2018版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 拋物線及其標準方程學案 新人教A版選修1-1

1、2.3.1拋物線及其標準方程1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.(重點)2.會求簡單的拋物線的方程.(重點)3.了解拋物線的實際應用.(難點)4.能區(qū)分拋物線標準方程的四種形式.(易混點)基礎初探教材整理拋物線的定義與標準方程閱讀教材P56P58“思考”部分，完成下列問題.1.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程四種不同標準形式的拋物線方程圖形標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦點坐標準線方程xxyy判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)

2、標準方程y22px(p0)中的p的幾何意義是焦點到準線的距離.()(2)拋物線的焦點位置由一次項及一次項系數的正負決定.()(3)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線.()(4)拋物線可看作雙曲線的一支.()【答案】(1)(2)(3)(4)小組合作型求拋物線的標準方程求適合下列條件的拋物線的標準方程，并寫出它們的準線方程和焦點坐標.(1)過點(3,2)；(2)焦點在直線x2y40上；(3)焦點到準線的距離為.【精彩點撥】本題主要考查拋物線標準方程的求法，解題的關鍵是明確標準方程的類型和參數p的值.【自主解答】(1)點(3,2)在第二象限，設拋物線方程為y22px或x22py

3、(p0).將點(3,2)代入方程，得2p或2p.當焦點在x軸上時，所求拋物線方程是y2x，其焦點為，準線方程為x；當焦點在y軸上時，所求拋物線方程為x2y，其焦點為，準線方程為y.(2)令x0，由方程x2y40，得y2.拋物線的焦點為F(0，2).設拋物線方程為x22py(p0)，則由2，得2p8，所求拋物線方程為x28y.令y0，由方程x2y40，得x4.拋物線的焦點為F(4,0).設拋物線方程為y22px(p0)，則由4，得2p16，所求拋物線方程為y216x.綜上，所求拋物線方程為x28y或y216x.其準線方程為y2或x4，焦點坐標為(0，2)或(4,0).(3)由焦點到準線的距離為，

4、可知p.所求拋物線方程為y25x或y25x或x25y或x25y.求拋物線方程，通常用待定系數法，若能確定拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可.若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論.焦點在x軸上的拋物線方程可設為y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可設為x2ay(a0).再練一題1.根據下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)準線方程為y1; 【導學號：】(2)焦點在x軸的正半軸上，焦點到準線的距離是3.【解】(1)由準線方程為y1知拋物線焦點在y軸正半軸上，且1，則p2.故拋物線的標準方程為x24y.(2)設焦點在x軸的正半軸上的拋物線的標準方程為y22px(p0)，

5、則焦點坐標為，準線為x，則焦點到準線的距離是p3，因此所求的拋物線的標準方程是y26x.拋物線的實際應用噴灌的噴頭裝在直立管柱OA的頂點A處，噴出水流的最高點B高5 m，且與OA所在的直線相距4 m，水流落在以O為圓心，半徑為9 m的圓上，則管柱OA的長是多少？【精彩點撥】根據題意先建立坐標系，設出拋物線方程，把實際問題轉化為數學問題.【自主解答】如圖所示，建立直角坐標系，設水流所形成的拋物線的方程為x22py(p0)，因為點C(5，5)在拋物線上，所以252p(5)，因此2p5，所以拋物線的方程為x25y，點A(4，y0)在拋物線上，所以165y0，即y0，所以OA的長為51.8 (m).所

6、以管柱OA的長為1.8 m.在建立拋物線的標準方程時，常以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立坐標系，這樣可使得標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便于應用.再練一題2.某河上有一座拋物線形的拱橋，當水面距拱頂5 m時，水面寬8 m，一木船寬4 m，高2 m，載貨的木船露在水面上的部分為0.75 m，當水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？【解】以橋的拱頂為坐標原點，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標系.(如圖)設拋物線的方程是x22py(p0)，由題意知A(4，5)在拋物線上，故162p(5)p，則拋物線的方程是x2y(4x4)，設水面上漲，

7、木船面兩側與拋物線形拱橋接觸于B、B時，木船開始不能通航.設B(2，y)，22yy.0.752.故當水面上漲到與拋物線形的拱頂相距2 m時，木船開始不能通航.探究共研型拋物線定義的應用探究1拋物線中p的幾何意義是什么？【提示】拋物線標準方程中的p的幾何意義是焦點到準線的距離.探究2拋物線定義的功能是什么？【提示】根據拋物線的定義，拋物線上的任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，拋物線定義的功能是可以把點點距轉化為點線距，從而使有關的運算問題變得簡單、快捷.(1)若動點M到點F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，則動點M的軌跡方程是_.(2)如圖231，已知拋物線y22x的焦點是

8、F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2).求|PA|PF|的最小值，并求此時P點坐標.圖231【精彩點撥】(1)中先由拋物線的定義確定點M的軌跡，再寫方程.(2)由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線的距離d，求|PA|PF|的問題可轉化為|PA|d的問題.【自主解答】(1)如圖，設點M的坐標為(x，y). 由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x40的距離.根據拋物線的定義，點M的軌跡是以F(4,0)為焦點的拋物線，且4，即p8.因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為y216x.【答案】y216x(2)如圖，作PQl于Q，由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于

9、點P到準線l的距離d，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問題可轉化為求|PA|d的最小值的問題.將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內部.設拋物線上點P到準線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d.由圖可知，當PAl時，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y22x，得x2.點P坐標為(2,2).1.對于動點到定點的距離比此動點到定直線的距離大多少或小多少的問題，實際上也是拋物線問題.2.拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的轉化，另外要注意平面幾何知識的應用，如兩點之間線段最短，三角形

10、中三邊間的不等關系，點與直線上點的連線垂線段最短等.再練一題3.(1)已知點P是拋物線y22x上的一個動點，則點P到點A(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為() 【導學號：】A.B.2C.D.(2)拋物線y22px(p0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p_.【解析】(1)如圖，由拋物線定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和的最小值轉化為求|PA|PF|的最小值，則當A、P、F三點共線時，|PA|PF|取得最小值.又A(0,2)，F，(|PA|PF|)min|AF|.故選A.(2)依題意，點Q為坐標原點，所以1，則p2.【答案】(1)A(2)21.拋物線y2

11、x2的焦點坐標是()A.(1,0)B.C.D.【解析】拋物線的標準方程為x2y，所以p，故焦點坐標是.【答案】D2.拋物線y28x的焦點到準線的距離是()A.1B.2C.4D.8【解析】拋物線焦點到準線的距離是p4.【答案】C3.若雙曲線1的右焦點與拋物線y212x的焦點重合，則m_.【解析】雙曲線1的右焦點為(，0)，拋物線y212x的焦點F(3,0)，3，m6.【答案】64.以拋物線y28x上的任意一點為圓心作圓與直線x20相切，則這些圓必過一定點，這個定點的坐標是_.【解析】拋物線y28x的準線方程是x20，根據拋物線的定義，圓心到直線x20的距離等于圓心到焦點的距離，所以這些圓必過拋物線的焦點，所以應填(2,