§2概率的定義及其確定方法

1、事件的概率就是事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)值度量.,更重要的是對事件出現(xiàn)的可能性的大小有一 個(gè)定量的描述.,2 概率的定義及其確定方法,研究隨機(jī)現(xiàn)象不僅關(guān)心試驗(yàn)中會出現(xiàn)哪些事件，或者某事件發(fā)生的可能性大不大，,準(zhǔn)確了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有重要意義.,即只有一個(gè)定性的描述是不夠的，,這就需要有一個(gè)度量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，,了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.,了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.,例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小, 確定保險(xiǎn)金額.,特殊,1933年, kolmogorov 柯爾莫哥洛夫,隨機(jī)試驗(yàn)所有

2、可能結(jié)果為有限個(gè)等可能的情形； 將等可能思想發(fā)展到含無窮多個(gè)元素的樣本空間,輸光、得分問題,克服等可能觀點(diǎn)不易解決的問題,公理化定義,古典、幾何定義, 頻率定義,但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.,它們在計(jì)算概率時(shí)很有用，尤其是加法公式.,若對于 中的每一個(gè)事件AF，定義在F上的一個(gè)實(shí)值函數(shù) P(A)滿足：,(2) P( )= 1 ，,(3) 若事件A1 , A2 , , An , 兩兩互不相容，則有,(1) 若事件A F，則 P(A) 0 ，,設(shè) 是一個(gè)樣本空間, F 為的某些子集組成的一個(gè)事件域,1.2.1 概率的公理化定義,定義2,稱P(A)為事件A的概率，,在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)時(shí)，我們

3、已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ).,柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，,非負(fù)性,正則性,可列 可加性,由概率的三條公理，我們可推導(dǎo)出概率的若干重要性質(zhì).,數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進(jìn)一步的內(nèi)容.,稱三元素(,F, P )為概率空間 .,則從甲城到乙城去旅游就有 5+3+2= 10 個(gè)班次可供選擇.,無論通過哪種方法都可以完成這件事，,1.2.2 排列與組合公式,這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理.,(1) 加法原理,設(shè)完成一件事有m種方式，,第一種方式有n1種方法，,第二種方式有n2種方法, ；,第m種方

4、式有nm種方法，,則完成這件事總共有 n1 + n2 + + nm 種方法 .,例如，,甲城到乙城有3條旅游路線，,乙城到丙城有2條旅游路線，,則從甲城經(jīng)乙城到丙城就有 32= 6 條旅游路線.,則完成這件事共有,種不同的方法.,(2)乘法原理,設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，,第一個(gè)步驟有n1種方法，,第二個(gè)步驟有n2種方法，, ；,第m個(gè)步驟有nm種方法，,必須通過每一步驟,才算完成這件事，,它們不但可以直接解決不少具體問題，同時(shí)也是推導(dǎo)常用排列組合公式的基礎(chǔ) .,例如，,甲城到乙城去旅游有3類交通工具：汽車、火車和飛機(jī)，,而汽車有5個(gè)班次，,火車有5個(gè)班次，,飛機(jī)有2個(gè)班次，,此種重復(fù)排列的總數(shù)

5、為,(1)排列 從n個(gè)不同元素取 r 個(gè)(r n)排成一列(考慮先后順序)，,稱其為一個(gè)排列.,排列、組合的定義及其計(jì)算公式,(2)重復(fù)排列 從n個(gè)不同元素中每次取1個(gè)，放回后再取下一個(gè)，,r = n時(shí)稱全排列.,由乘法原理，此種排列的總數(shù)為,顯然,如此連續(xù)取r 次(r可以大于n)所得的排列稱為重復(fù)排列，,此種重復(fù)組合的總數(shù)為,由乘法原理，組合總數(shù)為,此種組合的總數(shù)記為 或 ，,(3)組合,從n個(gè)不同元素任取 k 個(gè)( k n)并成一組(不考慮先后順序)，,稱其為一個(gè)組合.,(2)重復(fù)組合 從n個(gè)不同元素中每次取1個(gè)，放回后再取下一個(gè)，,如此連續(xù)取r 次(r可以大于n)所得的組合稱為重復(fù)組合，

6、,使用排列組合的概念與公式時(shí)，應(yīng)注意其對有序與無序、重復(fù)與不重復(fù)的要求.,則稱n(A)為事件A 發(fā)生的頻數(shù),稱比值 為事件 A 在 n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率,定義1,如果在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中事件A 發(fā)生了n(A)次,記為 f n ( A )，,即,A 發(fā)生的頻繁程度,基本性質(zhì),(3) 設(shè)A1, A2, , Ak 兩兩互不相容的事件，則,穩(wěn)定性,事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,？,非負(fù)性,正規(guī)性,有限 可加性,1.2.3 確定概率的頻率方法,參見P14 的 三個(gè)例子,即滿足公理化定義.,并且當(dāng)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù) n 較大時(shí)，可用頻率給出概率的一個(gè)近似值.,用頻率確定概率是一種常用的方法.,其基本思想是：,(1) 與考

7、察事件 A 有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象可大量重復(fù)進(jìn)行；,(2) 人們長期實(shí)踐表明： 隨著實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù) n 的增加，,頻率 f n(A)會穩(wěn)定在某一常數(shù) a 附近，,稱常數(shù) a 為頻率的穩(wěn)定值；,這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是我們所求的概率；,(3) 頻率方法的缺點(diǎn) 現(xiàn)實(shí)中，人們無法把一個(gè)實(shí)驗(yàn)無限次地重復(fù)下去，,因此要精確地得到頻率的穩(wěn)定值是困難的.,但頻率方法提供了概率的一個(gè)可供想象的具體值，,故稱頻率為概率的估計(jì)值.,這正是頻率方法最有價(jià)值的地方.,1.2.4 確定概率的古典方法,古典方法的基本思想 ：,(1) 樣本空間 只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)，,(2) 每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，,等可能性,這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化

8、為計(jì)數(shù)問題 .,設(shè)事件 A 由 k 個(gè)樣本點(diǎn)組成 ，即,由可加性知 A 的概率為：,A 包含的樣本點(diǎn)數(shù), 中的樣本點(diǎn)總數(shù),稱此概率為古典概率. 這種確定概率的方法稱為古典方法 .,同時(shí)擲兩枚均勻硬幣, 分別求事件A =兩枚都出現(xiàn)正面, B =一枚出現(xiàn)反面 和 C =兩枚都出現(xiàn)反面的概率.,解,同時(shí)擲兩枚硬幣有 4 個(gè)等可能的結(jié)果，即樣本空間為,例1(P14 例9), =(正,正), (正,反), (反,正), (反,反),4 個(gè)等可能,古典概型,又事件A, B, C 分別包含 1個(gè)、2個(gè)和 1個(gè)樣本點(diǎn)，,排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具,列 舉 法,(2) 先任取一只, 作測試后不放回, 在剩

9、下的中再任取一只.,一個(gè)盒子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的晶體管，其中 3 只是次品.,例2 (P14 例10),按下列兩種方法抽取晶體管：,(1) 先任取一只, 作測試后放回盒中, 再任取下一只；,有放回抽樣,無放回抽樣,試分別對這兩種抽樣方法, 求從這10只晶體管任取 2 只中，恰有一只是次品的概率.,解,設(shè) A = 抽取的 2 只晶體管中恰有一只是次品 ,(1)有放回抽樣：,由于每次都是從10只中取, 10 10 種取法,即 的樣本點(diǎn)數(shù) n = 10 2，,第 1 次取到合格品，且第 2 次取到次品 第 1 次取到次品，且第 2 次取到合格品,A:, 7 3 3 7, 共有 7 3 +

10、 37 = 42 種取法,古典概型,(2)無放回抽樣：,第 1 次是從10只中取, 第 2 次是從 9 只中取，, 10 9 種取法,即 的樣本點(diǎn)數(shù) n = 109，,A:, 共有 7 3 + 37 = 42 種取法,古典概型,現(xiàn)從這 N 件中任取 n 件(不放回),設(shè)有 N 件產(chǎn)品, 其中有 M 件次品,解,例3(抽樣模型),設(shè) A = 恰抽到 m 件次品 ,求其中恰有 m 件次品的概率.,次品,正品,N M 件正品, 含的樣本點(diǎn)數(shù)為 ,只能取自 M 件次品,A 的次品有 種取法，,A 的正品有 種取法，,故 A 含的樣本點(diǎn)數(shù)為 ,超幾何分布的概率公式,在電話號碼簿中任取一個(gè)電話號碼,求后面

11、 4個(gè)數(shù)字全不同的概率(設(shè)后面 4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能地取自 0-9 這 10 個(gè)數(shù)).,解,所求概率與號碼的位數(shù)無關(guān),允許重復(fù),求樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù) 和 求事件所含樣本點(diǎn)數(shù) 的計(jì)數(shù)方法不同,從10個(gè)不同數(shù)字中 取4個(gè)的排列,例4(P15 例12),設(shè) A = 后 4 位數(shù)字全不相同 , 含樣本點(diǎn)數(shù): 10 4,A 所含樣本點(diǎn)數(shù)為 ,求這 4 只鞋子中至少有 2 只配成一雙鞋的概率？,解,方法 1,樣本空間樣本點(diǎn)數(shù)為 ,5 雙不同的鞋中任取 4 只，,例5(P16 例13),設(shè) A= 取的 4 只鞋子中至少有 2 只配成一雙 ,先從5雙中任取 1雙,從余下的 4 雙中任取 2雙,從這 2

12、雙中各任取 1只,A= 4 只鞋中恰有 2 只配成一雙 4 只鞋恰好配成兩雙 ,方法 2, 取的 4 只鞋子中沒有成雙的 ,先從5雙中任取 4 雙,在從這4雙中各取 1只,所求為“至少”或“至多”的問題，用余概公式簡單,還有其它解法嗎？,錯(cuò)在何處？,在用排列組合公式計(jì)算古典概型時(shí) 必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏,從5雙不同的鞋中任取4只，求這 4 只鞋中至少有 2 只配成一雙鞋的概率？,先從5雙中任取 1雙,從余下的 8只中任取 2只,這 2只鞋有“不成雙”和“成雙”兩種情形,與5雙中任取一雙時(shí)已出現(xiàn)“4只恰有兩雙”的情形重復(fù),正確做法,多算了 種,解法 3,同樣的“4只配成兩雙”算了兩次,

13、P(A)= ,“等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.,1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件,再次提醒注意：,在實(shí)際應(yīng)用中，往往只能“近似地”出現(xiàn)等可能，“完全地”等可能是很難見到的.,在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.,2、用排列組合公式計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏,例6 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3 的概率.,解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為, 2, 3, 4, , 12 , =(1,1), (1,2), (2,1), (1,3),

14、 (6,6) ,2,66,3、所求為“至少”或“至多”的問題，用余概公式簡單,例5,4、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型,有n個(gè)人, 每個(gè)人都以相同的概率1/N(Nn)被分在 N 間房的每一間中, 求指定的n間房中各有一人的概率.,4、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型,有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365. 求這n (n 365)個(gè)人的生日互不相同的概率.,有n 個(gè)旅客, 乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為1/ N(N n), 求指定的 n 個(gè)站各有一人下車的概率.,某城市每周發(fā)生7次車禍, 假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概

15、率.,分球入箱,是常見的幾種模型 .,箱中摸球,分球入箱,隨機(jī)取數(shù),分組分配,我們介紹了古典概型.,古典概型的定義簡單，但計(jì)算復(fù)雜，應(yīng)用方面多.,例5,例2、3,設(shè)有 n 個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率 1/N(Nn) 落入 N 個(gè)箱子中的每一個(gè)中. 根據(jù)不同條件，分別求事件 A=某預(yù) 先指定的 n 個(gè)箱子中各有一球的概率 p .,1. 球編號 2. 球不編號,每個(gè)箱子只容納一個(gè)球 每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限 每個(gè)箱子只容納一個(gè)球 每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限,而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān))，,就形 成了確定概率的另一方法幾何方法.,這無限多個(gè)樣本點(diǎn)可表示為一個(gè)有度量的幾何區(qū)域時(shí),借助于古典概率的定義，設(shè)想仍用

16、“事件的概率”等于“部分”比“全體”的方法來規(guī)定事件的概率.,(即樣本點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)可能性的大小,且可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來表示；,早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.,1.2.5 確定概率的幾何方法,.,.,.,定義(P.17) 若隨機(jī)試驗(yàn) E 具有以下兩個(gè)特征：,(1) E 的樣本空間有無窮多個(gè)樣本點(diǎn)，,(2) 試驗(yàn)中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,不過現(xiàn)在的“部分”和“全體”所包含的樣本點(diǎn)是無限的.,用什么數(shù)學(xué)工具可以構(gòu)造出這樣的數(shù)學(xué)模型？,幾何的觀念,則稱 E 為幾何概型 .,有度量的區(qū)域,事件A對應(yīng)的區(qū)域仍以A表示,長度 面積 體積,.,.,僅

17、與該區(qū)域的度量成比例,乘客到達(dá)車站的任意時(shí)刻是等可能的，,例7(P17 例14),公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過，,求乘客候車時(shí)間不超過 3 分鐘的概率.,解,x 乘客到達(dá)車站的時(shí)刻, 一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，,t 乘客到達(dá)車站后的第一輛公共汽車的時(shí)刻，,由題意知，乘客只能是在時(shí)間間隔(t -5,t 內(nèi)來到車站的，,故樣本空間 = t -5 x t ，,且 的度量 = t -(t -5 )= 5.,而事件 A= 乘客候車時(shí)間不超過 3 分鐘 , A= x|t -3 x t ,且 A 的度量 = 3.,設(shè)某吸毒人員強(qiáng)制戒毒期滿后在家接受監(jiān)控，監(jiān)控期為 L 單位時(shí)間，該期間內(nèi)隨時(shí)可提取尿樣化驗(yàn).,問該人員復(fù)吸且被檢驗(yàn)出的概率是多少？,例8(P18 例15),設(shè)該人員隨時(shí)可能復(fù)吸，,且復(fù)吸后 S 單位時(shí)間內(nèi)尿樣呈陽性反應(yīng)，,解,x 復(fù)吸時(shí)刻;,y 提取尿樣的時(shí)刻,(x, y) 樣本點(diǎn),樣本空間 = (x,y )| 0 x L , 0 y L ，,則 的度量 = L 2.,A= 該人員復(fù)吸且被檢驗(yàn)出 , A= (x, y )| 0 y -x S ,則 A 的度量 =,1. 樣本空間 是平面上某個(gè)區(qū)域(一線段，或平面、空間中某個(gè)區(qū)域)，它的面積(長度或體積)記為();,2. 向區(qū)域 上隨機(jī)投擲一點(diǎn)滿足：該點(diǎn)落入 內(nèi)任何部分區(qū)域 A ( 線段、平面或空間區(qū)域 )內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面