回歸直線方程—最小二乘法.ppt

1、問題:在一次對人體脂肪含量與年齡關(guān)系的研究中， 研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：,回歸直線概念：散點(diǎn)圖中心的分布從整體上看大致是一條直線附近，該直線稱為回歸直線,求出回歸直線的方程,方法匯總,1.畫一條直線 2.測量出各點(diǎn)與它的距離 3.移動(dòng)直線，到達(dá)某一位置使距離的和最小，測量出此時(shí)直線的斜率與截距，得到回歸方程。,1.選取兩點(diǎn)作直線 ps：使直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。,1.在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定出幾條直線的方程 2.分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù) 3.將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率與截距。,？,上面三種方法都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強(qiáng).,回歸直線與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置用

2、數(shù)學(xué)的方法來刻畫應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？,方法匯總,1.畫一條直線 2.測量出各點(diǎn)與它的距離 3.移動(dòng)直線，到達(dá)某一位置使距離的和最小，測量出此時(shí)直線的斜率與截距，得到回歸方程。,1.選取兩點(diǎn)作直線 ps：使直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。,1.在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定出幾條直線的方程 2.分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù) 3.將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率與截距。,最小二乘法,求回歸方程的關(guān)鍵如何使用數(shù)學(xué)方法來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)到此直線的距離最小”。,假設(shè)兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):(x1, y1),(x2, y2),. (xn, yn) 下面討論如何表達(dá)這些點(diǎn)與一條直線y=b

3、x+a之間的距離。,最小二乘法的公式的探索過程如下：,1.設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)： （x1，y1），（x2，y2），（xn，yn） 2.設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當(dāng)變量x取x1，x2，xn時(shí)，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，n） 3.它與實(shí)際收集得到的yi之間偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，n）,這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。,因此用 表示各點(diǎn)到直線y=bx+a的“整體距離”,(x1,y1),(x2，y2),(xi，yi),(xn，yn),由于絕對值使得計(jì)算不方便，在實(shí)際應(yīng)

4、用中人們更喜歡用,(x1,y1),(x2，y2),(xi，yi),(xn，yn),這樣，問題就歸結(jié)為：當(dāng)a，b取什么值時(shí)Q最??？即點(diǎn)到直線 的“整體距離”最小.,這樣通過求此式的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.,根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)，a，b的值由下列公式給出,13,求線性回歸方程的步驟：,(1)求平均數(shù) ； (2)計(jì)算 與 yi 的乘積,再求 ； (3)計(jì)算 ； (4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式，寫出回歸 直線方程.,xi,根據(jù)最小二乘法公式，利用計(jì)算機(jī)可以求出其回歸直線方程,思考：將表中的年齡作為x代入回歸方程，看看得出的數(shù)值與真實(shí)數(shù)值之間的關(guān)系，從中你體會(huì)到了什么？,x=27時(shí)，y=15.099% x=37時(shí)，y=20.901%,存在樣本 點(diǎn)不在直線上,（2012山東臨沂二模，20,12）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所有支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下表的統(tǒng)計(jì)資料：,若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： （1）線性回歸直線方程 （2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？,y=1.23x+0.08 ；y=12.38,回歸直線 方程特點(diǎn),存在樣本點(diǎn) 不在直線上 的樣本點(diǎn),只能表示線 性相關(guān)關(guān)系,回歸直線方