2018高考數(shù)學二輪復(fù)習 難點2.5 函數(shù)性質(zhì)與方程、不等式等相結(jié)合問題教學案 理

1、函數(shù)性質(zhì)與方程、不等式等相結(jié)合問題函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式都是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也都是高考的熱點和重點，在每年的高考試題中這部分內(nèi)容所占的比例都很大，函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式是高中數(shù)學的主線，它們貫穿于高中數(shù)學的各個內(nèi)容，求值的問題就要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式思想的運用是我們解決問題的重要手段.本文就高中階段學生存在的困惑加以類型的總結(jié)和方法的探討.1函數(shù)與方程關(guān)系的應(yīng)用函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程的解就是函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標，函數(shù)也可以看作二元方程通過方程進行研究.就中學數(shù)學而言，

2、函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決.在高考中重點考查函數(shù)零點個數(shù)、零點范圍以及與零點有關(guān)的范圍問題，有時添加函數(shù)性質(zhì)進去會使得此類問題難度加大.例1 【2018黑龍江齊齊哈爾一?！吭O(shè)函數(shù).（1）當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù)的值.思路分析：（1）求導(dǎo)，易知：函數(shù)的單調(diào)

3、遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），對m進行分類討論，得到函數(shù)的最小值，函數(shù)有唯一零點即函數(shù)的最小值為零.點評：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等例2設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則等于 . 【答案】 【解析】由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個或三個（時有三個，時有兩個），所以關(guān)于的方程只能有一個根（若有兩個根，則關(guān)于的方程有四個或五個根），由，可得，的值分別為，故答案為.點評：本題主要考查分段函數(shù)的圖象和解析式；

4、2、函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于難題. 判斷方程零點個數(shù) 的常用方法： 直接法：可利用判別式的正負直接判定一元二次方程根的個數(shù)；轉(zhuǎn)化法：函數(shù)零點個數(shù)就是方程根的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點個數(shù)；數(shù)形結(jié)合法：一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題 .本題判定方程的根的個數(shù)是就利用了方法. 2 函數(shù)與不等式關(guān)系的應(yīng)用函數(shù)與不等式都是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也都是高考的重點，在每年的高考試題中這部分內(nèi)容所占的比例都是很大的.函數(shù)是高中數(shù)

5、學的主線，方程與不等式則是它的重要組成部分.在很多情況下函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)，當時，就轉(zhuǎn)化為不等式，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而同時研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式的應(yīng)用.例3【遼寧省凌源市2018屆期末】若存在使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B數(shù)的取值范圍是，故選B.點睛：研究函數(shù)有解問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)不等式有解求參數(shù)取值范圍，通常采用分離參數(shù)法，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，從而求出的范圍著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，同時考查了學生分析問題和解答問題的能力. 例4已知函數(shù)（）（1）

6、若函數(shù)的最大值為，試比較與的大?。唬?）若不等式與在上均恒成立，求實數(shù)的取值范圍思路分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值，分兩種情況比較大?。唬?）由且得，再由，得，可得結(jié)果.點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及不等式恒成立問題，屬于難題不等式恒成立問題常見方法：分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；討論最值或恒成立；討論參數(shù).本題（2）就是利用方法求得實數(shù)的取值范圍的.3 函數(shù)、方程和不等式關(guān)系的應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念.也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方

7、程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，在高中階段，應(yīng)該讓學生進一步深刻認識和體會函數(shù)、方程、不等式三部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，并把這種內(nèi)在聯(lián)系作為學習的基本指導(dǎo)思想，這也是高中數(shù)學最為重要的內(nèi)容之一.而新課程標準中把這個聯(lián)系提到了十分明朗、鮮明的程度.因此，要高三的復(fù)習中，對這部分內(nèi)容應(yīng)予以足夠的重視.例5已知函數(shù)（1）當時，比較與1的大??；（2）當時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：對于一切正整數(shù)，都有思路分析：（1）當時，其定義域為，令在上是增函數(shù)故當時，；當時，；當時，；（2）當時，其定義域為，令 當或時，；當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增的極大值為，極小值為，又當時，；當時，或；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論知當時，即當時， ，令 所以（3）根據(jù)（1）的結(jié)論知當時，即當時，即令，則有，從而得，故得，即，所以點評：本題考查函數(shù)的函數(shù)的極值、函數(shù)的零點、函數(shù)與不等式，涉及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型. 利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問題.在解答題中主要體現(xiàn)為不等式的證明與不等式的恒成立問題.常規(guī)的解決方法是首先等價轉(zhuǎn)化不等式，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值來解決，當然要注意分類討論思想和轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用. 綜合上面三種題型，可以采取以下