擬合優(yōu)度的卡方檢驗.ppt

1、,在前面的課程中，我們已經(jīng)了解了假設(shè)檢驗的基本思想，并討論了當總體分布為正態(tài)時，關(guān)于其中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗問題 .,然而可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè) .,例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，椐統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下:,在概率論中，大家對泊松分布產(chǎn)生的一般條件已有所了解，容易想到，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)，可以用一個泊松隨機變量來近似描述 . 也就是說，我們可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布X近似泊松分布.,上面的數(shù)據(jù)能否證實X 具有 泊松分布的假設(shè)是正確的？,現(xiàn)在的問題是：,

2、又如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進行精確性檢查，抽取100個鐘作試驗，撥準后隔24小時以后進行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來.,問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài) 分布？,再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的.,為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲若干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與1/6的差距.,也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1點，2點，6點的概率都應(yīng)是1/6.,得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？,問題是：,K.皮爾遜,這是一項很重要的工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計學(xué)的開端.,解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進的所謂 檢驗法.,檢驗法是在總體X 的分

3、布未知時， 根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗方法.,H0：總體X的分布函數(shù)為F(x),然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè).,這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗，它是一種非參數(shù)檢驗.,3.根據(jù)所假設(shè)的理論分布,可以算出總體X的值落入每個Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù).,1. 將總體X的取值范圍分成k個互不重迭的小區(qū)間,記作A1, A2, , Ak .,2.把落入第i個小區(qū)間Ai的樣本值的個數(shù)記作fi ， 稱為實測頻數(shù). 所有實測頻數(shù)之和 f1+ f2+ + fk等于樣本容量n.,標志著經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異的大

4、小.,皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布 與理論分布之間的差異:,統(tǒng)計量 的分布是什么?,在理論分布 已知的條件下, npi是常量,實測頻數(shù),理論頻數(shù),皮爾遜證明了如下定理:,若原假設(shè)中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定，那么當 時，統(tǒng)計量,的分布漸近(k-1)個自由度的 分布.,如果理論分布F(x)中有r個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計量來代替，那么當 時，統(tǒng)計量 的分布漸近 (k-r-1)個自由度的 分布.,為了便于理解，我們對定理作一點直觀的說明.,是k個近似正態(tài)的變量的平方和.,這些變量之間存在著一個制約關(guān)系：,故統(tǒng)計量 漸近(k-1)個自由度的 分布.,在理論分布F(x)完全給定的情況下，每個pi

5、 都是確定的常數(shù). 由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理，當n充分大時，實測頻數(shù) fi 漸近正態(tài)，,因此,在F(x)尚未完全給定的情況下，每個未知參數(shù)用相應(yīng)的估計量代替，就相當于增加一個制約條件，因此，自由度也隨之減少一個.,若有r個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計量來代替，自由度就減少r個.,此時統(tǒng)計量 漸近(k-r-1)個自由度的 分布.,如果根據(jù)所給的樣本值 X1,X2, ,Xn算得統(tǒng)計量 的實測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認為差異不顯著而接受原假設(shè).,得拒絕域:,(不需估計參數(shù)),(估計r 個參數(shù)),皮爾遜定理是在n無限增大時推導(dǎo)出來的，因而在使用時要注意n要足夠大，以及npi 不太小這兩個條件.

6、,根據(jù)計算實踐，要求n不小于50，以及npi 都不小于 5. 否則應(yīng)適當合并區(qū)間，使npi滿足這個要求 .,讓我們回到開始的一個例子，檢驗每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從泊松分布.,提出假設(shè)H0: X服從參數(shù)為 的泊松分布,按參數(shù)為0.69的泊松分布，計算事件X=i 的 概率pi ，,=0.69,將有關(guān)計算結(jié)果列表如下:,根據(jù)觀察結(jié)果，得參數(shù) 的極大似然估計為,因H0所假設(shè)的理論分布中有一個未知參數(shù)，故自由度為4-1-1=2.,將n 5的組予以合并，即將發(fā)生3次及4次戰(zhàn)爭的組歸并為一組.,故認為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)X服從參數(shù)為0.69的泊松分布.,按 =0.05，自由度為4-1-1=2查 分布表得,

7、=5.991,=2.435.991，,未落入否定域.,奧地利生物學(xué)家孟德爾進行了長達八年之久的豌豆雜交試驗, 并根據(jù)試驗結(jié)果,運用他的數(shù)理知識, 發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律.,在此，我們以遺傳學(xué)上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時，是起著積極的、主動的作用.,孟德爾,他的一組觀察結(jié)果為：,黃70，綠27,近似為2.59:1，與理論值相近.,根據(jù)他的理論，子二代中, 黃、綠之比 近似為3:1，,由于隨機性，觀察結(jié)果與3:1總有些差距，因此有必要去考察某一大小的差異是否已構(gòu)成否定3:1理論的充分根據(jù)，這就是如下的檢驗問題.,這里，n=70+27=97, k=2,檢驗孟德爾的3:1理論:,提出假設(shè)H0: p1=3/4, p2=1/4,理論頻數(shù)為： np1=72.75, np2=24.25,實測頻數(shù)為70，27.,自由度為 k-1=1,=0.41583.841，,按 =0.05，自由度為1，查 分布表得,=3.841,未落入否定域.,故認為試驗結(jié)果符合孟德爾的3:1理論.,這些試驗及其它一些試驗，都顯 示孟德爾的3: 1理論與實際是符合的. 這本身就是統(tǒng)計方法在科學(xué)中的一項 重要應(yīng)用.,用于客觀