2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第52講 拋物線學案

1、第52講拋物線考綱要求考情分析命題趨勢1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質2了解圓錐曲線的簡單應用，了解拋物線的實際背景3理解數(shù)形結合思想.2017全國卷，102017全國卷，162017北京卷，182016浙江卷，91.求解與拋物線定義有關的問題，利用拋物線的定義求軌跡方程，求拋物線的標準方程2求拋物線的焦點和準線，求解與拋物線焦點有關的問題(如焦點弦、焦半徑等問題).分值：5分1拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)_距離相等_的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的_焦點_，直線l叫做拋物線的_準線_2拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y22px(p0

2、)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O_(0,0)_對稱軸_y0_x0_焦點FFFF離心率e_1_準線_x_x_y_y_范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)_x0_x0_y0_y0_3必會結論拋物線焦點弦的幾個常用結論設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p.1思維辨析(在

3、括號內打“”或“”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()解析 (1)錯誤當定點在定直線上時，軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線；(2)錯誤方程yax2(a0)可化為x2y是焦點在y軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是y；(3)錯誤拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形2拋物線y2x2的準線方程是(D)AxBxCyDy解析 拋物線方程為x2y，p，準線方程為y.3拋物線y224ax(a0)上有一點M，它

4、的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為(A)Ay28xBy212xCy216xDy220x解析 準線方程為l：x6a，M到準線的距離等于它到焦點的距離，則36a5，a，拋物線方程為y28x.4若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為(D)A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析 由題意知，點P到點(2,0)的距離與P到直線x2的距離相等，由拋物線定義得點P的軌跡是以(2,0)為焦點、以直線x2為準線的拋物線5在平面直角坐標系xOy中，有一定點A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y22px(p0)的焦點，則該拋物線的準線方程是_x_.解析 線段OA的中垂線方程

5、為4x2y50，令y0得x，焦點F，準線方程為x.一拋物線的定義及應用拋物線中的最值問題一般情況下都與拋物線的定義有關，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決【例1】 (1)已知拋物線x24y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為(D)ABC1D2(2)(2017全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于

6、D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為(A)A16B14C12D10解析 (1)由題意知，拋物線的準線l：y1，過點A作AA1l垂足為點A1，過點B作BB1l垂足為點B1，設弦AB的中點為M，過點M作MM1l交l于點M1，則|MM1|.因為|AB|AF|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3.故點M到x軸的距離d2.(2)拋物線C：y24x的焦點為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設直線l1的斜率為k，則l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，設A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)，x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當且僅當k2，即k1時取等號，故|AB|DE|的最小值為16，故選A二拋物線的標準方程及其幾何性質(1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可(2)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程(3)涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性【例2】 (1)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線

8、y22px(p0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，則p(C)A1BC2D3(2)拋物線x22py(p0)的焦點為F，其準線與雙曲線1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_6_.解析 (1)因為雙曲線的離心率e2，所以ba，所以雙曲線的漸近線方程為yx，與拋物線的準線x相交于點A，點B，所以AOB的面積為p，又p0，所以p2.(2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，p，所以B.又因為點B在雙曲線上，故1，解得p6.三直線與拋物線的位置關系及弦長問題(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系(2

9、)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式x1x2p；若不過焦點，則必須用弦長公式【例3】 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且8.(1)求拋物線C的方程；(2)設直線l為拋物線C的切線，且lMN，點P為l上一點，求的最小值解析 (1)由題意可知F，則該直線方程為yx，代入y22px(p0)，得x23px0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，拋物線的方程為y24x.(2)設直線l的方程為yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.直線l為

10、拋物線C的切線，16(1b)0，解得b1，直線l的方程為yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21，設P(m，m1)，則(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24.yy4(x1x2)，y1y244.16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714.當且僅當m2時，即點P的坐標為(2,3)時，取最小值為14.1若動圓的圓心在拋物線yx2上，且與直線y30相切，則此圓恒過定點(C)A(0,2)B(0

11、，3)C(0,3)D(0,6)解析 直線y30是拋物線x212y的準線，由拋物線的定義知拋物線上的點到直線y3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)2已知點P是拋物線x24y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8,7)，則的最小值為(C)A7B8C9D10解析 拋物線的焦點為F(0,1)，準線方程為y1，根據(jù)拋物線的定義知，1.11111019，當且僅當A，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，則的最小值為9.3已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2y23a2(a0)的左、右焦點，點P是拋物線y28ax與雙曲線的一個交點，若12，則拋物線的準線方程為_x2_.解析 將雙

12、曲線方程化為標準方程得1，拋物線的準線為x2a，聯(lián)立解得x3a，即點P的橫坐標為3a.而由，得6a，3a2a6a，得a1，拋物線的準線方程為x2.4(2017北京卷)已知拋物線C：y22px過點P(1,1)過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點解析 (1)由拋物線C：y22px過點P(1,1)，得p.所以拋物線C的方程為y2x.拋物線C的焦點坐標為.準線方程為x.(2)證明：由題意，設直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y

13、1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.則x1x2，x1x2.因為點P的坐標為(1,1)，所以直線OP的方程為yx，點A的坐標為(x1，x1)直線ON的方程為yx，點B的坐標為.因為y12x10，所以y12x1.故A為線段BM的中點易錯點對直線與拋物線的公共點認識不清錯因分析：只考慮直線斜率k存在的情況而忽略k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸時的兩種情形【例1】 過點(0,3)的直線l與拋物線y24x只有一個公共點，求直線l的方程解析 當斜率k存在且k0時，設直線l的方程為ykx3，將其代入y24x，整理得k2x2(6k4)x90，則由0解得k；當k0時，直線l的方程為y3，此

14、時l平行于對稱軸，且與拋物線只有一個交點；當k不存在時，直線l與拋物線也只有一個公共點，此時l的方程為x0.綜上，過點(0,3)且與拋物線y24x只有一個公共點的直線l的方程為yx3；y3；x0.【跟蹤訓練1】 設拋物線C：y22px(p0)，過點M(p,0)作直線l.證明：l與C至少有一個交點證明 (1)當直線與y軸不垂直時，設l：xmyp，聯(lián)立C與l的方程，得則y22pmy2p20.(2pm)242p24p2(m22)0恒成立故此時C與l有2個交點(2)當直線l與y軸垂直時，l：x0，C與l有一個交點(0,0)綜上(1)，(2)知，C與l至少有一個交點課時達標第52講解密考綱對拋物線的定義

15、、標準方程及幾何性質的考查是常數(shù)，通常在選擇題、填空題中單獨考查或在解答題中與圓錐曲線綜合考查一、選擇題1(2018寧夏銀川九中月考)已知拋物線的方程為標準方程，焦點在x軸上，其上點P(3，m)到焦點的距離為5，則拋物線方程為(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析 設拋物線方程為y22px(p0)，則(3)5，p4，拋物線方程為y28x.故選B2(2018江西九江第一次統(tǒng)考)已知拋物線的方程為y22px(p0)，過拋物線上一點M(p，p)和拋物線的焦點F作直線l交拋物線于另一點N，則|NF|FM|(C)A1B1C12D13解析 由題意知直線l的方程為y2，聯(lián)立方程得N.所以|NF|

16、p，|MF|pp，所以|NF|FM|12，故選C3已知拋物線C：y24x，頂點為O，動直線l：yk(x1)與拋物線C交于A，B兩點，則(A)A5B5C4D4解析 設A，B，由已知得直線l過定點E(1,0)，因為E，A，B三點共線，所以y2y1，即(y1y2)y1y2，因為y1y2，所以y1y24，所以y1y25.4(2018吉林長春一模)過拋物線y22px(p0)的焦點F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點，則(A)ABCD解析 設拋物線的準線為l：x，|FB|m，|FA|n，過A，B兩點向準線l作垂線AC，BD，由拋物線定義知|AC|FA|n，|BD|FB|m，過

17、B作BEAC，E為垂足，則|AE|CE|AC|BD|AC|mn，|AB|FA|FB|nm.在RtABE中，BAE60，cos 60，即m3n.故.5已知點A(2,1)，拋物線y24x的焦點是F，若拋物線上存在一點P，使得|PA|PF|最小，則點P的坐標為(D)A(2,1)B(1,1)CD解析 由拋物線定義知，|PF|等于P到準線x1的距離，當PA與準線垂直時|PA|PF|最小，P點的縱坐標為1，代入方程得x.6已知拋物線x24y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為(D)ABC1D2解析 由題意知，拋物線的準線l：y1，過點A作AA1l于點A1，過點B作BB1l于點B1，設弦

18、AB的中點為M，過點M作MM1l于點M1，則|MM1|.因為6|AB|AF|BF|，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故點M到x軸的距離d2，故選D二、填空題7(2018福建福州質檢)過拋物線y22px(p0)的焦點作傾斜角為30的直線l與拋物線交于P，Q兩點，分別過P，Q兩點作PP1，QQ1垂直于拋物線的準線于P1，Q1，若|PQ|2，則四邊形PP1Q1Q的面積是_1_.解析 由題意得四邊形PP1Q1Q為直角梯形，|PP1|QQ1|PQ|2，|P1Q1|PQ|sin 301，S|P1Q1|1.8如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，

19、水面寬_2_米解析 如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py(p0)由題意將點A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.設B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面寬為2米9(2017全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_6_.解析 依題意，拋物線C：y28x的焦點F(2,0)，準線x2，因為點N在y軸上，M為FN的中點，所以點M的橫坐標為1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.三、解答題10已知拋物線y24px(p0)的焦點為F，圓W：(xp)2y2p2的圓心到過點F的直線l的距離為p.(1)

20、求直線l的斜率；(2)若直線l與拋物線交于A，B兩點，WAB的面積為8，求拋物線的方程解析 (1)易知拋物線y24px(p0)的焦點為F(p,0)，依題意設直線l的方程為xmyp，因為W(p,0)，所以點W到直線l的距離為p，解得m，所以直線l的斜率為.(2)由(1)知直線l的方程為xyp，由于兩條直線關于x軸對稱，不妨取xyp，代入y24px中，得y24py4p20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24p，y1y24p2，所以|AB|16p，因為WAB的面積為8，所以p16p8，得p1，所以拋物線的方程為y24x.11已知拋物線y22px(p0)，過點C(2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，12.(1)求拋物線的方程；(2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程解析 (1)設l：xmy2，代入y22px中，得y22p