3-1,2,3向量范數(shù).ppt_第1頁(yè)
3-1,2,3向量范數(shù).ppt_第2頁(yè)
3-1,2,3向量范數(shù).ppt_第3頁(yè)
3-1,2,3向量范數(shù).ppt_第4頁(yè)
3-1,2,3向量范數(shù).ppt_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩47頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、第四章 范數(shù)理論,一、向量范數(shù),二、矩陣范數(shù)與算子范數(shù),三、范數(shù)的應(yīng)用,主要內(nèi)容,第一節(jié) 向量范數(shù),主要內(nèi)容: 1向量范數(shù)的定義及幾種常見(jiàn)的向量范數(shù) 2向量范數(shù)的等價(jià)性,如果函數(shù),則稱 為向量x的范數(shù)。,滿足:,1)正定性,且,2)齊次性,3)三角不等式,對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù),范數(shù)的性質(zhì):,對(duì)于向量空間 上的任意向量 ,一、向量范數(shù)的定義,性質(zhì)(1)利用范數(shù)的齊次性即可證明。 下面證明(2)。根據(jù)三角不等式,有,對(duì)任意的,,可以利用范數(shù)定義向量間的距離如下:,實(shí)例1 在向量空間C n中, 向量的長(zhǎng)度是一種向量范數(shù),稱為2-范數(shù)或歐氏范數(shù)。,證明 易驗(yàn)證條件(i)和(ii)成立,現(xiàn)驗(yàn)證條件(iii)

2、也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。,兩邊開(kāi)方即得證。,證明 范數(shù)定義中的條件(i)顯然成立, 現(xiàn)驗(yàn)證條件(ii)和(iii)也成立,實(shí)例2 在向量空間C n中, 向量分量的最大模是一種向量范數(shù),稱為 -范數(shù)。,反例:設(shè),若令,顯然,它滿足范數(shù)定義中的正定性,但不滿足齊次性,因此它不是 中的范數(shù)。,定理,1范數(shù),,2范數(shù)(或Euclid范數(shù)),范數(shù)(或最大值范數(shù))。,它們均構(gòu)成范數(shù)。,說(shuō)明:在同一個(gè)向量空間,可以定義多種向量范數(shù),而對(duì)于同一個(gè)向量,不同定義的范數(shù),其大小可能不同。,引理3.1.2( 不等式),p-范數(shù)或 范數(shù),利用上面的兩個(gè)引理可以證明:在向量空間Cn中,

3、有下面的范數(shù):,說(shuō)明:在p范數(shù)中,若取p1時(shí),它不是范數(shù); 1-范數(shù),2-范數(shù)是p分別取1,2時(shí)的p范數(shù),而對(duì)于p范數(shù)與范數(shù)有下面的關(guān)系,定理 在向量空間C n中, 向量范數(shù)滿足,證明 當(dāng)X=0時(shí),結(jié)論顯然成立。設(shè),則,因?yàn)?故,所以,說(shuō)明:,我們也可以通過(guò)已知的范數(shù)構(gòu)造新的向量范數(shù).,例,例 設(shè)A是n階正定實(shí)對(duì)稱矩陣,在向量空間Rn中, 定義向量函數(shù)為,試證上述函數(shù)是向量范數(shù),稱為向量的加權(quán)范數(shù)或橢圓范數(shù)。,所以 是向量范數(shù)。,證明 因?yàn)锳是正定對(duì)稱矩陣,故存在可逆矩陣P,使得,從而,的連續(xù)函數(shù)。,定理:設(shè) 是 上的向量范數(shù),則 是,證明,范數(shù)等價(jià)性,對(duì)于兩個(gè)向量范數(shù) ,如果存在常數(shù)和,則稱

4、范數(shù) 等價(jià),定理 向量空間 中的任意兩個(gè)向量范數(shù)等價(jià)。,使得,容易證明:向量范數(shù)的等價(jià)具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性.,首先任一向量范數(shù)是 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù),證明,定義Dn是Cn的單位球面(有界閉集),說(shuō)明:我們證明 上的任一范數(shù)都與2-范數(shù)等價(jià),再利用范數(shù)等價(jià)的傳遞性即可。,因?yàn)?故它在Dn上取到最大值m和最小值M,是連續(xù)函數(shù),,再利用范數(shù)等價(jià)的傳遞性可知: 上的任意兩個(gè)范數(shù)都等價(jià)。,向量范數(shù)的等價(jià)性表明:按不同向量范數(shù)定義的向量的收斂性 具有一致性。,第二節(jié) 矩陣范數(shù),主要內(nèi)容: 1矩陣范數(shù)的定義、性質(zhì) 2算子范數(shù)(由向量誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)) 3幾種常用的矩陣范數(shù),定義,滿足:,(1)正定性,且,

5、(2)齊次性,(3)三角不等式,(4)相容性,矩陣范數(shù)的性質(zhì):,對(duì)于兩個(gè)矩陣范數(shù) ,如果存在常數(shù)和,則稱范數(shù) 等價(jià),使得,矩陣范數(shù)同向量范數(shù)具有類似的性質(zhì),比如等價(jià)性:,在 上常用的矩陣范數(shù)有:,定理1 矩陣Frobenius范數(shù)是酉不變的。,成立,即設(shè),則對(duì)任意酉矩陣,定理2 設(shè) 是 上的矩陣范數(shù), 則在 上存在與 相容的向量范數(shù),證明:任取一非零向量,定義向量X的范數(shù)為,即矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容,容易驗(yàn)證 是 上的向量范數(shù),并且,對(duì)于 的矩陣范數(shù)與 上的同類向量范數(shù),如果有,則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。,算子范數(shù),即由向量范數(shù)構(gòu)造矩陣范數(shù),為了書(shū)寫簡(jiǎn)明,均不注明范數(shù)屬于哪個(gè)空間,由范數(shù)

6、中的矩陣(或向量)加以區(qū)別),則 是矩陣A的范數(shù)并且與 相容。,首先由定義可知,即,再證明定義的第二個(gè)等號(hào)成立。記,再證明(D1)式中的最大值可以達(dá)到。,由 是C n 的連續(xù)函數(shù),D n 是C n中的有界閉集,,知 在D n上取到最大值。,則,正定性:,齊次性:,三角不等式和相容性:,設(shè),則存在,使,于是,由,我們稱由(D1)式所定義矩陣范數(shù)為由向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù),也稱矩陣的算子范數(shù)。,對(duì),從而,說(shuō)明:由向量導(dǎo)出的矩陣范數(shù)是相容范數(shù),存在向量,滿足,根據(jù)常用的向量1-范數(shù),2-范數(shù)及 -范數(shù)得到相應(yīng)的矩陣算子范數(shù),列和范數(shù),譜范數(shù),行和范數(shù),譜范數(shù)使用起來(lái)不方便,但它卻有一些特殊的性質(zhì),在

7、理論推導(dǎo)中非常重要。,定理3,設(shè),則,對(duì)于矩陣譜范數(shù)有下面的性質(zhì):,(2)2-范數(shù)是酉不變的,例:設(shè),計(jì)算,因?yàn)?第三節(jié) 范數(shù)的應(yīng)用,主要內(nèi)容: 1、范數(shù)在特征值估計(jì)方面的應(yīng)用- 矩陣譜半徑矩陣范數(shù)間的關(guān)系 2、范數(shù)在擾動(dòng)分析方面的應(yīng)用,譜半徑定義,記,設(shè)1, 2, , n是屬于A的所有特征值,稱,為A的譜半徑。,證明,設(shè)1, 2, , n是屬于A的所有特征值,因此,性質(zhì)1 對(duì)于任意n階矩陣A,成立,性質(zhì)2,(1)對(duì)于任意n階矩陣A,成立,(2)當(dāng)A是正規(guī)矩陣時(shí),,證明,(1)設(shè)是屬于A的特征值,而矩陣AHA與AAH的特征值相同,則(1)成立。,解: 因?yàn)?則,從而,A的常見(jiàn)范數(shù),例:求矩陣A

8、的譜半徑及矩陣的范數(shù),從而有,則,說(shuō)明:此結(jié)論具有一般性。,定理1 對(duì)于矩陣A的任一矩陣范數(shù)總有,故,兩邊取范數(shù),由于,證明 設(shè) 是A的特征值 ,X是A的屬于的一個(gè)特征向量,又設(shè) 是與矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù)。,從而,定理2 設(shè) ,則對(duì) ,必存在一個(gè)矩陣范數(shù),使,證明 由Jordan分解定理,存在可逆矩陣P,使得,令,則易驗(yàn)證,對(duì)給定的矩陣 ,規(guī)定,于是,容易驗(yàn)證 是 上的矩陣范數(shù),且有,范數(shù)的應(yīng)用-矩陣的非奇異性條件,定理3,則I-A可逆,且,設(shè),說(shuō)明:,(1)根據(jù)范數(shù) 的大小來(lái)判斷,是否為非奇,異矩陣;,(2)若矩陣A的范數(shù) 很小,由于 是它元素的連續(xù)函數(shù),,而 的逆矩陣為I,,所以矩陣A接

9、近于零矩陣,,證明(1)用反證法 : 即假設(shè)I - A不可逆,則線性方程組(I-A)X=0有非零解X0,因此,矛盾;,所以I - A可逆。,取范數(shù)得:,范數(shù)的應(yīng)用近似逆矩陣的誤差,則,設(shè),條件數(shù)定義,稱cond(A)為矩陣A的條件數(shù)。反映了近似逆矩陣誤差的一個(gè)量;條件數(shù)越大,近似逆矩陣相對(duì)誤差越大。,結(jié)論,第四節(jié) 特征值的估計(jì)與表示,特征值是矩陣的重要參數(shù)之一,矩陣的特征值可以用復(fù)平面上的點(diǎn)來(lái)表示,當(dāng)矩陣的階數(shù)比較高時(shí),計(jì)算它的特征值一般比較困難,而對(duì)它的特征值給出一個(gè)范圍就是特征值的估計(jì)問(wèn)題。,而實(shí)際上,對(duì)于許多的應(yīng)用問(wèn)題,只要粗略地估計(jì)特征值的大小或者分布范圍就夠了,因此從矩陣的元素出發(fā),

10、用比較簡(jiǎn)便的運(yùn)算給出矩陣特征值的所在范圍,將有十分重要的意義。,主要內(nèi)容: 1矩陣特征值的有關(guān)不等式 2特征值所在的區(qū)域蓋爾圓,定理1 設(shè) 為 的特征值,則有,等號(hào)成立的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣。,Schur不等式,證明:,由Schur定理,,存在酉矩陣U,使,對(duì)(1)式兩端取共軛轉(zhuǎn)置并兩式相乘得:,因?yàn)镽為對(duì)角元為A的特征值的上三角矩陣,所以,矩陣特征值實(shí)部與虛部界的不等式,引理:設(shè) 滿足,則,證明:設(shè),則有,定理2 設(shè),則A的任,一特征值 滿足:,證明:設(shè)A的屬于 的單位特征向量為x,即,上式兩端左乘以xH可得,再取共軛轉(zhuǎn)置得.,由引理知:,推論:,(1)Hermite矩陣的特征值都是實(shí)

11、數(shù);,(2)反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)。,例:設(shè)矩陣,估計(jì)A的特征值的界,因?yàn)?所以,由,則A的任一特征值 滿足:,關(guān)于實(shí)矩陣特征值虛部的界,還有更精確的估計(jì)式,定理:設(shè),則A的任一特征值 滿足:,在上面的例子中,可進(jìn)一步地有,特征值的包含區(qū)域-蓋爾圓,定義 設(shè),記,稱復(fù)平面,上的圓域,為矩陣A的第,i個(gè)蓋爾圓,稱Ri為蓋爾圓Gi的半徑。,蓋爾圓定理1:矩陣 的全體特征值都在它的n個(gè)蓋爾圓構(gòu) 成的并集之中.,證明:設(shè)A的屬于 的單位特征向量為x,記,則有,由于,則,即,從而有,也就是,因此 在A的蓋爾圓構(gòu)成的并集之中.,注意到:A與AT的特征值相同,因此A的全體特征值也都在AT的 n個(gè)蓋爾圓構(gòu)成的并集之中,稱AT的蓋爾圓為A的列蓋爾圓.,例:估計(jì)A的特征值的分布范圍,A的4個(gè)蓋爾圓為:,故A的特征值都在 之中.,連通部分:在矩陣A的蓋爾圓中,相交在一起的蓋爾圓構(gòu)成的最大連通區(qū)域稱為一個(gè)連通部分.(孤立的一個(gè)蓋爾圓也是一個(gè)連通部分).,蓋爾圓定理2:若矩陣A的某一連通部分由A

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論