勾股定理復(fù)習(xí)（一）

1、學(xué)啟于思 思源于疑,2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京舉行,北京歡迎您！,勾股定理回顧與思考,八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)） 北師大版,華羅庚,1、在ABC中，C90，a、b、c為三角形的三邊，則,角與角之間的關(guān)系為：,議一議：,a2 + b2 = c2,邊與邊之間的關(guān)系為：,AB90,2、在ABC中， a、b、c為三角形的三邊， 如果 ，則ABC是直角三角形 。 如果 ， 則ABC是直角三角形 。,AB90,a2 + b2 = c2,如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么,勾股定理,a2 + b2 = c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.,直角三角形的判別條件,如果三角形的三邊長(zhǎng)a

2、，b，c滿足a2 +b2=c2 ， 那么這個(gè)三角形是直角三角形.,滿足a2 +b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).,“補(bǔ)”,“拼”,“割”,方法一：,方法二：,方法三：,分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形,補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積,將幾個(gè)小塊拼成一個(gè)正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形,勾股定理的驗(yàn)證,史話勾股定理的證明,一、三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明.它用幾何圖形來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合 .,二、 傳說(shuō)古希臘的畢達(dá)哥拉

3、斯用下面的兩個(gè)圖形證明了勾股定理,你能直接觀察驗(yàn)證勾股定理嗎？,兩幅圖中彩色的四個(gè)直角三角形總面積呢？,提示：圖中的兩個(gè)大正方形面積相等嗎？,那么剩余的空白部分的面積呢？,美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德的證明,劉徽的“青朱出入圖”,著名畫(huà)家達(dá)芬奇的證明,美麗的勾股樹(shù),數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂正解的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法也是成功解題的關(guān)鍵尤其是在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，更應(yīng)注重思想方法的運(yùn)用，那么你知道哪些思想方法呢？,勾股定理中的思想方法,1、已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)是3和4 ，求第三邊的長(zhǎng),類型之一 分類討論思想,解:當(dāng)3和4 是兩條直角邊時(shí)，則利用勾股定理求得第三條邊即斜邊是 = 5 ； 當(dāng)3 是直角邊

4、， 4 是斜邊時(shí)，由勾股定理求得另一條直角邊是 ,分析:已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)，并沒(méi)有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論.,拓展與應(yīng)用,2、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物。請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短路線是多少？,B,A,解：臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形如圖所示，連接AB 因?yàn)锽 ，AC=5 ， 由勾股定理得 AB2=AC2+BC2 =144+25=169， ，所以螞蟻爬行的最短路線為 。,類型之二 轉(zhuǎn)化思想 臺(tái)階中的最值問(wèn)題,3、如圖，在波平如鏡的湖面

5、上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺。突然，一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，請(qǐng)問(wèn)水深多少？,圖1（1）,解:如圖，設(shè)水深為x尺，則荷花的長(zhǎng)為（x+3）尺，由勾股定理得：62+ x2 = （x+3）2 解得：x=4.5， 所以這個(gè)湖的水深為4.5尺,A,B,C,類型之三 方程思想,分析：由題意，我們知在圖1-1中為AB為湖水的深度，AC為荷花的長(zhǎng)，ABC為直角三角形,類型之四 數(shù)形結(jié)合思想,例如：甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以30海里/小時(shí)的速度向北偏東35的方向航行，乙船以40海里/小時(shí)的速度另一個(gè)方向航行,2小時(shí)后，甲船達(dá)到C島，乙船到達(dá)

6、B島。若兩島相距100海里，問(wèn)：乙船航行的方向是南偏東多少度？,應(yīng)用勾股定理及其逆用解決有關(guān)航海問(wèn)題的應(yīng)用題，首先要能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題。,解：如圖所示，在ABC中，因?yàn)锳C=2 30=60海里，AB=2 40=80海里，BC=100海里， AC2+BC2=602+802=3600+6400 =10000=1002=BC2， 所以 ABC是直角三角形，且BAC=90. 由于18035 90= 55，所以乙船航行的方向是南偏東55 。,1、已知一個(gè)RtABC的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則以第三邊為邊的正方形的面積是,跟蹤練習(xí),分析：此題并沒(méi)有告訴我們已知的

7、邊長(zhǎng)4一定是直角邊，而4有可能是斜邊，因此要分類討論解：當(dāng)4為直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理第三邊長(zhǎng)的平方是25；當(dāng)4為斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為：42-32=7，因此正方形的面積是：25或7,25 或 7。,2、有一個(gè)圓柱，它的高等于13厘米，底面半徑等于3厘米.一只螞蟻從距底面1米的A點(diǎn)爬行到對(duì)角B點(diǎn)處去吃食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取3).,圓柱（錐）中的最短問(wèn)題,跟蹤練習(xí),解：將圓柱的側(cè)面展開(kāi)成平面 圖形，連接AB， 因?yàn)?， BC= ， 由勾股定理得AB2=AC2+BC2= ， 所以螞蟻爬行的最短路線為 。,3、學(xué)習(xí)過(guò)程中你還有什么困惑？,感悟與收獲,1、通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)你有哪些

8、收獲？,2、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你獲得了那些數(shù)學(xué)思想和方法？,分層作業(yè),必做題 ： 1、課本第16頁(yè)復(fù)習(xí)題 3，4，5 B組1 2、獨(dú)立完成一份小結(jié)，用自己的語(yǔ)言梳理本章的內(nèi)容。 選做題： 勾股定理不僅在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要作用，而且在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚺e幾例，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密相連。,結(jié)束寄語(yǔ),數(shù)學(xué)使人聰明,數(shù)學(xué)使人陶醉,數(shù)學(xué)的美陶冶著你、我、他.,祝您成功,、觀察下列表格：,請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值. 即b= ，c= .,3、勾股定理的創(chuàng)新問(wèn)題往往從教材出發(fā)，充分考察同學(xué)們的認(rèn)知水平和探究能力。,跟蹤練習(xí),4、 有一塊田地的形狀和尺寸如圖所示，試求它的面積。,A,B,C,D,5,跟蹤練習(xí),5、在一棵樹(shù)的10米高處B有兩只猴