數(shù)學(xué)4(必修)教材分析.ppt

1、,數(shù)學(xué)4（必修）教材分析,姜堰市第二中學(xué) 石志群 S ,一、歷史與價值 航海、歷法推算以及天文觀測的需要，推動了三角學(xué)的發(fā)展。早期的三角學(xué)總是與天文學(xué)密為可分。這樣，在年以前的三角學(xué)主要是球面三角，后來由于間接測量、測繪工作的需要，才出現(xiàn)了平面三角。 著名數(shù)學(xué)家傅里葉用正弦和余弦函數(shù)表示（，）上所有函數(shù)的傅里葉級數(shù)更是具有巨大的理論和應(yīng)用價值。 正如章首語中所說，日出日落，寒來暑往，天文、歷法推算與周期現(xiàn)象是密切相關(guān)的，現(xiàn)代三角學(xué)就是研究周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。,二、關(guān)于教材的定位,老教材的引言,實驗教材1 提供背景：廣泛存在的周期性現(xiàn)象， 提出問題：如何用數(shù)學(xué)的方法來

2、刻畫這種變化的規(guī)律？ 明確任務(wù)：研究三角函數(shù)(刻畫周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型)的意義，性質(zhì)和應(yīng)用. 提出了研究綱領(lǐng)； 學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是：三角函數(shù)究竟是什么？ 教材的定位是：學(xué)習(xí)和研究是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型：三角函數(shù)；,1.蘇教版教材的定位,蘇教版教材的定位,教材的定位是：展示對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過程，即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過程； 提供背景：自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象，圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動是一個簡單又基本的例子. 提出問題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期性運(yùn)動? 明確任務(wù)：建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型. 教學(xué)的起點(diǎn)是：對周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究；,作為定位的具體體現(xiàn)，教材形成了鮮明的

3、特點(diǎn)： 1.采用以問題鏈為線索的呈現(xiàn)方式 2.以“數(shù)學(xué)地研究”的一般程序來組織、選取教學(xué)內(nèi)容. 3.突出周期性 4.加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)形數(shù)結(jié)合,1.采用以問題鏈為線索的呈現(xiàn)方式. 注意提出問題的環(huán)節(jié)， 注意問題間的邏輯聯(lián)系， 強(qiáng)化目標(biāo)（建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型）的指向作用；,例子:任意角的三角函數(shù)(實驗教材1),任意角的三角函數(shù),例子：任意角三角函數(shù)(蘇教版),問題鏈 怎樣刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動? 怎樣建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 ? 怎樣表示圓周上的點(diǎn)? “用怎樣的數(shù)學(xué)模型建立（x,y）與（r,）之間的關(guān)系？”,2.以“數(shù)學(xué)地研究”的一般程序來組織、選取教學(xué)內(nèi)容. （1）教材以”建構(gòu)研究應(yīng)用

4、”為主線展開; （2）教材充分發(fā)揮學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章的 經(jīng)驗在建構(gòu)“刻畫周期性的數(shù)學(xué)模型”中的作用， （3）教材對傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容做了“強(qiáng)干削技”的處理 .,教材以為主線展開,教材充分發(fā)揮學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章的經(jīng)驗在建構(gòu)“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”中的作用,為了突出“建構(gòu)研究應(yīng)用”這一主線，教材對傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容做了“強(qiáng)干削技”的處理。,3.突出周期性,本章的研究對象是周期性現(xiàn)象，建構(gòu)的是“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”，在教材中，我們突出了周期性，把它看成是教材編寫的出發(fā)點(diǎn)和歸屬。,例子：三角函數(shù)的性質(zhì),4.加強(qiáng)幾何直觀,強(qiáng)調(diào)形數(shù)結(jié)合的思想,三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因

5、此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系。,例子：誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)。,本章結(jié)構(gòu)(蘇教版),例子:誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)(老教材),例子：誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)（蘇教版）,誘導(dǎo)公式推導(dǎo)思路的比較,“誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊有某種對稱關(guān)系的兩個角三角函數(shù)之間的關(guān)系。換句話說，誘導(dǎo)公式實質(zhì)是將終邊對稱的圖形關(guān)系”翻譯“成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系”。,四、與老教材比較 （1）與過去的教材相比，新教材強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)是一種“數(shù)學(xué)模型” （2）刪減了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)符號等內(nèi)容。降低了對任意角概念，弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的奇偶性的

6、要求。 （3）不能放松基本的技能訓(xùn)練，應(yīng)該讓學(xué)生記牢并熟練地使用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，能用五點(diǎn)法畫出正（余）弦函數(shù)的圖象等,五、教材分析與教學(xué)建議,分析,.任意角、弧度,必要性：“周而復(fù)始”,合理性：客觀存在,任意角,弧度制,從描述周期運(yùn)動的量r，l與之間的關(guān)系引入,對任意角的三角函數(shù)，也是從描述周期運(yùn)動的量（x,y)之間的關(guān)系引入,一以貫之的研究方法,。以問題為中心，充分發(fā)揮理性思維在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中的作用。 。恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)。,。注意從數(shù)學(xué)模型的角度來認(rèn)識三角函數(shù)，突出數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)中的作用。,建議,第章平面向量,一、價值與定位,（1）向量是具有深刻的幾何背景和物理背

7、景的數(shù)學(xué)模型； （2）向量是近代數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，也是一種基本的重要的數(shù)學(xué)工具； 向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。作為代數(shù)對象，向量可以運(yùn)算。作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量由大小和方向兩個因素確定，大小反映了向量數(shù)的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)。,向量是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析中的基本數(shù)學(xué)模型，是理解這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)： 向量也是重要的物理模型。平面力場、平面位移場以及二者混合產(chǎn)生的做功問題，都可以用向量空間來刻畫和描述。,向量不

8、僅溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，而且，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，它在高中數(shù)學(xué)中的重要地位是不言而喻的。,二、設(shè)計意圖, 按照數(shù)學(xué)模型研究的一般程序展開教材,向量的線性運(yùn)算,用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻劃位移，速度、力這樣的量？ 這樣的數(shù)學(xué)模型在什么性質(zhì)與應(yīng)用？ 這里的向量OA，AB，OB之間有什么關(guān)系？,突出向量的物理背景和幾何背景；,（1） 教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引人向量概念。,（2）在有關(guān)向量的運(yùn)算中，教材也注意突出向量運(yùn)算的原型。,（3）在向量的應(yīng)用中，揭示它豐富的背景。,突出運(yùn)算的核心地位（數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算集合的運(yùn)算概率的運(yùn)算向量的運(yùn)算）,（1）運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容,（2）教材

9、在處理向量運(yùn)算的內(nèi)容時，注意和數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比,（3）和數(shù)學(xué)中的概念一樣，數(shù)學(xué)對象的運(yùn)算也是一種數(shù)學(xué)模型，它也有一個建構(gòu)的過程,（4）我們知道，只有建立了數(shù)的表示方法，才能討論數(shù)的運(yùn)算問題。類似地，在討論向量的運(yùn)算之前，必須先要解決向量表示的問題,（5）向量是通過運(yùn)算來解決問題的。, 突出向量的工具作用，注意與相關(guān)知識的聯(lián)系,（1）教材特別注意聯(lián)系實際，注意向量與相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系。,（2）在例題和習(xí)題中都安排了向量在相鄰領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用題。,編寫中考慮的幾個問題,1。本章和本模塊其它各章的關(guān)系。,（1）三角函數(shù)、平面上的向量、三角變換，一起構(gòu)成了本教學(xué)模塊。,2。知識展開的順序,（1）向量既是幾何對

10、象，又是代數(shù)對象。向量的知識體系有各種不同的展開方式,（2）第二種方式比較符合中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和抽象思維的水平。也基本上和建立向量的歷史過程相符。,（3）教材以向量知識發(fā)展的過程為依據(jù)，采用了先形后數(shù)，形數(shù)結(jié)合，逐步形式化的呈現(xiàn)方式。,（4）向量法是一種重要的數(shù)學(xué)方法。,形到向量向量的運(yùn)算向量到形,（5）由于向量的概念和運(yùn)算都具有物理的原型,（6）上面的研究程序，實際上是從代數(shù)層面上對向量的研究,3。平面向量和空間向量的關(guān)系,（1）教材中研究的平面向量只是向量的特例,（2）以“平面向量基本定理”為例說明,1。明確教學(xué)要求； 實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵在于： 清晰準(zhǔn)確地理解概念、運(yùn)算；為此要明確“原型”

11、，“物理意義”，“幾何意義”； 運(yùn)用向量運(yùn)算解決問題，掌握作為重要數(shù)學(xué)工具的向量。關(guān)鍵在于理解向量方法的實質(zhì)。,四、教學(xué)建議,2。讓學(xué)生參與建構(gòu)活動； （1）要讓學(xué)生參與建構(gòu)向量及其運(yùn)算的活動，經(jīng)歷建構(gòu)過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到向量是一種描述現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)模型。 （2）要讓學(xué)生了解向量的物理背景、幾何背景，知道它的原型。 （3）通過建構(gòu)活動，讓學(xué)生熟悉向量及其運(yùn)算的幾何意義，物理意義，這是靈活運(yùn)用向量解決問題的基礎(chǔ)。,3。讓學(xué)生明確研究向量問題的基本思路。 （1）向雖是代數(shù)的對象。作為代數(shù)對象，向量可以運(yùn)算，而且正是因為有了運(yùn)算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮： （2）向量又是幾何對象，所以向量可以刻畫

12、兒何元素 (點(diǎn)、線、面，利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系： （3）正因為，向量“一身二任”，所以幾何圖形的許多性質(zhì)會表現(xiàn)為向量的運(yùn)算性質(zhì)，這樣我們就可以通過向量的運(yùn)算來描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如直線的平行、垂直等），確定幾何圖形的長度、面積、夾角等等：,（4）讓學(xué)生理解向量方法的實質(zhì)。 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面兒何問題摶化為向量問題; 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、 夾角等問題; 把運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系。,第10章 三角變換,一。價值與定位,對教材的定位是： （1）是（在第8章的基礎(chǔ)上）對三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型（運(yùn)算）性質(zhì)的進(jìn)一步研究； （2）是用演繹方法