第一章 ,第四節(jié) 不可數(shù)無窮集.ppt

1、第四節(jié) 不可數(shù)無窮集,第一章 集合及其基數(shù),1 不可數(shù)集的存在性(區(qū)間0,1是不可數(shù)集),證明：假設(shè)0,1是可數(shù)集,則 0,1 可以寫成一個(gè)無窮 序列的形式：,數(shù)的進(jìn)位制簡介,十進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1十等分 二進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1二等分 三進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1三等分,說明：對(duì)應(yīng)0,1十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如 0.2000000 0.1999999 （十進(jìn)制小數(shù)）,不可數(shù)集的存在性的另一種證明,證明：假設(shè)（0,1）是可數(shù)集,則 （0,1） 可以寫成一個(gè)無窮 序列的形式： 把每個(gè)數(shù)寫成正規(guī)小數(shù)（不能以0為循環(huán)節(jié)）,令x=0.a1a2a3a4 其中,則得到矛盾，所以 (0,1)是不

2、可數(shù)集。,定義：與0,1區(qū)間對(duì)等的集合稱為連續(xù)勢(shì)集， 其勢(shì)記為 ， 顯然：,例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab),2 連續(xù)勢(shì)集的定義,2）無理數(shù)集為連續(xù)勢(shì)集 （無理數(shù)要比有理數(shù)多得多，同理超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多）,3 連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（卡氏積）,（1）有限個(gè)、可數(shù)個(gè)連續(xù)勢(shì)的卡氏積仍為連續(xù)勢(shì)集,1874年Cantor考慮 R 與Rn的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并企圖證 明這兩個(gè)集合不可能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，過了三年， 他證明了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是存在的，從而說明 Rn具 有連續(xù)基數(shù) ，他當(dāng)初寫信給Dedekind說： “我看到了它，但我簡直不能相信它”.,推論,連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（并集）,連續(xù)勢(shì)集的（有限個(gè)，

3、可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢(shì)個(gè)）并仍為連續(xù)勢(shì)集,4 無最大勢(shì)定理,從而說明無限也是分很多層次，且不存在最大的集合.,此證為對(duì)角線方法，與(0,1) 是不可數(shù)集的證明比較。,盡管 Cantor 在1883年就證明了這個(gè)定理，但直到1899年 Cantor 才發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定理本身與他給出的集合的定義有矛盾，即所謂的 Cantor 的最大基數(shù)悖論.,因此Cantor在1899年給 Dedekind 的一封信中曾指出,人們 要想不陷于矛盾的話,就不能談?wù)撚梢磺屑纤M成的集合.,集合悖論,證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故2N 與0,1N對(duì)等；下證：,說明：相當(dāng)于把 對(duì)應(yīng)到一個(gè)三進(jìn)制小數(shù),5 可

4、數(shù)勢(shì)與連續(xù)勢(shì),思考：為什么不用二進(jìn)制。,Hilbert在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上將它列為二十三個(gè)難題的第一個(gè)問題。,注記： 從前面我們已經(jīng)看到：,Cantor認(rèn)為在 之間不存在別的基數(shù)， 即不存在這樣的集合A,使得 但Cantor證明不了,這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。,連續(xù)統(tǒng)假設(shè),在Zermelo-Frankel公理集合論體系下,參見：數(shù)學(xué)與哲學(xué)張景中，數(shù)理邏輯概貌莫紹揆,ZF公理集合論體系下的連續(xù)統(tǒng)假設(shè),1940年Godel證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的相容性 （即不能證明它不真）；,1962年Stanford大學(xué)的P.J.Cohen證明了它的獨(dú)立性 （即不能用其他公理證明它真）；,6

5、基數(shù)的運(yùn)算,對(duì)一些記號(hào)的說明,思考：如何推廣 不可數(shù)個(gè)集合的 卡氏積？,第五節(jié) 半序集,第一章 集合,主講：胡努春,1 半序集,數(shù)學(xué)三大母結(jié)構(gòu)（Bourbaki學(xué)派觀點(diǎn)）： 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰近關(guān)系），代數(shù)結(jié)構(gòu)（運(yùn)算關(guān)系）， 序結(jié)構(gòu)（順序關(guān)系）（測(cè)度（長度、面積、體積）,例：對(duì)實(shí)數(shù)集R有遠(yuǎn)近關(guān)系，四則運(yùn)算，大小順序，區(qū)間有長度,半序集定義,自反性:反對(duì)稱性:傳遞性:,則稱A按 成一半序集（偏序集）。,設(shè)A是一集合， 為A中的某些元素的關(guān)系 且滿足:,例, 是一半序集. 是一半序集.,2 Zorn引理與選擇公理,Zorn引理：設(shè) 是一偏序集，A中的 每個(gè)全序子集有上界，則A必有極大元。,選擇公理：設(shè) 為一簇兩兩不交的 非空集簇，則存在一集B使得 是單元素集。,對(duì)選擇公理的說明,利用選擇公理，Banach在1924年證明了分球定理，即一個(gè)閉球U可分解成兩個(gè)互不相交的集合A，B且U與A可 由相同多的有限多個(gè)互相合同的子集并成，U與B可由相同多的有限多個(gè)互相合同的子集并成；粗略來說即可把一個(gè)球U分解成兩個(gè)與U具有同樣體積的球A和B。（見：王世強(qiáng)數(shù)理邏輯與范疇論應(yīng)用）,選擇公理的說明,通俗講，假如有無限雙鞋子，則我們有一規(guī)則，從每雙鞋子中取出左腳穿的鞋子，其總體構(gòu)成一集合；但若是無限雙襪子，由于襪子不分左右，所以就有多種選擇，要承認(rèn)這種成員不確定的集合存在，就要引用選擇公理。數(shù)學(xué)中許多重