太原市高三一模試卷分析數(shù)學(xué)(理)

1、太原市太原市 20152015 年高三年級(jí)模擬試題（一）年高三年級(jí)模擬試題（一） 數(shù)學(xué)試卷（理工類）數(shù)學(xué)試卷（理工類） 一、選擇題 1、已知(1 + i)z = 2i，則復(fù)數(shù)z =（） A.1 + iB.1 iC.1 + iD.1 i 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算 答案：A 2、已知全集U = R，集合M = x|(x 1)(x + 3) 0,N = x|x| 1,則下圖陰影部分表示的 集合是（） A.-1,1）B.(-3,1C.(-,3)-1,+）D.(-3,-1) M 考點(diǎn)：集合之間的簡(jiǎn)單運(yùn)算 答案：D 3、在單調(diào)遞減等比數(shù)列an中，若a 3 1,a 2 a 4 A.2B.4C.2D.22 考點(diǎn)：數(shù)列

2、的運(yùn)算 答案：B 4、已知函數(shù)f (x) log 2 x，若在1,8 上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，則不等式1 f (x0) 2成立的 概率是（） A、 N U 5 ，則a1（） 2 1 B、 1 C、 2 D、 1 4272 考點(diǎn)：幾何概型 答案：C 5、執(zhí)行如右圖所示程序框圖，則輸出a （） A、20B、14C、10D、7 開始 a 10,i 1 否 i 2015? 是 輸出a 結(jié)束 是 a3a1 a 是奇數(shù) 否 a a 2 i i 1 考點(diǎn)：讀程序框圖 答案：C 6、已知函數(shù)f (x) sin(x )( 0,| 的最小正周期是，若將其圖像向右平移) 2 個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f (

3、x)的圖像（） 3 對(duì)稱B、關(guān)于直線 5 對(duì)稱A、關(guān)于直線x x 1212 5 C、關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 D、關(guān)于直線( ， 0)對(duì)稱 1212 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像及性質(zhì) 答案：B 7、已知在圓x2+ y2 4y + 2y = 0內(nèi)，過(guò)點(diǎn) E（1,0）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是 AC 和 BD， 則四邊形 ABCD 的面積為 A、35B、65C、415D、215 考點(diǎn)：圓與直線位置關(guān)系 答案：D 8、已知某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是 A、16B、32C、32D、48 考點(diǎn)：由三視圖求體積 答案：C x 9、已知實(shí)數(shù)a,b滿足2 3,3 2，則函數(shù)f x a xb 的零點(diǎn)所在的

4、區(qū)間是 ab A. 2,1 B. 1,0 C. 0,1 D.1,2 考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 答案：B x 2 10、已知實(shí)數(shù)x, y滿足條件x y 4若目標(biāo)函數(shù)z 3x y的最小值為 5，其最大 2x yc 0 值為 A. 10B. 12C. 14D. 15 考點(diǎn)：線性規(guī)劃 答案：A 11、已知點(diǎn)為雙曲線C的對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)的兩條直線l 1 與l2的夾角為60，直線l 1 與雙 曲線C相交于點(diǎn)A 1,B1 ，直線l2與雙曲線C相交于點(diǎn)A 2 ,B 2 ，若使A 1B1 A 2B2 成立的直 線l 1 與l2有且只有一對(duì)，則雙曲線C離心率的取值范圍是 2 3 A. 3 ,2 B. 2 3

5、,2 C. 3 2 3 3 ,+ D. 2 3 ,+ 3 考點(diǎn)：雙曲線離心率的求解 答案：A 12、 已知數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為 a n 1 則Sn n2n1cos n 其前n項(xiàng)和為Sn，1nN， 2 A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和的求解 答案：D 二、填空題 rr r r r r r r r r 2a ba b 6 a 2, b 1 13.已知向量a,b滿足，且，則a與b的夾角為。 答案：120O 1 14、已知2x 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 64，則其展開式中常數(shù)項(xiàng)是_. x 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理 答案：60 n 15、已知在直角梯形ABCD中，AB AD

6、,CD AD,AB 2AD 2CD 2將已知在直 角梯形沿AC折疊成三棱錐D ABC，當(dāng)三棱錐D ABC體積取最大值時(shí)其外接球的體 積為 考點(diǎn)：球的內(nèi)切問(wèn)題 答案： 4 3 3 2 16、已知定義在 R 上的奇函數(shù)f (x)滿足f ( x) f (x), f (2) 3，數(shù)列an的前 n * 項(xiàng)和為S n ，且a 1 1,S n 2a n n(n N )，則f (a 5 ) f (a 6 ) 考點(diǎn)：構(gòu)造數(shù)列和函數(shù)的對(duì)稱性及周期性。 答案：3 三、解答題 17、已知a,b,c分別是ABC的角A,B,C所對(duì)的邊，且c 2,C （）若ABC的面積等于 3，求a,b； （）若sinC sin(B A)

7、 2sin2A,求A的值。 解： （） c 2,C 3 。 3 ，由余弦定理得4 a2b22abcos 3 a2b2ab。 1 ABC的面積等于3，absinC 3,ab 4。 4 分 2 a 2b2ab 4 聯(lián)立解得a 2,b 2。 6 分 ab 4 （）sinC sin(B A) 2sin2A,sinB Asin(B A) 4sin Acos A, sinBcosA 2sin AcosA。 8 分 當(dāng)cos A 0時(shí)，則A 2 。 9 分 sinB 2sin A,由正弦定理得b2a， 當(dāng)cos A 0時(shí)， a 2b2ab 4 2 34 3 解得a ,b 聯(lián)立， 33b 2a b2 a2c2

8、, C 綜上所述，A 18、 某工廠為了檢查一條流水線的生產(chǎn)情況，從該流水線上隨機(jī)抽取40 件產(chǎn)品，測(cè)量這些 產(chǎn)品的重量（單位：克） ，整理后得到如下的頻率分布直方圖（其中重量的分組區(qū)間分別為 3 ,A 6 , 2 或A 6 。 12 分 490,495，495,500，500,505，505,510，510,515） （I）若從這 40 件產(chǎn)品中任取兩件，設(shè)X 為重量超過(guò) 505 克的產(chǎn)品數(shù)量，求隨機(jī)變量X 的分布列； （II）若將該樣本分布近似看作總體分布，現(xiàn)從該流水線上任取 5 件產(chǎn)品，求恰有兩件 產(chǎn)品的重量超過(guò) 505 克的概率。 解： （I） 根據(jù)頻率分布直方圖可知， 重量超過(guò) 50

9、5 克的產(chǎn)品數(shù)量為 0.010.05540 12 由題意得隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 0,1,2 2112C 28 C 28C12 C 12 632811 ，PX 1，PX 0 2 P X 2 22C 40 130C 40 65C 40 130 隨機(jī)變量 X 的分布列為 （II）由題意得該流水線上產(chǎn)品的重量超過(guò)505 克的概率為 0.3 設(shè) Y 為該流水線上任取 5 件產(chǎn)品重量超過(guò) 505 克的產(chǎn)品數(shù)量，則Y : B5,0.3 故所求概率為PY 2C50.3 0.7 0.3087 223 X P 012 63 130 28 65 11 130 19、 （本小題滿分 12 分） 如圖，在斜三

10、棱柱ABC A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B 底面 ABC，側(cè)棱AA1與底面 ABC 的所成角為60 ，AA1= 2，底面 ABC 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，點(diǎn) G 為ABC的重心，點(diǎn) E 在BC1上，且 BE= 1 BC 1. 3 （1）求證：GE 平面 AA1B1B； （2）求平面B1GE與底面 ABC 所成銳角二面角的余弦值； 解析： （1）證明：連接B1E，并延長(zhǎng)交 BC 于點(diǎn) F，連接AB1,AF , ABC A1B1C1是三棱柱， BC B1C1， EFBEB1C1， 1BEEFBF1 又 BE =BC1， =， 3EC1EB1B1C12 1 BF =BC， F 是 BC 的中點(diǎn)。

11、 2 GFBF1 點(diǎn) G 是ABC 的重心， 點(diǎn) G 在 AF 上，且=， AGEB12 GE AB1， GE 平面 AA1B1B； （2）證明：過(guò)點(diǎn)A1作A1O AB，垂足為 O，連接 OC, 側(cè)面 AA1B1B 底面 ABC， A1O 底面 ABC， A1AB = 60 AA1= 2， AO = 1， AB = 2， 點(diǎn) O 是 AB 的中點(diǎn) 又 點(diǎn) G 是正三角形 ABC 的重心 點(diǎn) G 在 OC 上， OC AB， A1O 底面 ABC， A1O OB，A1O OC 以 O 為圓心，分別以O(shè)C，OB，OA 為 x，y，z 軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由 題意可得： A（0， -

12、1,0） ， B （0,1,0） ， C （3， 0,0） ， A1（0,0， B1（0,2， C1（3，1，3）3） ，3） 1 3 3 3 3 3 則 G(,0，0)， BE =BC1= (,0，)， E(,1，)， 333333 = (0，1， GE 23 3 3 )，B E = （， 1， ） 1 333 設(shè) n=（x,y,z）是平面B1GE的一個(gè)法向量，則 3 z = 0， ， GE 3 32 3 B1 E， z = 0，x y 33 y + 令z = 3，則x = 3，y = 1， = （3， 1，3） 由（1）知OA1= （0，0，3）是平面 ABC 的一個(gè)法向量， 設(shè)平面B1G

13、E與底面 ABC 所成銳二面角為，則有： cos = 21 =. | |7 x2y2 1 點(diǎn)為橢圓上的20、 已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左右焦點(diǎn)F 1,F2 其離心率為e ，P ab 2 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PF 1F2 內(nèi)切圓面積的最大值為 (1)求 a,b 的值 4 3 uuu ruuu r uuu ruuu u r uuu r uuu r (2)若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)， 且滿足F 1A/FC1 ,F 1B/F1D,ACBD0, uuu ruuu r 求| AC | BD|的取值范圍。 解析： （1）當(dāng)P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)PF 1F2 內(nèi)切圓面積的最大值設(shè)PF 1F2 內(nèi)切圓

14、半徑r ， S PF 1F2 112 3 | F 1F2 |OP|bc (|F 1F2 | F 1P| F2P|)r (ac) 223 1 Qe a 2c,b 2 3,a 4 2 uuuuuruuu r uuu ruuu u r uuu r uuu r （2）Q F 1A/FC1 ,F 1B/F1D,ACBD0,直線 AC，BD垂直相交于點(diǎn)F 1 由（1）橢圓 22xy 方程1F （0） 1 -2， 1612 uuu ruuu r 直線AC，BD有一條斜率不存在時(shí)| AC | BD|=6+8=14 當(dāng)AC斜率存在且不為 0 時(shí)， 設(shè)方程 y k(x2),A(x 1, y1),C(x2 , y

15、2 ) 則 A,C 是方程組的 兩組解 x 2y2 1 1612 y k(x2) 1 k 16k2 x x r 24(k21)12 34k2 uuu ,| AC | 234k2 x x 16k 48 12 34k2 BD方程y (x2)同理 x2y2 1 uuur 24(k21) 1612 | BD | 43k2 y 1 (x 2) k uuu ruuu r | AC| BD|= 2 168(k21)2 (43k2)(34k2) 設(shè)t k 1(k 0),t 1 uuu ruuu r | AC| BD|= ruuu r 96168t 11 uuu Qt 10 2 | AC| BD|,14 t 1

16、 t47 12 2t uuu ruuu r 96 ,14| AC | BD| 由的取值范圍 7 21、已知函數(shù)f (x) x a(xln x),aR. （I）若當(dāng)a 1時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間； （II）若f (x) 解： （I）由題意得x(0,)， 2 1 (e1)a，求a的取值范圍。 2 2x2 x1 當(dāng)a 1時(shí)，則f (x) x xln x, f (x) ， x 2 令f (x) 0，則0 x 1;令f (x) 0，則x1； ，單調(diào)增區(qū)間是1,)。 f (x)的單調(diào)減區(qū)間是（0,1） （II）當(dāng)a 0時(shí)，f (x) x，顯然符合題意； 當(dāng)a 0時(shí)，當(dāng)0 x e1 1 a 2 1時(shí)， 1

17、1 f (x) 1aaln x 1aa(1) 0 (e1)a，不符合題意； a2 當(dāng)a 0時(shí)，則 2x2axa f (x) ， x 2 令f (x) 0，則存在x0(0,)，使得2x 0 ax 0 a 0，即f (x 0 ) 0， 令f (x) 0，則0 x x0；令f (x) 0，則x x0， 2 f (x) min f (x 0 ) x 0 a(x 0 ln x 0 ) 1 a(x 0 1)2ln x 0 ， 2 1 Q f (x) (e1)a,x 0 2ln x 0 (e2) 0,0 x 0 e 2 222x2e 2Q 2x 0 ax 0 a 0,a 0(,0) x 0 1e1 2e2

18、,0 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍( e1 22.22.選修選修 4-14-1：幾何證明選講：幾何證明選講 如圖， 已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)， 過(guò)C的直線交 AB 的延長(zhǎng)線于E， 交過(guò)點(diǎn)A的圓O的切線于點(diǎn)D，BC/ /OD，AD AB 2. （1）求證：直線DC是圓O的切線； （2）求線段EB的長(zhǎng). 答案：答案： （1）證明：連接OC，QAD是圓O的切線，DAO 90o Q BC / /OD,AOD OBC,DOC BCO Q OB OC,OBC BCO, AODDOC, 又Q OA OC,OD OD,VOCD VOAD, DCO DAO 90o,OC DC, 直線DC是圓O的切線； （2）設(shè)EB x,Q BC / /OD, EBEC , BOCD QDC是圓O的切線，DC DA 2, Q BO 1 AB 1,EC 2x， 2 由（1）得，直線EC是圓O的切線，EC2 EBEA， 4x2 xx2,EB x 2 . 3 23.23. 選修選修 4-44-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 x 1 3cos 在直角坐標(biāo)系xOy中， 曲線C1的參數(shù)方程為 y 3sin （其中為參數(shù)） ， 點(diǎn)M uuu ruuuu r 是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上，且滿足OP 2OM. （1