抽象函數(shù)解題方法與技巧

1、抽象函數(shù)解題方法與技巧函數(shù)的周期性：1、定義在xR上的函數(shù)y=f(x)，滿(mǎn)足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a0)恒成立，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；2、若y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a和x=b對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；3、若y=f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；4、若y=f(x) 的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,0)和一條對(duì)稱(chēng)軸x=b（ab），則函數(shù)y=f(x)是周期為4|a-b|的周期函數(shù)；5、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a+x)=f(a-x)，其中a0，且如果y

2、=f(x)為奇函數(shù)，則其周期為4a；如果y=f(x)為偶函數(shù)，則其周期為2a；6、定義在xR上的函數(shù)y=f(x)，滿(mǎn)足f(x+a)=-f(x)，則y=f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)；7、若在xR恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；8、若在xR恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)。（7、8應(yīng)掌握具體推導(dǎo)方法，如7）函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性：1、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a+x)=f(b-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；2、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)；3、若函數(shù)

3、y=f(x)滿(mǎn)足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；4、曲線(xiàn)f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程為f(2a-x,2b-y)=0；5、形如的圖像是雙曲線(xiàn)，由常數(shù)分離法知：對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)；6、設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；7、若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x+a對(duì)稱(chēng)。一、 換元法 換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)二、方程組法 運(yùn)用方

4、程組通過(guò)消參、消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題。例2三、待定系數(shù)法 如果抽象函數(shù)的類(lèi)型是確定的，則可用待定系數(shù)法來(lái)解答有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題。例3已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).四、賦值法 有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決。例4對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿(mǎn)足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,則f(2001)=_.例5已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b都滿(mǎn)足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論

5、;五、轉(zhuǎn)化法 通過(guò)變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問(wèn)題的解決帶來(lái)極大的方便.例6設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0時(shí)f(x)0且a1)f(x+y)=f(x)f(y)對(duì)數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx例10已知實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)恒滿(mǎn)足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5個(gè)實(shí)根,則這5個(gè)根之和=_例11設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)

6、，滿(mǎn)足當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意x，yR，有f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1）解不等式f(3x-x2)4；（2）解方程f(x)2+f(x+3)=f(2)+1例12已知函數(shù)f(x)對(duì)任何正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0)恒成立，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；2、若y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a和x=b對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；3、若y=f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；4、若y=f(x) 的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,0)和一

7、條對(duì)稱(chēng)軸x=b（ab），則函數(shù)y=f(x)是周期為4|a-b|的周期函數(shù)；5、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a+x)=f(a-x)，其中a0，且如果y=f(x)為奇函數(shù)，則其周期為4a；如果y=f(x)為偶函數(shù)，則其周期為2a；6、定義在xR上的函數(shù)y=f(x)，滿(mǎn)足f(x+a)=-f(x)，則y=f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)；7、若在xR恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；8、若在xR恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)。（7、8應(yīng)掌握具體推導(dǎo)方法，如7）函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性：1、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a+x)=f(b-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)

8、于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；2、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)；3、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；4、曲線(xiàn)f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程為f(2a-x,2b-y)=0；5、形如的圖像是雙曲線(xiàn)，由常數(shù)分離法知：對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)；6、設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；7、若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x+a對(duì)稱(chēng)。二、 換元法 換元法包括

9、顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法.例2. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解：令u=1+sinx，則sinx=u-1 (0u2),則f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0x2)二、方程組法 運(yùn)用方程組通過(guò)消參、消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題。例2解:三、待定系數(shù)法 如果抽象函數(shù)的類(lèi)型是確定的，則可用待定系數(shù)法來(lái)解答有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題。例3已知f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解：由已知得f(x)是二次多項(xiàng)式，設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a0)代入f(x+

10、1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+cf(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+a-b+cf(x+1)+ f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x比較系數(shù)得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x2-2x-1.四、賦值法 有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決。例4對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿(mǎn)足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,則f(2001)=_.解：令x=y=0，得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,f(1)0

11、 f(1)= . 令x=n,y=1，得f(n+1)=f(n)+2f(1)2=f(n)+ 即f(n+1)-f(n)= ，故f(n)= ，f(2001)= 例5已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b都滿(mǎn)足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)若f(2)=2,un=f(2n) (nN*),求證：un+1un (nN*).解：(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)f(x)是奇函數(shù)。因?yàn)椋毫頰=b=-1,得f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=

12、0,故f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)為奇函數(shù).(3)先用數(shù)學(xué)歸納法證明：un=f(2n)0 (nN*)(略)五、轉(zhuǎn)化法 通過(guò)變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問(wèn)題的解決帶來(lái)極大的方便.例6設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0時(shí)f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值。解：令x=y=0，得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函數(shù).設(shè)x10,由已知得f(x2-x1)0,故f(x2)=f(x2-x1+

13、x1)=f(x2-x1)+f(x1) f(x1)所以f(x)是R上的減函數(shù)，又f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=6故f(x)在-3,3上的最大值為6,最小值為-6.例7定義在R+上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足： 對(duì)任意實(shí)數(shù)m，f(xm)=mf(x)； f(2)=1.(1)求證：f(xy)=f(x)+f(y)對(duì)任意正數(shù)x,y都成立；(2)證明f(x)是R+上的單調(diào)增函數(shù)；(3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范圍。解：(1)令x=2m,y=2n,其中m,n為實(shí)數(shù)，則f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(

14、2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)（2）證明：設(shè)0x1x2，可令mn且使x1=2m,x2=2n由（1）得f(x1)-f(x2)=f(2m-n)=(m-n)f(2)=m-n0故f(x1)f(x2)，即f(x)是R+上的增函數(shù)。(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性質(zhì)，得fx(x-3)2f(2)=f(4)解得 30且a1)f(x+y)=f(x)f(y)對(duì)數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx例10已

15、知實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)恒滿(mǎn)足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5個(gè)實(shí)根,則這5個(gè)根之和=_分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恒滿(mǎn)足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5個(gè)實(shí)根，可以將該函數(shù)看成是類(lèi)似于二次函數(shù)y=k(x-2)2為模型引出解題思路，即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=2，并且函數(shù)在f(2)=0，其余的四個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)解：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)恒滿(mǎn)足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，所以方程的五個(gè)實(shí)數(shù)根也關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，其它四個(gè)實(shí)數(shù)根位于直線(xiàn)x=2兩側(cè)，關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，則這5個(gè)根之和為10

16、。例11設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意x，yR，有f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1）解不等式f(3x-x2)4；（2）解方程f(x)2+f(x+3)=f(2)+1分析：可聯(lián)想指數(shù)函數(shù)f(x)=ax。解：(1)先證f(x)0，且單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x0時(shí)f(x)1，所以f(0)=1對(duì)于任意x0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，f(x)=-x0，f(-x)1 0f(x)0任取x1,x2R且x10，f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10所以xR時(shí)，f(x)為增函數(shù)。不等式f(3x-x2)4可化為3x-x22 解得：x|1x1時(shí)，f(x)0設(shè)x1，x2R+，且x1f(x2)，故f(x)在R+