2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第17講 定積分與微積分基本定理精選教案 理

1、第17講定積分與微積分基本定理考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1了解定積分的實(shí)際背景、基本思想及概念2了解微積分基本定理的含義.2015天津卷，112015湖南卷，112015陜西卷，16定積分與微積分基本定理難度不大，常常考查定積分的計(jì)算和求曲邊梯形的面積.分值：5分1定積分的定義及相關(guān)概念一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1xi1xixnb，將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，當(dāng)n時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx.在f(x)dx中，a與b分別

2、叫做積分下限與積分上限，區(qū)間_a，b_叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做_積分變量_，_f(x)dx_叫做被積式2定積分的幾何意義f(x)f(x)dx的幾何意義f(x)0表示由直線_xa_，_xb(ab)_，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)0表示由直線_xa_，_xb(ab)_，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在a，b上有正有負(fù)表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積3微積分的性質(zhì)(1)kf(x)dx_kf(x)dx_(k為常數(shù))；(2)f1(x)f2(x)dx_f1(x)dxf2(x)dx_；(3)_f(x)dx

3、_f(x)dxf(x)dx(其中acb)4微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dx_F(b)F(a)_，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式5定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)陰影部分的面積為S.(1)Sf(x)dx；(2)S_f(x)dx_；(3)S_f(x)dxf(x)dx_；(4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.6定積分與變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力做功間的關(guān)系(1)s_v(t)dt_；(2)W_F(s)ds_.7奇偶函數(shù)定積分的兩個(gè)重要結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，a上連續(xù)，則有(1)若f(x)是偶函數(shù)，則f

4、(x)dx20f(x)dx；(2)若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)dx0.1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則f(x)dxf(t)dt.()(2)定積分一定是曲邊梯形的面積()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)，xa，xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方()解析(1)正確定積分與被積函數(shù)、積分上限和積分下限有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)(2)錯(cuò)誤不一定是，要結(jié)合具體圖形來(lái)定(3)錯(cuò)誤也有可能是在x軸上方部分的面積小于在x軸下方部分的面積2若s1x2dx，s2dx，s3exdx，則s1，s2，s3的大小關(guān)系為(B)As1s2s3Bs2s1s3C

5、s2s3s1Ds3s2s1解析因?yàn)閟1x3|(2313)3，s2ln x|ln 2ln 1ln 23，所以s2s11，若(2x1)dxt2，則t_2_.,解析(2x1)dx(x2x)|t2t2從而得方程t2t2t2，解得t2.5汽車以36 km/h的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以減速度a2 m/s2剎車，則從開(kāi)始剎車到停車，汽車走的距離是_25_m.,解析t0時(shí)，v036 km/h10 m/s，剎車后，汽車減速行駛，速度為v(t)v0at102t，由v(t)0得t5 s，所以從剎車到停車，汽車所走過(guò)的路程為v(t)dt(102t)dt(10tt2)|25(m),一定積分的計(jì)算,計(jì)算定積

6、分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積或和或差(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為初等函數(shù)的定積分(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值(5)計(jì)算原始定積分的值【例1】 計(jì)算下列定積分(1)(x22x)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)dx；(4)0 dx.解析(1)(x22x)dx(x2)dx2x dx|(x2)|1.(2)(sin xcos x)dxsin x dxcos x dx,(cos x)|sin x|2.(3)dxe2xdxdxe2xln x|,e4e2ln 2ln 1e4e2

7、ln 2.(4) dx|sin xcos x|dx, (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx,(sin xcos x)(cos xsin x),1(1)22.二定積分幾何意義的應(yīng)用, (1)利用定積分求平面圖形面積的步驟：根據(jù)題意畫(huà)出圖形；借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定定積分的上、下限；把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案(2)根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的方法：先利用定積分求出平面圖形的面積，再根據(jù)條件構(gòu)造方程(不等式)求解【例2】 (1)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為(C)AB4CD6(2)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，

8、因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為_(kāi)12_.解析(1)作出曲線y和直線yx2的草圖(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積,由得交點(diǎn)A(4,2)因此y與yx2及y軸所圍成的圖形的面積為(x2)dx(x2)dx81624.,(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系由拋物線過(guò)點(diǎn)(0，2)，(5,0)，(5,0)，得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx22，拋物線與x軸圍成的面積S1dx，梯形面積S216，最大流量比為S2S165.三定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為vv(t)，那么從時(shí)刻ta到

9、tb所經(jīng)過(guò)的路程sv(t)dt.(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同的方向從xa移動(dòng)到xb時(shí)，力F(x)所做的功是WF(x)dx.【例3】 (1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車行駛的距離(單位：m)是(C)A125ln 5B825ln C425ln 5D450ln 2(2)一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x0處運(yùn)動(dòng)到x4(單位：m)處，則力F(x)做的功為_(kāi)36_J.解析(1)由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，

10、此期間行駛的距離為v(t)dtdt|,425ln 5 (m),(2)由題意知，力F(x)所做的功為,WF(x)dx5 dx(3x4)dx52,1036 J.1定積分 dx的值為(A)ABCD2解析令y，則(x1)2y21(y0)，由定積分的幾何意義知，dx的值為區(qū)域的面積，即為.2計(jì)算： (x3cos x)dx_0_.解析yx3cos x為奇函數(shù)， (x3cos x)dx0.3如圖，由兩條曲線yx2，yx2及直線y1所圍成的平面圖形的面積為！#.解析由得交點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)由得交點(diǎn)C(2，1)，D(2，1)所以所求面積S2.4如圖，圓O：x2y22內(nèi)的正弦曲線ysin x與x軸圍成的

11、區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)向圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為！#.解析陰影部分的面積為2sin x dx2(cos x)|4，圓的面積為3，所以點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是.易錯(cuò)點(diǎn)定積分的幾何意義不明確錯(cuò)因分析：f(x)dx不一定表示面積，也可能是面積的相反數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零【例1】 求曲線f(x)sin x，x與x軸圍成的圖形的面積解析當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0.則所求面積Ssin x dxcos x23.【跟蹤訓(xùn)練1】 (2018山東淄博一模)如圖所示，曲線yx21，x2，x0，y0圍成的陰影部分的面積為(A)A|x21|dxBC(x21)dxD(x2

12、1)dx(1x2)dx解析由曲線y|x21|的對(duì)稱性知，所求陰影部分的面積與如下圖形的面積相等，即|x21|dx.課時(shí)達(dá)標(biāo)第17講解密考綱本考點(diǎn)主要考查利用微積分基本定理以及積分的性質(zhì)求定積分、曲邊梯形的面積，常與導(dǎo)數(shù)、概率相結(jié)合命題，通常以選擇題的形式呈現(xiàn)，題目難度中等一、選擇題1exdx的值等于(C)AeB1eCe1D(e1)解析exdxex|e1e0e1，故選C2dx(C)Ae22Be1Ce2De1解析dx(x2ln x)|e2.故選C3求曲線yx2與直線yx所圍成圖形的面積，其中正確的是(A)AS(xx2)dxBS(x2x)dxCS(y2y)dyDS(y)dy解析由圖象可得S(xx2)

13、dx.第3題圖第4題圖4曲線y與直線yx1及直線x4所圍成的封閉圖形的面積為(D)A2ln 2B2ln 2C4ln 2D42ln 2解析由曲線y與直線yx1及x4所圍成的封閉圖形，如圖中陰影部分所示，故所求圖形的面積為Sdx(x2x2ln x)|42ln 2.5設(shè)f(x)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為(A)ABCD解析f(x)dxx2dx dxx3|ln x|1，故選A6如圖，設(shè)D是圖中所示的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)ycos x圖象上方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域(陰影部分)，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入E中的概率為(D)ABCD解析因?yàn)閏os x dxsin x1故所求概率為.二、填空題7

14、 (cos xsin x)dx_0_.解析 (cos xsin x)dx(sin xcos x) 0.8若函數(shù)f(x)x，則f(x)dx！#.解析dx|.9由曲線ysin x，ycos x與直線x0，x所圍成的平面圖形(圖中的陰影部分)的面積是！22#.解析由圖可得陰影部分面積S2(cos xsin x)dx2(sin xcos x) 2(1)三、解答題10.求下列定積分,(1)dx；(2)(cos xex)dx.解析(1)dxx dxx2dx dxln x|ln 2ln 2.(2) (cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.11已知函數(shù)f(x)x3x2x1，求其在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)x2圍成的圖形的面積解析(1,2)為曲線f(x)x3x2x1上的點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k則kf(1)(3x22x1)|x12在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即y2x，y2x與函數(shù)g(x)x2圍成的圖形如圖,由可得交點(diǎn)A(2,4)y2x與函數(shù)g(x)x2圍成的圖形的面積S(2xx2)dx|4.,12.已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc，直線l1：x2，直線l2：yt28t(其中0t2，t為常數(shù))，若直線l1，l2與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā)2，y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形(陰