大學高等數學ppt課件第六章2矩陣及其運算

1、克萊姆法則,矩陣及其運算,如果線性方程組,的系數行列式D不等于零， 則方程組有唯一解,行列式的應用Crammer法則,（1）,證明,例1 用Cramer法則求解線性方程組,解 系數行列式為,所以,小結：Crammer法則的使用有極大的局限性 （1） Crammer法則只能用于求解方程個數與未知數 個數相等的線性方程組； （2） Crammer法則只能求得系數行列式不為零時的 線性方程組的唯一解； 即如果方程個數與未知數個數不相等，或系數 行列式等于零，則Crammer法則失效。 （3）計算量大，要計算 n+1 個 n 階行列式的值。 如何解決這些問題呢？留待第七章解決。,齊次線性方程組,常數項

2、全為零的線性方程組，稱為齊次線性方程組。,這樣的方程組一定有解，至少有零解,根據Crammer法則，當系數行列式D0時，齊次線性 方程組只有唯一的零解；否則，當系數行列式 D=0 時， 齊次線性方程組有非零解（無窮多個）。,例2 當k為何值時，下面的方程組只有零解？,解 因為系數方程組的行列式為,所以當 k5且 k1時，原方程組只有零解,例3 當、為何值時，下面的方程組有非零解？,解 因為系數方程組的行列式為,所以當 =1 或 =0 時，原方程組有非零解,用加減消元法求解二元一次方程組,得,得, 矩陣的引入,可見，在求解方程組的過程中，只有方程組的系數和常數項進行運算，未知量只是進行同類項的合

3、并。 在日常生活中，我們也經常關心一些數表：如價格表、股票行情表、財務報表等等，這些重要的“矩形數表”，在數學學科中，則可用矩陣來表示。,矩陣的定義（見書P233定義1）,矩陣的一般形式如下：, 矩陣的概念,稱為方程組的增廣矩陣,稱為方程組的系數矩陣,設有線性方程組,線性方程組與矩陣之間可建立一一對應的關系,行矩陣（行向量）只有一行的矩陣。,等,列矩陣（列向量）只有一列的矩陣。,等,幾種特殊形式的矩陣,等,零矩陣 所有元素都為零的矩陣，簡記作 。,方陣行數和列數相等的矩陣。如：,等,二階方陣,三階方陣,n階方陣,如,等,對角形矩陣主對角線上的元素不全為零，其它的 元素都為0的方陣，簡記作 。,

4、單位矩陣主對角線上的元素都是1的對角形矩陣， 簡記作 。如：,等,上三角形矩陣主對角線下方元素全為零、上方的 元素不全為0的方陣。如：,等,下三角形矩陣主對角線上方的元素全為零，下方 的元素不全為0的方陣。,同型矩陣：有相同的行數與相同的列數的 兩個矩陣，稱為同型矩陣。,如：,只有矩陣 與矩陣 同型,注意：同型是相等的必要條件。,相等矩陣：若 兩矩陣同型且對應位置上 的元素相等，則稱 相等，記 作 。,如：,關 系 式, 矩陣的基本運算及性質,（1）交換律 A+B = B+A,（2）結合律 （A+B）+C = A+（B+C）,矩陣的加法（見P234定義2）,矩陣加法的運算規(guī)律：,注意：只有同型

5、矩陣才能相加。,例,矩陣的減法,數乘矩陣（見教材P235定義3）,如：,注意：數乘矩陣時， 矩陣的每一元素都要乘以常數K。,等,數量矩陣,數乘矩陣的運算規(guī)律：,設 ， ，求滿足 方程 的 。,課堂練習,矩陣的乘法（見教材P235定義4）,設,則,其中,左矩陣 右矩陣 A的列數 B的行數,例如：,無意義！,AB存在，BA無意義，,例題：計算下列各題,（1）,（2）,AB與BA不同型,（3）,（4）,（5）,（6）,（2）當AB=BA時，稱A、B為可交換矩陣，或 稱A、B可交換。此時，A、B必為同階方陣。,小 結,（8）,（7）,矩陣的乘法運算 不滿足消去律,矩陣相乘的運算規(guī)律：,一般地：,或,若

6、 A 是方陣，則乘積,有意義，記作,稱為 A 的 k 次冪。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,性質,線性方程組的矩陣表示法（2）,若記：,則方程組（1）可記為：,矩陣A的轉置（見教材P237定義5）,或,如,矩陣轉置的運算規(guī)律：,驗證（4）式：,答案,反對稱矩陣：如果 ，則稱矩陣A為反對稱矩陣。,對稱矩陣：如果 ，則稱矩陣A為對稱矩陣。,方陣的行列式,1、方陣的行列式,如,則,數表,數值,2、方陣的行列式的性質,矩陣運算的應用,1、兩個商店（用行表示），三種商品（用列表示）在 一月和二月的銷售量分別表示為矩陣A和B，如要考察 二月比一月的銷售量增加了多少，應如何計算？結果如 何？如要計算兩個月的銷售量之和，應如何計算？結果 如何？,2、毗鄰的甲乙兩城計劃建造兩類住宅，計劃數量如 矩陣A，兩類住宅對三種構件的需求數量如矩陣B，制 造各種構件需要三種原料的數量如矩陣C，試用適當的 矩陣運算求（1）建造每類住宅所需各種原料的數量； （2）甲、乙兩城對三種構件的需求數量；（3）甲、乙 兩城對三種原料的需求數量。,答案,證明 設A1j、A2j、Anj為方程組的系數矩陣第j列 元素的代數余子式，依次用A1j、A2j、Anj乘以方 程組的第一、第二、第n個方程，然后相加，則 可