2018版高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)3.4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案蘇教版必修1

1、3.4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用1了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟，體會數(shù)學(xué)建模的基本思想(難點(diǎn))2了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型的意義，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理函數(shù)模型及其應(yīng)用閱讀教材P98至P100，完成下列問題1常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：f (x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)；(2)反比例函數(shù)模型：f (x)b(k，b為常數(shù)，k0)；(3)二次函數(shù)模型：f (x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)；(4)指數(shù)函數(shù)模型：f (x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b0，b1)；(5)對數(shù)函數(shù)模型：f (x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，a0，a1)

2、；(6)冪函數(shù)模型：f (x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)(7)分段函數(shù)模型2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中1某商店每月利潤的平均增長率為2%，若12月份的利潤是當(dāng)年1月份利潤的k倍，則k_.【解析】設(shè)1月份利潤為x，則12月份的利潤yx(12%)11kx，k1.0211.【答案】1.02112在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y

3、t與單價x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如果購買1 000 t，每噸為800元；購買2 000 t，每噸為700元，一客戶購買400 t，單價應(yīng)該是_元【解析】依題意，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，由x800，y1 000及x700，y2 000，可得k10，b9 000，即y10x9 000，將y400代入得x860(元)【答案】860小組合作型利用已知函數(shù)模型解實(shí)際問題1.一次、二次函數(shù)模型通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，分析結(jié)果和

4、實(shí)驗(yàn)表明，用f (x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(f (x)值越大，表示接受的能力越強(qiáng))，x表示提出和講授概念的時間(單位：min)，可有以下的公式：f (x)(1)開始后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長時間？(2)開講后5 min與開講后20 min比較，學(xué)生的接受能力何時強(qiáng)一些？(3)一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13 min時間，老師能否及時在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？【精彩點(diǎn)撥】精讀題目，理解題意及分段函數(shù)的意義進(jìn)行求解【自主解答】(1)當(dāng)0x10時，f (x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.故f (x)在(0,10上單調(diào)遞增，最

5、大值為f (10)0.1(3)259.959；當(dāng)16x30時，f (x)單調(diào)遞減，f (x)31610759.因此，開講后10 min，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力(值為59)，并維持6 min.(2)f (5)0.1(513)259.959.96.453.5，f (20)3201074753.5f (5)因此，開講后5 min學(xué)生的接受能力比開講后20 min強(qiáng)一些(3)當(dāng)0x10時，令f (x)55，則0.1(x13)24.9，(x13)249.所以x20或x6，但0x10，故x6.當(dāng)16x30時，令f (x)55，則3x10755.所以x17.因此，學(xué)生達(dá)到(或超過)55的接受能力的時間為17

6、61113(min)，所以老師來不及在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題再練一題1某公司試銷一種新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價500元/件，又不高于800元/件經(jīng)試銷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)近似滿足一次函數(shù)ykxb的關(guān)系(圖象如圖343所示)(1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù)ykxb的表達(dá)式；(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤銷售總價成本總價)為S元，求該公司可獲得的最大毛利潤，并求出此時相應(yīng)的銷售單價圖343【解】(1)由題圖可知所求函數(shù)圖象過點(diǎn)(600,400)，(700,300)，得解得所以yx1 000(500x800)(2)由(1)可知Sxy500y

7、(x1 000)(x500)x21 500x500 000(x750)262 500(500x800)，故當(dāng)x750時，Smax62 500.即銷售單價為750元/件時，該公司可獲得最大毛利潤為62 500元2利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型解決實(shí)際問題燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v5log2，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位；(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？ 【精彩點(diǎn)撥】第(1)問知v求Q，直接求得；第(2)問知Q求v，也是直接代入【自主解答】(1)由題知，當(dāng)

8、燕子靜止時，它的速度v0，代入題中給出的公式可得：05log2，解得Q10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位(2)將耗氧量Q80代入題中給出的公式得：v5log25log2815(m/s)即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度為15 m/s.再練一題2某學(xué)校為了預(yù)防甲型H1N1流感，對教室采用藥熏消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為yta(a為常數(shù))，如圖344所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：圖344(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為_；(

9、2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過_小時后，學(xué)生才能回到教室【解析】藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比，則設(shè)函數(shù)為ykt(k0)，將點(diǎn)代入可得k10，則y10t；將點(diǎn)代入yta，得a. 1應(yīng)用已知函數(shù)模型解題，有兩種題型：(1)直接依據(jù)題中的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題；(2)若函數(shù)解析式中含有參數(shù)，將題中相應(yīng)數(shù)據(jù)代入解析式，求得參數(shù)，從而確定函數(shù)解析式，并解決問題，這時用到的是待定系數(shù)法2信息量大是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一大特點(diǎn)，當(dāng)所給條件錯綜復(fù)雜，一時難以理清關(guān)系時，可采用列表分析的方法，有

10、些典型應(yīng)用題也可以畫出相應(yīng)的圖形，建立坐標(biāo)系等3有些實(shí)際問題，可能需要多個函數(shù)模型，這時應(yīng)注意分段函數(shù)模型的使用，在寫分段函數(shù)時必須注意區(qū)間端點(diǎn)值不能重復(fù)，也不能遺漏探究共研型利用數(shù)據(jù)擬合建立函數(shù)模型解實(shí)際應(yīng)用題探究1什么是數(shù)據(jù)擬合？【提示】數(shù)據(jù)擬合是研究變量之間相互影響、相互聯(lián)系，并給出近似的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一種方法探究2用數(shù)據(jù)擬合法如何建立函數(shù)模型？【提示】一般是先做出散點(diǎn)圖，近而根據(jù)散點(diǎn)趨勢選擇相關(guān)模型予以擬合某人對西紅柿市場做了一次調(diào)查，通過調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/102 kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t50110250種植成本Q150108150(1)根據(jù)

11、上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogb t.(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)這四種函數(shù)增長速度的特點(diǎn)選擇適合表中數(shù)據(jù)函數(shù)模型，然后再用該模型解決問題【自主解答】(1)做出散點(diǎn)圖，如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，應(yīng)選取二次函數(shù)yat2btc進(jìn)行描述由題意知解得a，b，c.Qt2t.(2)由(1)知，Q(t150)2100.當(dāng)t150天時，西紅柿的種植成本是最低100元/102 kg.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的基本過程，如下圖所示再練一題3有一

12、組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t12345y1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是_(填序號)ylogax(a1)；yaxb(a1)；yax2b(a0)；ylogaxb(a1)【解析】通過所給數(shù)據(jù)結(jié)合散點(diǎn)圖可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而中的函數(shù)增長速度越來越慢，而中的函數(shù)增長速度保持不變【答案】1用長度為20的鐵絲圍成一個長方形場地，使其一邊靠墻，若靠墻的一邊長設(shè)為x，則長方形的面積為_【解析】因?yàn)榭繅Φ囊贿呴L為x，則另一邊長為10，則長方形的面積為yx(0x20)【答案】yx(0x20)2已知：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988

13、.02則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))_(填序號)(1)ya；(2)yabx；(3)yalogb x；(4)yabx.【解析】由表知x可以取“0”，排除(1)、(3)，對于(2)：當(dāng)x0時，ya1，a1，當(dāng)x1時，yab2.02.b可以取1，當(dāng)x2時，y123；當(dāng)x3時，y134與表中各數(shù)據(jù)相差較大，可知只有(4)正確【答案】(4)3某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖345中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是_元圖345【解析】由題意可知，收入y是銷售量x的一次函數(shù)，設(shè)yaxb，將(1,800)，(2,1 300)代入得a500，b300.當(dāng)銷售量為x0時，y300.【答案】3004一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升直到半夜亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了各圖能基本上反映出亮亮這一天(0時24時)體溫的變化情況的是_(填序號)【解析】從亮亮的體溫變化可以看出圖象應(yīng)為：早晨37 以上37 (中午)晚上37 .【答案】(3)5某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，每生產(chǎn)100臺，需要增加成本(即另增加投入)0.25萬元，市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售收入函數(shù)為R(x)5x