2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案 文 北師大版

1、2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱考情考向分析1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景2.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖象4.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.直接考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；以指數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程、不等式等交匯問題，題型一般為選擇、填空題，中檔難度.1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a0，m，nN，且n1)于是，在條件a0，m，nN，且n1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定(a0

2、，m，nN，且n1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)yaxa10a0時，y1；當(dāng)x0時，0y0時，0y1；當(dāng)x1(6)在(，)上是增函數(shù)(7)在(，)上是減函數(shù)知識拓展1指數(shù)函數(shù)圖像的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，.2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab0.由此我們可得到以

3、下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來研究題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)()na(nN)()(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以理解為個a相乘()(3)函數(shù)y32x與y2x1都不是指數(shù)函數(shù)()(4)若aman(a0，且a1)，則mn.()(5)函數(shù)y2x在R上為減函數(shù)()題組二教材改編2化簡(x0，y0)_.答案2x2y3若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的圖像經(jīng)過點P，則f(1)_.答案解析由題意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4已知a，

4、b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_答案cb0，即ab1，又c01，cba.題組三易錯自糾5計算：0_.答案2解析原式12. 6若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)(1，)解析由題意知0a211，即1a22，得a1或1a.7函數(shù)y823x(x0)的值域是_答案0,8)解析x0，x0，3x3，023x238，0823x0)的值是_答案解析2計算：0.00210(2)10_.答案解析原式25001，1010201.3(2017蘭州模擬)化簡：(a0)_.答案a2解析原式a2.思維升華 (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還

5、應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)題型二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用典例 (1)函數(shù)f(x)1e|x|的圖像大致是()答案A解析f(x)1e|x|是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，又e|x|1，f(x)0.符合條件的圖像只有A.(2)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點，則b的取值范圍是_答案1,1解析曲線|y|2x1與直線yb的圖像如圖所示，由圖像可知，如果|y|2x1與直線yb沒有公共點，則b應(yīng)滿足的條件是b1,1思維升華 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊

6、點，判斷選項中的圖像是否過這些點，若不滿足則排除(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像可從指數(shù)函數(shù)的圖像通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論跟蹤訓(xùn)練 (1)已知實數(shù)a，b滿足等式2 018a2 019b，下列五個關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個 B2個C3個 D4個答案B解析如圖，觀察易知，a，b的關(guān)系為ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的個數(shù)是_答案1解析方程的解可看作函數(shù)y2x和y2x的圖像交點的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個函數(shù)的圖像(如圖)由圖像得只有一個交點，因此該方程只有一個解題型三指數(shù)函數(shù)的

7、性質(zhì)及應(yīng)用命題點1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用典例 (1)(2017河南百校聯(lián)考)已知f(x)2x2x，a，b，則f(a)，f(b)的大小關(guān)系是_答案f(b)f(a)解析易知f(x)2x2x在R上為增函數(shù)，又ab，f(a)f(b)(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(3,1)解析當(dāng)a0時，不等式f(a)1可化為a71，即a8，即a3.又a0，3a0.當(dāng)a0時，不等式f(a)1可化為1.0a0)，則yt22t的遞增區(qū)間為1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上是增加的，所以函數(shù)f(x)4x2x1的遞增區(qū)間是0，)命題點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例 已知函數(shù)f(x).(1)若a1，

8、求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)當(dāng)a1時，f(x)，令ux24x3(x2)27.則u在(，2)上是增加的，在(2，)上是減少的，而yu在R上是增加的，所以f(x)在(，2)上是減少的，在(2，)上是增加的，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(2，)，遞減區(qū)間是(，2)(2)令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值1，因此必有解得a1，即當(dāng)f(x)有最大值3時，a的值為1.(3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域為R，則必有a0.思維升華 (1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較

9、大小或解不等式，最重要的是“同底”原則(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域，單調(diào)區(qū)間，最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷跟蹤訓(xùn)練 (1)已知函數(shù)f(x)的值域是8,1，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答案B解析當(dāng)0x4時，f(x)8,1，當(dāng)ax0時，f(x)，8,1，即81，即3a0，實數(shù)a的取值范圍是3,0)(2)(2017江淮十校第三次聯(lián)考)函數(shù)f(x)x2bxc滿足f(x1)f(1x)，且f(0)3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D與

10、x有關(guān)，不確定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)關(guān)于x1對稱，易知b2，c3，當(dāng)x0時，b0c01，f(bx)f(cx)，當(dāng)x0時，3x2x1，又f(x)在(1，)上是增加的，f(bx)f(cx)，當(dāng)x0時，3x2x1，f(x)在(，1)上是減少的，f(bx)0，a1)在區(qū)間上有最大值3，最小值， 試求a，b的值錯解展示現(xiàn)場糾錯解令tx22x(x1)21，x，t1,0若a1，函數(shù)f(t)at在1,0上為增函數(shù)，at，b，依題意得解得若0a1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由f(x)axb的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上是減少的，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖

11、像是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.2設(shè)2x8y1,9y3x9，則xy的值為()A18 B21 C24 D27答案D解析2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.3(2017河南南陽、信陽等六市一模)已知a，b(0,1)(1，)，當(dāng)x0時，1bxax，則()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab答案C解析當(dāng)x0時，1bx，b1.當(dāng)x0時，bxax，當(dāng)x0時，x1.1，ab.1ba，故選C.4(2018屆吉林實驗中學(xué)月考)設(shè)alog2，b，cln ，則()Acab BacbCabc Dbac答案C解析log20,01，ab0，a1

12、)滿足f(1)，則f(x)的遞減區(qū)間是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上是減少的，在2，)上是增加的，所以f(x)在(，2上是增加的，在2，)上是減少的故選B.7已知函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，則a的取值范圍是_答案(0,1)解析因為f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函數(shù)f(x)在定義域上是增加的，所以1，解得0ax4的解集為_答案(1,4)解析原不等式等價為2x4，又函數(shù)y2x為增函數(shù)，x22xx4，即x23x40，1x0且a1)的圖像有兩個公共點，則a的取值

13、范圍是_答案解析(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)0a1時，作出函數(shù)y2|ax1|的圖像，由圖像可知02a1，0a1時，解得0a1矛盾綜上，a的取值范圍是.10當(dāng)x2,2時，ax0，且a1)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析當(dāng)x2,2時，ax0，且a1)，若a1，yax是增函數(shù)，則有a22，可得a，故有1a；若0a1，yax是減函數(shù)，則有a2或a，故有a0，a1)的圖像經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)因為f(x)的圖像過A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2

14、)由(1)知a2，b3，則x(，1時，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因為yx與yx均為減函數(shù)，所以yxx也是減函數(shù)，所以當(dāng)x1時，yxx有最小值.所以m.即m的取值范圍是.13已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)且當(dāng)x0時，f(x)，則此函數(shù)的值域為_答案解析設(shè)t，當(dāng)x0時，2x1，0t1，g(t)t2t2.0g(t)，故當(dāng)x0時，f(x).yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x).故函數(shù)的值域為.14已知函數(shù)f(x)2x，函數(shù)g(x)則函數(shù)g(x)的最小值是_答案0解析當(dāng)x0時，g(x)f(x)2x為增函數(shù)，所以g(x)g(0)0；當(dāng)x0時，g(x)f(x)2x為減函數(shù)，所以g(x)g(0)0，所以函數(shù)g(x)的最小值是0.15若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.答案解析由函數(shù)g(x)在0，)上為增函數(shù)，得14m0，即m.當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)在1,2上是增加的，最小值為a1m，