形式表示：,X x1 x2 xn ,P p1 p2 pn ,分布律的基本性質(zhì),(1) pi 0， (2),(正則性),(非負(fù)性),注 意 點(diǎn) (1),求離散隨機(jī)變量的分布律應(yīng)注意：,(1) 確定隨機(jī)變量的所有可能取值;,(2) 計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率.,2.2.1 常用離散分布,1. 二項(xiàng)分布 記為 X b(n, p). X為n重伯努利里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)，稱 b(1, p) 為 0

4、-1分布.,試驗(yàn)次數(shù)為 n=4,“成功”即取得合格品的概率為 p=0.8,所以, X b(4, 0.8),思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ？,Y b(4, 0.2),一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項(xiàng)分布.,例2.2.1 設(shè)X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).,解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9.,由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0),所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，,從而解得: p = 2/3.,= 1- (1p)4 = 80

5、/81.,若隨機(jī)變量 X 的概率分布為,則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布,記為 X P().,2. 泊松分布,泊松定理,定理2.2.1,(二項(xiàng)分布的泊松近似),在n重伯努里試驗(yàn)中，記 pn 為一次試驗(yàn)中 成功的概率.,若 npn ，則,記為 X h(n, N, M).,超幾何分布對(duì)應(yīng)于不返回抽樣模型 ：,N 個(gè)產(chǎn)品中有 M 個(gè)不合格品，,從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X .,3. 超幾何分布*,記為 X Ge(p),X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).,幾何分布具有無記憶性，即：,P( X m+n | X m ) = P( X n ),4. 幾何分布*,5. 負(fù)二項(xiàng)分布(

6、巴斯卡分布) *,記為X Nb(r, p).,X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中， “第 r 次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).,注 意 點(diǎn),(1) 二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立 0-1 隨機(jī)變量之和.,(2) 負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和.,定義2.3.1 設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 稱 F(x)=P( X x) 為 X 的分布函數(shù). 基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不減（非減）； (2) 有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1； (3) 右連續(xù).,2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),注 意 點(diǎn) (1),對(duì)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：,(1) F(x)是遞增的階梯函數(shù);,(2) 其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的

7、;,(3) 其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn);,(4) 其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值.,例2.3.1,已知 X 的分布律如下：,X 0 1 2,P 1/4 1/2 1/4,求 X 的分布函數(shù).,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例2.3.2,已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布律.,2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 (a, b). 因?yàn)閷?duì)連續(xù)隨機(jī)變量X，有P(X=x)=0， 所以無法借鑒離散隨機(jī)變量用P(X=x) 來描述連續(xù)隨機(jī)變量X的分布. 注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.,定義2.4.1,設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為F(x

8、),則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量，,若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x) ，滿足：,稱 f(x)為概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度.,密度函數(shù)的基本性質(zhì),滿足(1) (2)的函數(shù)都可以看成某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).,(非負(fù)性),(正則性),(3) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).,(4) 當(dāng)F(x) 在x點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), f(x) =,當(dāng)F(x) 在x點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí), 可令f(x) =0.,密度函數(shù)的基本性質(zhì),注意點(diǎn)(1),(1),(2) F(x) 是 (, +) 上的連續(xù)函數(shù); (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;,連續(xù)型,密度函數(shù) X f(x) ( 不

9、唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,離散型,分布律: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較,5. F(x)為階梯函數(shù)。,5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,例2.4.1,設(shè) X ,求 (1) 常數(shù) k. (2) F(x).,(1) k =3.,(2),解：,例2.4.2,設(shè) X ,求 F(x).,解：,設(shè)X與Y同分布，X的密度為,已知事件 A = X a 和 B = Y a 獨(dú)立，,解: 因?yàn)?P(A) = P(B),P(AB) =

10、 P(A)+P(B)P(A)P(B),從中解得,且 P(AB)=3/4,求常數(shù) a .,且由A、B 獨(dú)立，得,= 2P(A) P(A)2 = 3/4,從中解得: P(A)=1/2,由此得 0a 2 ,因此 1/2 = P(A) = P( X a ),例2.4.3,設(shè) X f(x)，且 f(x) = f(x)，F(xiàn)(x)是 X 的分布函數(shù)， 則對(duì)任意實(shí)數(shù) a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 1,練習(xí),2.4.1 重要的連續(xù)隨機(jī)變量,均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、 伽瑪分布*、貝塔分布* 。,記為X U(a, b),2.4.1 均勻分布,X

11、U(2, 5). 現(xiàn)在對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于 3 的概率.,解：,記 A = X 3 ,則 P(A) = P( X 3) = 2/3,設(shè) Y 表示三次獨(dú)立觀測(cè)中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y b(3, 2/3)，所求概率為,P(Y2) =,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2.4.4,2.4.2 指數(shù)分布,記為 X Exp(),其中 0.,特別：指數(shù)分布具有無記憶性，即：,P( X s+t | X s )=P( X t ),記為X N(, 2),其中 0， 是任意實(shí)數(shù)., 是位置參數(shù)., 是尺度參數(shù).,2.4.3 正態(tài)分布（高斯分布）,y,x,O,正態(tài)分布的性質(zhì)

12、,(1) f(x) 關(guān)于x= 是對(duì)稱的.,f(x),x,0,在 點(diǎn) p(x) 取得最大值.,(2) 若 固定, 改變,(3) 若 固定, 改變,大,f(x)左右移動(dòng),形狀保持不變., 越大曲線越平坦;, 越小曲線越陡峭.,p(x),x,0,x,x,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1),密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).,(x) 的計(jì)算,(1) x 0 時(shí), 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.,(2) x 0時(shí), 用,若 X N(0, 1), 則 (1) P(X a) = (a); (2) P(Xa) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(a

13、Xa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1,例2.4.5 設(shè) X N(0, 1), 求 P(X1.96) , P(|X|1.96),= 1 (1.96),= 1(1 (1.96),= 0.975 (查表得),= 2 (1.96)1,= 0.95,= (1.96),解: P(X1.96),P(|X|1.96),= 2 0.9751,設(shè) X N(0, 1), P(X b) = 0.9515, P(X a) = 0.04947, 求 a, b.,解: (b) = 0.9515 1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66,而 (a

14、) = 0.0495 1/2, 所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65,例2.4.6,一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化,定理2.4.1 設(shè) X N(, 2),則 Y N(0, 1).,推論:,若 X N(, 2), 則,若 X N(, 2), 則 P(Xa) =,設(shè) X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).,解: P(10X13) = (1.5)(0),= 0.9332 0.5,P(|X10|2) =,P(8X12),= 2(1)1,= 0.6826,= 0.4332,例2.4.7,設(shè) X N(, 2),

15、P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .,例2.4.8, = 1.76 =4,解:,已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk, 則 k = ( ).,3,練習(xí)(1),設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對(duì)任意的 ，都有 p1 = p2 對(duì)任意的 ，都有 p1 p2,練習(xí)(2),設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定,練習(xí)(3),正態(tài)分布的 3 原則,設(shè) X N(, 2), 則,P( | X | ) = 0.68

16、26.,P( | X | 2 ) = 0.9544.,P( | X | 3 ) = 0.9974.,2.4.4 伽瑪分布*,記為 X Ga(, ),其中 0， 0.,為伽瑪函數(shù).,稱,注意點(diǎn),(1),(1) = 1, (1/2) =,(n+1) = n!,(2),Ga(1, ) = Exp(),Ga(n/2, 1/2) = 2(n),2.4.5 貝塔分布*,記為 X Be(a, b),其中a 0，b 0.,稱,為貝塔函數(shù).,注意點(diǎn),(1),(2),B(a, b) =B(b, a),B(a, b) =(a)(b) /(a+b),(3),Be(1, 1) = U(0, 1),2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)

17、的分布,問題：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。,例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .,當(dāng) X 為離散隨機(jī)變量時(shí)， Y = g(X) 為離散隨機(jī)變量.,將g(xi) 一一列出, 再將相等的值合并即可.,2.5.1 離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2.5.2 連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布,定理2.5.1 設(shè) X fX(x)，y = g(x) 是 x 的嚴(yán)格 單調(diào)函數(shù)，記 x = h(y) 為 y = g(x) 的反函數(shù), 且h(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y = g(X)的密度函數(shù)為:,例2.5.1 設(shè) X ,求 Y =eX 的分布.,y = ex 單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù) x = h(y) = lny,所以當(dāng) y 0 時(shí),由此得,解：,正態(tài)變量的線性不變性,定理2.5.2 設(shè) X N (, 2)，則當(dāng)a 0 時(shí)， Y = aX+b N (a +b, a22).,由此得： 若 X N