概率統(tǒng)計(jì)第7章.ppt

1、1,第七章,參 數(shù) 估 計(jì),二 、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),一 、點(diǎn)估計(jì),三 、區(qū)間估計(jì),四 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),2,點(diǎn) 估 計(jì),第七章,第一節(jié),二 、矩估計(jì)法,一 、點(diǎn)估計(jì)問題的一般提法,三 、最大似然估計(jì)法,3,一 、點(diǎn)估計(jì)問題的一般提法,是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。,點(diǎn)估計(jì)就是,構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量,用它的觀察值,作為未知參數(shù)的近似值。,稱,為估計(jì)量,為估計(jì)值,4,未知參數(shù)估計(jì)的兩種方法: 矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法,二 、矩估計(jì)法,其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩。,它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來的一種估計(jì)方法。,是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的。,5,基本思想:,Eg.若X為連續(xù)型

2、隨機(jī)變量，設(shè)概率密度為,令,解出,6,若X為離散型隨機(jī)變量，設(shè)其分布律為,令,，其中,為樣本，,為樣本值，,解出,7,例1設(shè)總體,解: 令,其中,所以的矩估計(jì)量為,為X的一個(gè)樣本，,估計(jì)量,估計(jì)值,8,例2設(shè)總體X 的概率密度為,解,即,X1,X2,Xn是取自X 的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì)量.,9,令,，則,從而的矩估計(jì)量,為X 的一個(gè)樣本，求,的矩估計(jì)量。,例3設(shè)總體,解,10,令,11,例4 設(shè),解 ：,令,其中,則,12,解得數(shù)學(xué)期望,的矩估計(jì)量分別為,總結(jié)：任何分布的均值和方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式都不變,13,例5設(shè)總體,解 由,所以由上例可得,14,三、最大似然估計(jì)法,這是在總體類型已知條

3、件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 .,它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的 ,Gauss,Fisher,然而，這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇 。,費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) .,15,最大似然法的基本思想：,準(zhǔn)備內(nèi)容：,當(dāng)總體X是離散型，,分布律改寫為：,以泊松分布為例，,16,分布律為,，其中未知。,為X 的樣本，,為X 的樣本值，, X 為離散型,記為, 樣本的似然函數(shù),17,為的最大似然估計(jì)量；,為的最大似然估計(jì)值；,滿足條件:,具體算法：,令,18,設(shè)x1,x2,xn是取自總體 Xb(1, p) 的一個(gè),解,例1,似然函數(shù)為:,樣本值，求參數(shù)p

4、的最大似然估計(jì)值。,19,所以,為 p 的最大似然估計(jì)值。,20,解,例2,似然函數(shù)為:,21, X 為連續(xù)型,似然函數(shù)為,利用,或,得,22,例3,設(shè) X1, X2, , Xn 是取自總體 X 的一個(gè)樣本,X 服從參數(shù) 的指數(shù)分布，求的最大似然估計(jì)值。,解,似然函數(shù),23,當(dāng),令,所以,24,設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體 X 的一個(gè)樣本值,解,例4,25,令,所以,的最大似然估計(jì)值為,26,例5,解,似然函數(shù),27,則要使得,取最大值,注：特殊的似然函數(shù)通過求導(dǎo)得不到其最大， 需要從函數(shù)本身入手。,所以，最大似然估計(jì)量為,28,29,30,31,求 最大似然估計(jì),32,估計(jì)量的評(píng)

5、選標(biāo)準(zhǔn),第七章,第二節(jié),二 、有效性,一 、無偏性,三 、一致性,33,一 、無偏性,定義,結(jié)論：,無論X 服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在，,總是,的無偏估計(jì)量。,34,一個(gè)未知數(shù)可以有不同的無偏估計(jì)量。,解,例1,35,二、有效性,定義：,都是參數(shù),的無偏估計(jì)量，如果,注：比較有效性，必須是在無偏估計(jì)量的前提。,36,例2,設(shè) X1, X2, , Xn 是取自總體 X 的一個(gè)樣本, 問那個(gè)估計(jì)量最有效?,解 ,37,38,因?yàn)?39,三、一致性,定義：,40,區(qū) 間 估 計(jì),第七章,第三節(jié),二 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),一 、置信區(qū)間,三 、兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差 的區(qū)間估計(jì),41

6、,一 、置信區(qū)間,定義1 設(shè)總體,含一待估參數(shù),為一樣本，,滿足,則稱,為,的置信度為 的置信區(qū)間，,的分布函數(shù)為,，其中,若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,下限,上限,42,通常, 采用95%的置信度, 有時(shí)也取99% 或 90%.,即置信度為,這時(shí)重復(fù),抽樣 100次, 則在得到的100個(gè)數(shù)值區(qū)間中包含,真值,的有95個(gè)左右, 不包含,真值的有5個(gè)左右。,含義： 若,具體的計(jì)算方法, 由樣本,尋找一個(gè)樣本函數(shù),，不含其他任何未知參數(shù)，,分布已知，且只含有一個(gè)未知參數(shù)。,43,不等式,是的置信度為,的置信區(qū)間。, 對(duì)于給定的置信水平,，找 a , b 使得,44,二 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),

7、設(shè),為總體,的一個(gè)樣本,置信度,下，來確定,的置信區(qū)間,45,對(duì)于給定的,，有,可得,所以的置信水平為1-的置信區(qū)間為,簡(jiǎn)記為,46,已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從56歲的幼,兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：115, 120,131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差,置信度為95%; 試求總體均值的置信區(qū)間,解 已知,由樣本值算得：,查正態(tài)分布表得,，由此得置信區(qū)間,例1,47,設(shè)總體,問需要抽取容量為多,的長(zhǎng)度不大于 0.49 ?,解 設(shè)需要抽取容量為n,的樣本, 其樣本均值為,查表得,于是的置,信水平為0.95的置信區(qū)間為,該區(qū)間長(zhǎng)度,例2,解得,取,48,所以的置信水平為1-的置信區(qū)間為,簡(jiǎn)記為,49,用儀器測(cè)量溫度, 重復(fù)測(cè)量7次, 測(cè)得溫度分,別為: 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115 ; 設(shè)溫度,在置信度為95%時(shí), 試求溫度均值,所在范圍。,例3,查表得,已知,由樣本值算得：,解,得區(qū)間：,50,（均值未知）,設(shè),為總體,的一個(gè)樣本,并且樣本函數(shù)：,51,置信 區(qū)間,即,標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為,的置信區(qū)間,52,例4,某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)測(cè)得長(zhǎng),加工零件長(zhǎng)度的方差。,解 先求,度