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文檔簡介
1、9.7雙曲線最新考綱考情考向分析了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體,研究參數(shù)a,b,c及與漸近線有關(guān)的問題,其中離心率和漸近線是重點以選擇、填空題為主,難度為中低檔一般不再考查與雙曲線相關(guān)的解答題,解題時應(yīng)熟練掌握基礎(chǔ)內(nèi)容及雙曲線方程的求法,能靈活應(yīng)用雙曲線的簡單性質(zhì).1雙曲線定義平面內(nèi)到兩定點F1,F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線這兩個定點F1,F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點,兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,
2、其中a,c為常數(shù)且a0,c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時,P點不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0,b0)1(a0,b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa,yRxR,ya或ya對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸對稱中心:原點頂點坐標(biāo)A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)漸近線yxyx離心率e,e(1,),其中c實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸,它的長|A1A2|2a,線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|2b;a叫作雙曲線的實半軸長,b叫作雙曲線的虛半軸長a,b,c的關(guān)系c2a2b2 (ca0,cb0)知識拓展巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線1(a0,b0)有共同漸近線的方
3、程可表示為t(t0)(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m0,n0,0)的漸近線方程是0,即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于.()(5)若雙曲線1(a0,b0)與1(a0,b0)的離心率分別是e1,e2,則1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)()題組二教材改編2若雙曲線1(a0,b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長,則該雙曲線的離心率為()A. B5 C. D2答案A解析由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長,雙曲線的漸近線方程為0,即bxay0,2ab.又a2b2c2,5a2c2.e25,e.3經(jīng)過點A(3,1
4、),且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_答案1解析設(shè)雙曲線的方程為1(a0),把點A(3,1)代入,得a28(舍負(fù)),故所求方程為1.題組三易錯自糾4(2016全國)已知方程1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是()A(1,3) B(1,) C(0,3) D(0,)答案A解析方程1表示雙曲線,(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2,由雙曲線性質(zhì),知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距),焦距2c22|m|4,解得|m|1,1n0,b0)的一條漸近線經(jīng)過點(3,4),則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.答案D解析由條件知yx過點(3,4),4,
5、即3b4a,9b216a2,9c29a216a2,25a29c2,e.故選D.6已知雙曲線過點(4,),且漸近線方程為yx,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案y21解析由雙曲線的漸近線方程為yx,可設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(0),已知該雙曲線過點(4,),所以()2,即1,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.題型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點1利用定義求軌跡方程典例 (2018大連模擬)已知圓C1:(x3)2y21和圓C2:(x3)2y29,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為_答案x21(x1)解析如圖所示,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC
6、1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|,因為|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|2,所以點M到兩定點C2,C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義,得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大,與C1的距離小),其中a1,c3,則b28.故點M的軌跡方程為x21(x1)命題點2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程典例 根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)虛軸長為12,離心率為;(2)焦距為26,且經(jīng)過點M(0,12);(3)經(jīng)過兩點P(3,2)和Q(6,7)解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0,b0)由題意知,
7、2b12,e,b6,c10,a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)雙曲線經(jīng)過點M(0,12),M(0,12)為雙曲線的一個頂點,故焦點在y軸上,且a12.又2c26,c13,b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.命題點3利用定義解決焦點三角形問題典例 已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2y22的左、右焦點,點P在C上,|PF1|2|PF2|,則cosF1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2,|PF1|2|PF2|4,則cosF1PF2.引申探究1本例中,若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1P
8、F260”,則F1PF2的面積是多少?解不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上,則|PF1|PF2|2a2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2,|PF1|PF2|8,|PF1|PF2|sin 602.2本例中,若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“0”,則F1PF2的面積是多少?解不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上,則|PF1|PF2|2a2,0,在F1PF2中,有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|216,|PF1|PF2|4,|PF1|PF2|2.思維升華 (1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程(2)在“焦點三角形
9、”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合|PF1PF2|2a,運用平方的方法,建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系(3)利用待定系數(shù)法求雙曲線方程要先定形,再定量,如果已知雙曲線的漸近線方程,可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為(0),再由條件求出的值即可跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018沈陽模擬)設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點在x軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1解析由題意知橢圓C1的焦點坐標(biāo)為F1(5,0),F(xiàn)2(5,0),設(shè)曲線C2上的一點P,則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知,a4,b3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.即1.(2)
10、(2016天津)已知雙曲線1(b0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由題意知雙曲線的漸近線方程為yx,圓的方程為x2y24,聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長為,故2b,得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.題型二雙曲線的簡單性質(zhì)典例 (1)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a0,b0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|PF2|6a,且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30,則雙曲線C的漸近線方程是()A.
11、xy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0答案A解析由題意,不妨設(shè)|PF1|PF2|,則根據(jù)雙曲線的定義得,|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|6a,解得|PF1|4a,|PF2|2a.在PF1F2中,|F1F2|2c,而ca,所以有|PF2|0,b0)中,離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k滿足關(guān)系式e21k2.跟蹤訓(xùn)練 (2016全國)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:1的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1,則E的離心率為()A. B.C. D2答案A解析離心率e,由正弦定理得e.故選A.題型三直線與雙曲線的綜合問題典例 (2018福州模擬)已知直線ykx1和雙曲線x2y2
12、1的右支交于不同兩點,則k的取值范圍是_答案(1,)解析由直線ykx1和雙曲線x2y21聯(lián)立方程組,消y得(1k2)x22kx20,因為該方程有兩個不等且都大于1的根,所以解得1k0,b0),右焦點F到漸近線的距離為2,點F到原點的距離為3,則雙曲線C的離心率e為()A. B. C. D.答案B解析右焦點F到漸近線的距離為2,F(xiàn)(c,0)到y(tǒng)x的距離為2,即2,又b0,c0,a2b2c2,b2.點F到原點的距離為3,c3,a,離心率e.3(2017河南新鄉(xiāng)二模)已知雙曲線C:1(a0,b0)的右焦點為F,點B是虛軸的一個端點,線段BF與雙曲線C的右支交于點A,若2,且|4,則雙曲線C的方程為(
13、)A.1 B.1C.1 D.1答案D解析不妨設(shè)B(0,b),由2,F(xiàn)(c,0),可得A,代入雙曲線C的方程可得1,即,.又|4,c2a2b2,a22b216,由可得,a24,b26,雙曲線C的方程為1,故選D.4(2017福建龍巖二模)已知離心率為的雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,M是雙曲線C的一條漸近線上的點,且OMMF2,O為坐標(biāo)原點,若16,則雙曲線的實軸長是()A32 B16C84 D4答案B解析由題意知F2(c,0),不妨令點M在漸近線yx上,由題意可知|F2M|b,所以|OM|a.由16,可得ab16,即ab32,又a2b2c2,所以a8,b4,c4,所以雙
14、曲線C的實軸長為16.故選B.5(2018開封模擬)已知l是雙曲線C:1的一條漸近線,P是l上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點,若0,則P到x軸的距離為()A. B.C2 D.答案C解析由題意知F1(,0),F(xiàn)2(,0),不妨設(shè)l的方程為yx,則可設(shè)P(x0,x0)由(x0,x0)(x0,x0)3x60,得x0,故P到x軸的距離為|x0|2,故選C.6(2018武漢調(diào)研)過雙曲線1(a0,b0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A,B兩點,若OAB的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.答案D解析由題意可求得|AB|,所以SOABc,整理得,即e,故選D.7過雙曲線C:1(a0
15、,b0)的右頂點作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、4為半徑的圓經(jīng)過A,O兩點(O為坐標(biāo)原點),則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由得A(a,b)由題意知右焦點到原點的距離為c4,4,即(a4)2b216.而a2b216,a2,b2.雙曲線C的方程為1.8(2018鄭州模擬)若雙曲線1(a0,b0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析由條件,得|OP|22ab,又P為雙曲線上一點,從而|OP|a,2aba2,2ba,又c2a2b2a2a2
16、,e.9(2016北京)已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線為2xy0,一個焦點為(,0),則a_;b_.答案12解析由2xy0,得y2x,所以2.又c,a2b2c2,解得a1,b2.10設(shè)動圓C與兩圓C1:(x)2y24,C2:(x)2y24中的一個內(nèi)切,另一個外切,則動圓圓心C的軌跡方程為_答案y21解析設(shè)圓C的圓心C的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r,由題設(shè)知r2,于是有或|CC1|CC2|40,b0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|PB|,則該雙曲線的離心率是_答案解析雙曲線1的漸近線方程為yx.由得A,由得B,所以AB的中點C的坐標(biāo)為.設(shè)直線l:x3ym0(m0
17、),因為|PA|PB|,所以PCl,所以kPC3,化簡得a24b2.在雙曲線中,c2a2b2a2,所以e.12設(shè)雙曲線x21的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若點P在雙曲線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|PF2|的取值范圍是_答案(2,8)解析如圖,由已知可得a1,b,c2,從而|F1F2|4,由對稱性不妨設(shè)P在右支上,設(shè)|PF2|m,則|PF1|m2am2,由于PF1F2為銳角三角形,結(jié)合實際意義可知m需滿足解得1m3,又|PF1|PF2|2m2,22m28.13(2017湖北黃岡二模)已知雙曲線x21的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,雙曲線的離心率為e,若雙曲線上存在一點P使e,則的值為
18、()A3 B2C3 D2答案B解析由題意及正弦定理得e2,|PF1|2|PF2|,由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2,|PF1|4,|PF2|2.又|F1F2|4,由余弦定理可知cosPF2F1,|cosPF2F1242.故選B.14(2017安慶二模)已知F1,F(xiàn)2為雙曲線的焦點,過F2作垂直于實軸的直線交雙曲線于A,B兩點,BF1交y軸于點C,若ACBF1,則雙曲線的離心率為()A. B.C2 D2答案B解析不妨設(shè)雙曲線方程為1(a0,b0),由已知,取A點坐標(biāo)為,取B點坐標(biāo)為,則C點坐標(biāo)為且F1(c,0)由ACBF1知0,又,可得2c20,又b2c2a2,可得3c410c2a23a40,則有3e410e230,可得e23或,又e1,所以e.故選B.15(2017福州質(zhì)檢)已知雙曲線E:1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,|F1F2|6,P是E右支上的一點,PF1與y軸交于點A,PAF2的內(nèi)切圓與邊AF2的切點為Q.若|AQ|,則E的離心率是()A2 B.C. D.答案C解析如圖所示,設(shè)PF1,PF2分別與PAF2的內(nèi)切圓切于M,N,依題意,有|MA|AQ|,|NP|MP|,|NF2|QF2|,
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