2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第44講 立體幾何中的向量方法（一）證明平行與垂直學(xué)案

1、第44講立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直考綱要求考情分析命題趨勢1.理解直線的方向向量與平面法向量的意義2能用向量語言表達直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關(guān)系3能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).2016山東卷，172016浙江卷，172016天津卷，17空間直角坐標系、空間向量及其運算在高考中主要作為解題工具，解決直線、平面的平行、垂直位置關(guān)系的判定等問題.分值：56分1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一_非零_向量作為它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平

2、面的法向量，則求法向量的方程組為2用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)_v1v2_.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l_存在兩個實數(shù)x，y，使vxv1yv2_.(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或l_vu_.(4)設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則_u1u2_.3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2_v1v2_v1v20_.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l_vu_.(3)設(shè)平面和的法向量分別為u

3、1和u2，則_u1u2_u1u20_.1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)直線的方向向量是唯一確定的()(2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合()(4)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行()2已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(C)A(1,1,1)B(1，1,1)CD解析 (1,1,0)，(1,0,1)，經(jīng)計算得C符合題意3已知直線l的方向向量v(1,2,3)，平面的法向量為u(5,2，3)，則l與的位置關(guān)系是_la或l_.解析 v(1,2,3)，u(5,2，3)，

4、15223(3)0，vu，la或l.4設(shè)u，v分別是平面，的法向量，u(2,2,5)，當(dāng)v(3，2,2)時，與的位置關(guān)系為_；當(dāng)v(4，4，10)時，與的位置關(guān)系為_.解析 當(dāng)v(3，2,2)時，uv，則，當(dāng)v(4，4，10)時，uv，則.5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_異面垂直_.解析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，則(1,0,2)，0，ONAM.一利用

5、空間向量證明平行問題(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算【例1】 如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點求證：PB平面EFG.證明 平面PAD平面ABCD，且ABCD為正方形，AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建

6、立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，設(shè)st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又與不共線，與共面PB平面EFG，PB平面EFG.二利用空間向量證明垂直問題證明垂直問題的方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系，準確寫出相關(guān)點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算其中靈活建系是解題的關(guān)鍵(2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證

7、明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可，當(dāng)然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可【例2】 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點求證：AB1平面A1BD證明 如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為ABC為正三角形，所以AOBC因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，分別以，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間

8、直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A(0,0，)，A1(0,2，)，B1(1,2,0)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因為n，n，故令x1，則y2，z，故n(1,2，)為平面A1BD的一個法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD【例3】 如圖，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明APBC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM3.試證明平面AMC平面BMC證明 (1)如圖所示，以O(shè)為坐標原點，以過O平行于BD的直線為x軸，以AD，O

9、P分別為y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz.則O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8,0,0)，(0,3,4)(8,0,0)0，即APBC(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且點M在線段AP上，又(8,0,0)，(4,5,0)，(4，5,0)，則(0,3,4)0，即APBM，又根據(jù)(1)的結(jié)論知APBC，且BMBCC，AP平面BMC，于是AM平面BMC又AM平面AMC，平面AMC平面BMC三利用空間向量解決探索性問題對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是先根據(jù)條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量

10、，先假設(shè)存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”【例4】 如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC和A1AC均為60，平面AA1C1C平面ABCD(1)求證：BDAA1；(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP平面DA1C1.若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由解析 (1)證明：設(shè)BD與AC交于點O，則BDAC，連接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，由余弦定理，得A1O2AAAO22AA1AOcos 603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面A

11、BCD以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)假設(shè)在直線CC1上存在點P，使BP平面DA1C1，設(shè)，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0,1，)從而有P(0,1，)，(，1，)設(shè)n3(x3，y3，z3)為平面DA1C1的一個法向量，則又(0,2,0)，(，0，)，則取n3(1,0，1)，BP平面DA1C1，則n3，即n30，得1，即點P在C1C的延長線上，且C1CCP.1如圖

12、，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ3QC證明：PQ平面BCD證明 如圖，取BD的中點O，以O(shè)為原點，OD，OP所在射線分別為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)設(shè)點C的坐標為(x0，y0,0)因為3，所以Q.因為M為AD的中點，故M(0，1)又P為BM的中點，故P，所以.又平面BCD的一個法向量為a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD2如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1

13、，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點，求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明 導(dǎo)學(xué)號 (1)如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4) .取AB中點為N，連接CN，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC故DE平面ABC(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4) (2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFEFF，B1F平面AE

14、F.3如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30角(1)求證：CM平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PAD證明 (1)以C為坐標原點，分別以CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30.|PC|2，|BC|2，|PB|4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，令n(x，y，z)為平面PAD的一個法

15、向量則即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD(2)取AP的中點E，則E(，2,1)，(，2,1)|PB|AB|，BEPA又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA，又PADAA，BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD4在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論解析 (1)證明：如圖，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，

16、a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F(xiàn).，(0，a,0)0，即EFCD(2)設(shè)G(x,0，z)，則，若使GF平面PCB，則由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0，G點坐標為，即G點為AD的中點易錯點坐標系建立不恰當(dāng)、點的坐標出錯錯因分析：寫準點的坐標是關(guān)鍵，要利用中點、向量共線、相等來確定點的坐標利用ab證明直線平行需強調(diào)兩直線不重合，證明直線與平面平行仍需強調(diào)直線在平面外【例1】 如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DPBQ(02)(1)當(dāng)1時，

17、證明：直線BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解析 以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0)，P(0,0，)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，2)(1)證明：當(dāng)1時，(1,0,1)，因為(2,0,2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1平面EFPQ.(2

18、)設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n(x，y，z)，則可得于是可取n(，1)同理可得平面PQMN的一個法向量為m(2,2，1)若存在，使平面EFPQ與平面PQMN所成二面角為直二面角，則mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角【跟蹤訓(xùn)練1】 (2018河北衡水中學(xué)檢測)如圖所示，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(1)求證：ACSD(2)若SD平面PAC，則側(cè)棱SC上的是否存在一點E，使得BE平面PAC若存在，求SEEC的值；若不存在，請說明理由解析 連接BD，設(shè)AC交BD于

19、O，則ACBD由題意知SO平面ABCD以O(shè)為坐標原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系如圖設(shè)底面邊長為a，則高|SO|a.于是S，D，B，C.(1)證明：，則0.故OCSD，從而ACSD(2)棱SC上存在一點E使BE平面PAC理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個法向量，且，.設(shè)t，則t，而0，所以0，解得t，即當(dāng)SEEC21時，.又BE平面PAC，故BE平面PAC課時達標第44講解密考綱利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系，常出現(xiàn)于選擇、填空題中，或在解答題立體幾何部分的第(1)問考查，難度中等或較小一、選擇題1若直線l平面，直線l的方向向量為s，平面的法向量為n，則下列結(jié)論可能

20、正確的是(C)As(1,0,2)，n(1,0，1)Bs(1,0,1)，n(1,2，1)Cs(1,1,1)，n(1,2，1)Ds(1,1,1)，n(2,2,2)解析 由已知需sn0，逐個驗證知，只有C項符合要求，故選C2若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是(A)Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0，1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析 若l，則an，一一驗證，可知選A3直線l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量為n(2，x2x，x)，若直線l平面，則x(D)A2BCD解析 由已知得sn0，故121(x2

21、x)1(x)0，解得x.4如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，|AB|，|AF|1，M在EF上，且AM平面BDE，則M點的坐標為(C)A(1,1,1)BCD解析 由已知得A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，設(shè)M(x，x,1)則(x，x，1)，(，0)，(0，1)設(shè)平面BDE的一個法向量為n(a，b，c)則即解得令b1，則n(1,1，)又AM平面BDE，所以n0，即2(x)0，得x，所以M.5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，則

22、(B)AEF至多與A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面解析 以D點為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC，故選B6如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(B)A斜交B平行C垂直D不確定解析 建

23、立如圖所示的坐標系，由于A1MAN，則M，N，又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)為平面BB1C1C的一個法向量因為0，所以，所以MN平面BB1C1C，故選B二、填空題7若直線l的方向向量e(2,1，m)，平面的法向量n，且l，則m_4_.解析 因為l，所以en，即en(0)，亦即(2,1，m)，所以則m4.8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為_，4_.解析 由已知得解得9已知平面內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一個法向量n(1，1，1)，則不重合的兩個平面與的位置關(guān)系是_平行_.解析

24、 由已知得，(0,1，1)，(1,0，1)，設(shè)平面的一個法向量為m(x，y，z)，則得得令z1，得m(1,1,1)又n(1，1，1)，所以mn，即mn，所以.三、解答題10如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為A1B1，B1C1，C1D1的中點(1)求證：AG平面BEF；(2)試在棱長BB1上找一點M，使DM平面BEF，并證明你的結(jié)論解析 (1)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F(xiàn)，G，因為，而，所以，故與平面BEF共面，又因為AG不在平面BEF內(nèi)，所以AG平面BEF.(2)設(shè)M(1,1，m)，則(1,1，m)，由0，0，所以m0m ，所以M為棱BB1的中點時，DM平面BEF.11(2018北京西城二模)如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB(1)求證：ABDE；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；(3)線段EA上是否存在點F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，請說明理由解析 (1)證明：取AB的中點O，連接EO，D