2019版高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 第41講 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)學案

1、第41講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.2017江蘇卷，152016全國卷，142016四川卷，18與直線、平面平行有關(guān)的命題判斷；線線平行的證明；線面平行的證明；面面平行的證明；由線面平行或面面平行探求動點的位置.分值：46分1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與_此平面內(nèi)_的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)_la_，_a_，_l_l性質(zhì)定理一條直

2、線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的_交線_與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)_l_，_l_，_b_lb2平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條_相交直線_與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)_a_，_b_，_abP_，_a，_b_性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面_相交_，那么它們的_交線_平行_，_a_，_b_ab1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行()(2)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面()(3)

3、若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.()(4)平行于同一平面的兩條直線平行()(5)若，且直線a，則直線a.()解析 (1)錯誤當這兩條直線為相交直線時，才能保證這兩個平面平行(2)正確如果兩個平面平行，則在這兩個平面內(nèi)的直線沒有公共點，則它們平行或異面(3)錯誤若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a或a.(4)錯誤兩條直線平行或相交或異面(5)錯誤直線a或直線a.2下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是(D)A一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面B一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面C一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面D一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面解析 由面面平行的定義可

4、知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個平面時，兩平面才能平行，故D正確3(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為(A)ABCD解析 如圖，延長B1A1至A2，使A2A1B1A1，延長D1A1至A3，使A3A1D1A1，連接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D易證AA2A1BD1C，AA3A1DB1C平面AA2A3平面CB1D1，即平面AA2A3為平面.于是mA2A3，直線AA2即為直線n.顯然有AA2AA3A2A3，于是m，n所成的角為60，其正弦值為.選A4已知直線a，b，平面，則以下三個命

5、題：若ab，b，則a；若ab，a，則b；若a，b，則ab.其中真命題的個數(shù)是(A)A0B1C2D3解析 對于命題，若ab，b，則應有a或a，所以不正確；對于命題，若ab，a，則應有b或b，因此也不正確；對于命題，若a，b，則應有ab或a與b相交或a與b異面，因此也不正確5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_平行_.解析 如圖連接AC，BD交于O點，連接OE，因為OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.一直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)(2)利用線面平行的判

6、定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa)【例1】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC解析 (1)在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD，所以EFAB又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC(2)因為平面ABD平面BCD，平面ADB平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD因為AD平面ADB，所以BCAD又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC

7、平面ABC，所以AD平面ABC又因為AC平面ABC，所以ADAC二平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定面面平行的四種方法(1)利用定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用)【例2】 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明 (1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點，GH是A1B1C1的中位線，G

8、HB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，EFBCEF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGBA1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.三空間平行關(guān)系的探索性問題解決探究性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個結(jié)果出發(fā)，尋找使這個結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個等分點，然后給出符合要求的

9、證明【例3】 如圖所示，四邊形ABCD為矩形，DA平面ABE, AEEBBC2，BF平面ACE于點F，且點F在線段CE上(1)求證：AEBE；(2)設(shè)點M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN平面ADE.解析 (1)證明：由DA平面ABE及ADBC，得BC平面ABE，又AE平面ABE，所以AEBC，因為BF平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE，又BCBFB，BC，BF平面BCE，所以AE平面BCE.因為BE平面BCE，故AEBE.(2)在ABE中，過點M作MGAE交BE于點G，在BEC中，過點G作GNBC交CE于點N，連接MN，則由，得CNCE.因為MGAE，A

10、E平面ADE，MG平面ADE，所以MG平面ADE，又GNBC，BCAD，AD平面ADE，GN平面ADE，所以GN平面ADE，又MGGNG，所以平面MGN平面ADE，因為MN平面MGN，所以MN平面ADE.故當點N為線段CE上靠近C的一個三等分點時，MN平面ADE.1有下列命題：若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線其中真命題的個數(shù)是(A)A1B2C3D4解析 命題，l可以在平面內(nèi)，不正確；命題，直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確；命題，a可以在平面內(nèi)，不正確；命題正確2已知m，n是兩條直線，是兩個平

11、面，給出下列命題：若n，n，則；若平面上有不共線的三點到平面的距離相等，則；若m，n為異面直線，n，n，m，m，則.其中正確命題的個數(shù)是(B)A3B2C1D0解析 若n，n，則n為平面與的公垂線，則，故正確；若平面上有不共線的三點到平面的距離相等，三點可能在平面的異側(cè)，此時與相交，故錯誤；若n，m為異面直線n，n，m，m，根據(jù)面面平行的判定定理，可得正確故選B3如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點(1)求證：AMCM；(2)若N是PC的中點，求證：DN平面AMC證明 (1)在直角梯形ABCD中，ADDCAB1，

12、AC，BC，AB2，則AC2BC2AB2，BCAC，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC在RtPAB中，M為PB的中點，則AMPB，在RtPBC中，M為PB的中點，則CMPB，AMCM.(2)如圖，連接DB交AC于點F，DCAB，DFFB取PM的中點G，連接DG，F(xiàn)M，則DGFM，又DG平面AMC，F(xiàn)M平面AMC，DG平面AMC連接GN，則GNMC，GN平面AMC，MC平面AMCGN平面AMC，又GNDGG，平面DNG平面AMC，又DN平面DNG，DN平面AMC4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的

13、中點，設(shè)Q是CC1上的點，則當點Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO?解析 當Q為CC1的中點時，平面D1BQ平面PAO.證明如下：Q為CC1的中點，P為DD1的中點，QBPAP，O分別為DD1，DB的中點，D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B，QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.易錯點忽視判定定理和性質(zhì)定理的使用條件錯因分析：如下面的例子中，已知，a，b，那么a與b不一定平行，還可能異面【例1】 已知三個平面，滿足，直線a與這三個平面依次交于點A，B，C，直線b與這三個平面依次交于點E

14、，F(xiàn)，G，求證：.證明 (1)當a，b共面時，設(shè)a，b共面，連接AE，BF，CG.，AE，BF，CG，AEBFCG.據(jù)平行線分線段成比例可知；(2)當a，b異面時，如圖(1)，連接AG交于點O，連接OB，OF.，面ACGOB，面ACGCG，OBCG，同理可得OFAE，.【跟蹤訓練1】 (2016四川卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD解析 (1)取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點理由如下：連接CM.因為ADBC，BCAD，所以BCA

15、M，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB(2)證明：連接BM，由已知得，PAAB，PACD，因為ADBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD從而PABD，因為ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD所以四邊形BCDM是平行四邊形所以BMCDBC，BCDM是菱形，BDMC，又MCAB，所以BDAB又ABAPA，所以BD平面PAB又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD課時達標第41講解密考綱對直線、平面平行的判定與性質(zhì)定理的初步考查一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；綜合應用直線、平面平行的判

16、定與性質(zhì)，常以解答題為主，難度中等一、選擇題1(2018廣東揭陽模擬)設(shè)兩個不同的平面，兩條不同的直線 a，b，且a，b，則“a，b”是“”的(B)A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析 因為“a，b”，若ab，則與不一定平行，反之若“”，則一定“a，b”，故選B2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點，則(B)ABD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析

17、由AEEBAFFD14知EFBD，所以EF平面BCD又H，G分別為BC，CD的中點，所以HGBD，所以EFHG且EFHG，所以四邊形EFGH是梯形3設(shè)a，b表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是(D)A若a且ab，則bB若且，則C若a且a，則D若且，則解析 對于A項，若a且ab，則b或b，故A項不正確；對于B項，若且，則或與相交，故B項不正確；對于C項，若a且a，則或與相交，故C項不正確排除A，B，C項，故選D4下面四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB 平面MNP的圖形是(A)ABCD解析 由線面平行的判定定理知圖可得出AB平面M

18、NP.5已知a，b表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題正確的是(C)A若a，b，則 abB若ab，a，b，則C若ab，a，則b或bD若直線a與b異面，a，b，則解析 對于A項，a與b還可能相交或異面，此時a與b不平行，故A項不正確；對于B項，與可能相交，此時設(shè)m，則am，bm，故B項不正確；對于D項，與可能相交，如圖所示，故D項不正確，故選C6已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列命題：n；mn；mn.其中所有正確命題的序號是(B)ABCD解析 不正確，n可能在內(nèi)正確，垂直于同一平面的兩直線平行正確，垂直于同一直線的兩平面平行不正確，m，n可能為異面直線故選B二、填空題7

19、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.解析 因為直線EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又E是DA的中點，所以F是DC的中點，由中位線定理可得EFAC，又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.8(2018北京模擬)設(shè)，是三個不同平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確的題號填上)解析 可以，由a得a與沒有公共點，由b，a，b知，

20、a，b在面內(nèi)，且沒有公共點，故平行a，b不可以舉出反例如下：使，b，a，則此時能有a，b，但不一定ab.這些條件無法確定兩直線的位置關(guān)系可以，由b，a知，a，b無公共點，再由a，b，可得兩直線平行9在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點，點M在線段PC上，PMtPC，PA平面MQB，則實數(shù)t_.解析 連接AC交BQ于N，交BD于O，連接MN，如圖，則O為BD的中點又BQ為ABD邊AD上中線，N為正ABD的中心令菱形ABCD的邊長為a，則ACa，ANa.PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMNPAMN，PMPCANAC，即PMPC，t.三、解答題10如圖，P是ABC所在平面外一點，A，B，C分別是PBC，PCA，PAB的重心求證：平面 A B C平面 ABC證明 連接PA，PC并延長，分別交BC，AB于M，N.A，C分別是PBC，PAB的重心，M，N分別是BC，AB的中點連接MN，由知ACMN，MN平面ABC，AC平面ABC同理，AB平面ABC，而AC和AB是平面ABC內(nèi)的相交直線，平面ABC平面ABC11如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論解析 當點F為棱C1D1中點時，可使B1F平面A1B