2012屆高考數學第一輪總復習 2-5函數的奇偶性與周期性經典實用學案（PPT） 新人教版

1、基礎知識 一、函數的奇偶性 1一般地，對于函數f(x)，如果對于定義域內每一個x，都有f(x) ，那么函數f(x)就叫奇函數；都有f(x) ，函數f(x)叫偶函數，奇偶函數的定義域是 (大前提),f(x),f(x),關于原點對稱的,2函數可分為(按奇偶性)： 、 、 、 任何一個定義域對稱的非奇非偶函數都可寫成一個奇函數與一個偶函數的和，即f(x),奇函數,偶函數,既奇,且偶函數,非奇非偶函數,3基本性質：在公共定義域上，兩函數有：奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 (分母不為零) 奇函數的反函數是 ，若奇函數的定義域包含0時，則 . 4圖象特征：奇函數圖象關于 對稱；偶函數圖象關于

2、 對稱；反之亦然,奇,偶,偶,偶,偶,偶,奇函數,f(0)0,原點,y軸,5判定方法：首先看函數的 ，若對稱，再看： f(x)是奇函數f(x) f(x)f(x) 圖象 對稱； f(x)是偶函數f(x) f(x)f(x) f(x)f(|x|) 圖象關于 對稱,定義域是否關于原點,對稱,f(x),0,1(f(x)0),關于原點,f(x),0,1(f(x)0),f(x),y軸,6推廣：yf(ax)是偶函數f(ax) f(x) f(x)關于 對稱；類似地，f(ax)f(bx)f(x)關于x 對稱 yf(bx)是奇函數f(bx) f(x)關于 成中心對稱圖形；類似地，f(ax)f(bx)f(x)關于(

3、，0)中心對稱,f(ax),f(2ax),xa,f(bx),(b,0),7一些重要類型的奇偶函數： 函數f(x)axax為 函數，函數f(x)axax為 函數； 函數f(x) (a0且a1)為 函數； 函數f(x)loga為 函數； 函數f(x)loga(x)為 函數,奇,奇,奇,奇,偶,二、函數的周期性 1對于函數f(x)，如果存在一個 常數T，使得當x取定義域內的 值時，都有 ，那么函數f(x)叫做周期函數，非零常數T叫f(x)的 如果所有的周期中存在一個 ，那么這個 就叫f(x)的最小正周期 2周期函數 有最小正周期，若T0是f(x)的周期，則kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期，周

4、期函數的定義域無 界,非零,每一個,f(xT)f(x),周期,最小的正數,最小正數,不一定,上、下,3設a為非零常數，若對f(x)定義域內的任意x，恒有下列條件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa)f(xa)，則f(x)是 函數， 是它的一個周期(上述式子分母不為零),周期,2a,若f(x)同時關于xa與xb對稱(ab)，則f(x)是周期函數， 是它的一個周期；若f(x)關于xa對稱同時關于點(b,0)對稱(b0)，則f(x)是一個周期函數，周期T ；若f(x)關于(a,0)對稱同時關于(b,0)對稱，則f(x)是一個周期函數，周期T

5、,2(ba),4(ba),2(ba),易錯知識 一、分段函數的奇偶性判斷失誤 1函數f(x) 的奇偶性為_ 答案：偶函數,二、判斷函數奇偶性時忽視了定義域 2函數f(x)x21，x(1,3的奇偶性為_ 答案：非奇非偶函數 3函數f(x) 的奇偶性為_ 答案：奇函數,三、錯誤認為對于奇函數總有f(0)0. 4設f(x) 是奇函數，(a，b，c Z)且f(1)2，f(2)3，則a_，b_，c_. 答案：110,四、偶函數和周期函數的概念理解錯誤 5已知函數yf(x)滿足條件f(x1)f(x1)，且當x1,0時，f(x)3x ，則f(log 5)的值等于_ 答案：1,五、奇、偶函數的性質應用失誤 6

6、設f(x)、g(x)都是R上的奇函數，x|f(x)0 x|4x10，x|g(x)0 x|2x5，則集合x|f(x)g(x)0的解集為_ 答案：(5，4)(4,5),解析：f(x)，g(x)都是奇函數，f(x)g(x)是偶函數，由對稱性可知，只需求f(x)0，g(x)0的解集， 由條件可知：f(x)0的解集為(4,10)，g(x)0的解集為(2,5)， 的解集為(4,5)， 故f(x)g(x)的解集為(5，4)(4,5) 失分警示：此解錯在忽視“f(x)，g(x)都是奇函數，因而f(x)g(x)是偶函數”的性質運用，導致結論出錯,回歸教材 1下列函數中奇函數有() f(x)x2，(xR)f(x)

7、3x5，x(0，) f(x)x3x，xRf(x)lgx3，x(0，) A0個B1個C2個D3個 解析：由函數奇偶性的定義可知f(x)x3x是奇函數，故選B. 答案：B,2若yf(x)，xR是奇函數，則下列各點一定在函數yf(x)的圖象上的是() A(a，f(a)B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 解析：yf(x)，xR是奇函數，f(x)f(x) f(a)f(a) 故選D. 答案：D,3(2008遼寧卷)若函數y(x1)(xa)為偶函數，則a() A2 B1 C1 D2 答案：C,4定義在R上的奇函數yf(x)，它的周期為T(T0)，則f( )_. 解析：f( )f( ) 又f

8、( )f(T )f( ) 故f( )0. 答案：0,5(2009重慶，12)若f(x) a是奇函數，則a_. 解析：f(x)為奇函數，f(x)f(x)， 答案：,【例1】判斷下列函數的奇偶性,命題意圖本題主要考查對函數奇偶性定義的理解 解答(1)由 0，得定義域為1,1)，不關于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數,(3)當x0，則 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 當x0時，x0則 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 對任意x(，0)(0，) 都有f(x)f(x) 故f(x)為偶函數 另解：畫函數f(x) 的圖象圖象關于y軸對稱，故f(x)為偶函數 f(x)還可寫成f(x)x2|x|故為

9、偶函數,(5)函數f(x)的定義域為R 當a0時，f(x)f(x) f(x)是偶函數 當a0時，f(a)a22，f(a)a22|a|2 f(a)f(a)，且f(a)f(a)2(a2|a|2) 2(|a|)20 f(x)為非奇非偶函數,總結評述第一，求函數定義域，看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數為非奇非偶函數第二，若定義域關于原點對稱，函數表達式能化簡的，則對函數進行適當的化簡，以便于判斷；第三，利用定義域進行等價變形判斷第四，分段函數應分段討論，要注意根據x的范圍取相應的函數表達式或利用圖象判斷,判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)|x|(x21)；,解析：(1)此函數的定

10、義域為R. f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)， f(x)是偶函數 (2)此函數的定義域為(0，)，由于定義域不關于原點對稱，故f(x)既不是奇函數也不是偶函數 (3)函數ylg 的定義域為(1,1)，f(x)lg lg( )1lg f(x)，此函數為奇函數.,【例2】(2009北京海淀區(qū)期中練習)定義在R上的函數f(x)為奇函數，且f(x5)f(x)，若f(2)1，f(3)a，則() Aa3 Ca1 解析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)為奇函數，f(2)f(2)，又f(2)1，a1，選擇C. 答案C,設f(x)是定義在R上的奇函數，且yf(x)的圖象關

11、于直線x 對稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_. 解析：f(x)在R上為奇函數， f(x)f(x)，且有f(0)0. 又yf(x)的圖象關于x 對稱， f( x)f( x)，,f(1x)f ( x) f ( x) f(x)f(x) f(2x)f(1x)f(2x)f(x) 函數的周期為2，且f(1)0. f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0. 答案：0 總結評述：本題考查函數的奇偶性、對稱性、周期性等函數性質.,【例3】(2009朝陽模擬)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，且它的圖象關于直線x1對稱 (1)求f(0)的值； (2)證

12、明函數f(x)是周期函數； (3)若f(x)x(0x1)，求xR時，函數f(x)的解析式，并畫出滿足條件的函數f(x)至少一個周期的圖象,解析(1)因為函數f(x)是奇函數，所以f(x)f(x)，又f(x)的定義域為R，令x0，則f(0)f(0)，所以f(0)0. (2)證明：因為函數f(x)是奇函數，所以f(x)f(x) 又f(x)關于直線x1對稱，所以f(x)f(2x)， 即f(x2)f(x) 所以f(x4)f(x2)2f(x2) f(x)f(x) 所以f(x)是以4為周期的周期函數.,(3)解：設1x0，則0x1，所以f(x)x，又f(x)f(x)， 所以當1x0時，f(x)x，即f(x

13、)x.又因為f(0)0， 所以當1x1時，f(x)x. 當1x3時，3x1，則12x1， 所以f(2x)2x，而f(x)關于直線x1對稱， 所以f(2x)f(x)，所以f(x)2x(1x3)，,則f(x) 則f(x) 總結提示(1)若奇函數f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)若函數f(x)對定義域內的任意x都有f(ax)f(ax)，則函數f(x)的圖象關于直線xa對稱，反之也成立,函數f(x)的定義域為Dx|x0，且滿足對于任意x1、x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明； (3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3

14、，且f(x)在(0，)上是增函數，求x的取值范圍,解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0. (2)令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)解得f(1)0. 令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)f(x)為偶函數,(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3. 又f(3x1)f(2x6)3 即f(3x1)(2x6)f(64)(*) f(x)在(0，)上是增函數， (*)等價不等式組 或,即 或 3x5或,總結評述：這種利用函數滿足某一等式，判斷其奇偶性問題，主要是利用取特殊值法，如本題中可令x11，x2x，使式子中出現f(x)與f(x)，然后再一步步地考慮還需求f(1)，f(1)，仍然用取特殊值法求解抽象函數不等式，主要是利用函數的單調性再結合函數其他性質脫去符號“f”,1奇偶性是函數在定義域上的整體性質，因此討論函數奇偶性首先要看其定