2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9第2課時(shí)定點(diǎn)定值范圍最值問(wèn)題學(xué)案理北師大版

1、第2課時(shí)定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題題型一定點(diǎn)問(wèn)題典例 (2017全國(guó))已知橢圓C：1(ab0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn)(1)解由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)又由知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1

2、x2.而k1k2.由題設(shè)知k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1)思維升華 圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)跟蹤訓(xùn)練 (2017長(zhǎng)沙聯(lián)考)已知橢圓1(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(0,1)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q，P，與橢圓分別交于點(diǎn)M，N，各點(diǎn)均不重合且

3、滿足1，2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若123，試證明：直線l過(guò)定點(diǎn)并求此定點(diǎn)(1)解設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.橢圓的方程為y21.(2)證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由題意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230，由題意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，

4、由題意mtb0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(2,1)(1)求橢圓C的方程；(2)若P，Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使PAQ的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(2,1)，所以1，又a2b2c2，所以a28，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)方法一因?yàn)镻AQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)設(shè)直線PA的斜率為k，則直線AQ的斜率為k.所以直線PA的方程為y1k(x2)，直線AQ的方程為y1k(x2)設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，由得(14k2)x2(16k28k)x16k

5、216k40.因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在橢圓C上，所以x2是方程的一個(gè)根，則2xP，所以xP.同理xQ.所以xPxQ，xPxQ.又yPyQk(xPxQ4)，所以直線PQ的斜率kPQ，所以直線PQ的斜率為定值，該值為.方法二設(shè)直線PQ的方程為ykxb，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1kx1b，y2kx2b，直線PA的斜率kPA，直線QA的斜率kQA.因?yàn)镻AQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)，所以kPAkQA，即，化簡(jiǎn)得x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40.把y1kx1b，y2kx2b代入上式，化簡(jiǎn)得2kx1x2(b12k)(x1x2)4b40.由

6、得(4k21)x28kbx4b280，則x1x2，x1x2，代入，得4b40，整理得(2k1)(b2k1)0，所以k或b12k.若b12k，可得方程的一個(gè)根為2，不符合題意所以直線PQ的斜率為定值，該值為.思維升華 圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得(3)求某線段長(zhǎng)度為定值利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得跟蹤訓(xùn)練 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)P在直線

7、l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQFP，PQl.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過(guò)A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|TS|是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQFP，RQ是線段FP的垂直平分線點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上，|PQ|QF|，又|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y22x(x0)(2)弦長(zhǎng)|TS|為定值理由如下：取曲線C上點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d|x0|x0，圓的半徑r|MA|，則|TS|22，點(diǎn)M在曲線C上，x0，|TS|22，

8、是定值題型三探索性問(wèn)題典例 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點(diǎn)，(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說(shuō)明理由解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線

9、PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)p(0，a)符合題意思維升華 解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)探索性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開(kāi)放思維，采取另外合適的方法跟蹤訓(xùn)練 (2018唐山模擬)已知橢圓E：1的右焦點(diǎn)為F(c,0)且abc0

10、，設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，原點(diǎn)O到直線DF的距離為，過(guò)原點(diǎn)和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點(diǎn)，且|4.(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B且使得24成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知|2a4，a2.又原點(diǎn)O到直線DF的距離為，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)不滿足條件故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3

11、)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合題意，舍去存在滿足條件的直線l，其方程為yx.設(shè)而不求，整體代換典例 (12分)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0)，求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共

12、點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k20，證明為定值，并求出這個(gè)定值思想方法指導(dǎo) 對(duì)題目涉及的變量巧妙地引進(jìn)參數(shù)(如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果，直接得定值規(guī)范解答解(1)由于c2a2b2，將xc代入橢圓方程1，得y.由題意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以橢圓C的方程為y21.2分(2)設(shè)P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，所以直線PF1，PF2的方程分別為：y0x(x0)yy00，：y0x(x0)yy00.由

13、題意知 .由于點(diǎn)P在橢圓上，所以y1.所以.4分因?yàn)閙，2x02，可得，所以mx0，因此m0)，其準(zhǔn)線方程為x，P(4，m)到焦點(diǎn)的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離，45，p2.拋物線C的方程為y24x.(2)由(1)可得點(diǎn)M(4,4)，可得直線DE的斜率不為0，設(shè)直線DE的方程為xmyt，聯(lián)立得y24my4t0，則16m216t0.(*)設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，則y1y24m，y1y24t.(x14，y14)(x24，y24)x1x24(x1x2)16y1y24(y1y2)16416y1y24(y1y2)16(y1y2)23y1y24(y1y2)32t216m212t3216m0，即t

14、212t3216m216m，得(t6)24(2m1)2，t62(2m1)，即t4m8或t4m4，代入(*)式檢驗(yàn)知t4m8滿足0，直線DE的方程為xmy4m8m(y4)8.直線過(guò)定點(diǎn)(8，4)2(2016北京)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y1.當(dāng)x00

15、時(shí)，直線PA的方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB的方程為yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值3(2017湘中名校聯(lián)考)如圖，曲線C由上半橢圓C1：1(ab0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1，C2分別交于點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A，B)，是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)A？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)在C1，C2的方程中

16、，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn)設(shè)C1的半焦距為c，由及a2c2b21，得a2，a2，b1.(2)存在由(1)知，上半橢圓C1的方程為x21(y0)易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，直線l過(guò)點(diǎn)B，x1是方程(*)的一個(gè)根由根與系數(shù)的關(guān)系，得xp，從而yp，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.同理，由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)以PQ為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)A，APAQ，0，即k4(k2)0.k0，k4(k2)0，解得k.經(jīng)檢驗(yàn)，k

17、符合題意故直線l的方程為8x3y80.4已知半橢圓1(x0)與半橢圓1(xbc0.如圖，設(shè)點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)(1)若F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；(2)若|A1A2|B1B2|，求的取值范圍；(3)一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱(chēng)為果圓的弦是否存在實(shí)數(shù)k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)M的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)F0(c,0)，F(xiàn)1(0，)，F(xiàn)2(0，)，|F0F2|b1，|F1F2|21，c2，a2b2c2，所求“果圓”的方程為(

18、2)由題意，得ac2b，即2ba，a2b2(2ba)2，得c2a2b2，.(3)設(shè)“果圓”C的方程為記平行弦的斜率為k，當(dāng)k0時(shí)，直線yt(btb)與半橢圓1(x0)的交點(diǎn)是P，與半橢圓1(x0)的交點(diǎn)是Q.P，Q的中點(diǎn)M(x，y)滿足x，yt，得1.a2b2c22b24b2，a2b，2b20時(shí)，過(guò)B1的直線l與半橢圓1(x0)的交點(diǎn)是.因此，在直線l右側(cè)，以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)為，軌跡在直線yx上，即不在某一橢圓上當(dāng)kb0)的離心率e，左頂點(diǎn)M到直線1的距離d，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值(1)解由e，得ca，又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左頂點(diǎn)M(a,0)到直線1，即到直線bxayab0的距離d，得，即，把a(bǔ)2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可知x1x2，y1y2.因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故0，即x1x2y1