八年級上知識梳理 滬教版數(shù)學

1、八年級上第十六章 二次根式第一節(jié)： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術平方根，所以當a0時，沒有意義。二次根式（）的非負性（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數(shù)的

2、算術平方根是正數(shù)，0的算術平方根是0，所以非負數(shù)（）的算術平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負

3、數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結果是有差別的，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.最簡二次根式（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1（2）被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式同類二次根式1幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同

4、，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式2 合并同類二次根式把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進行合并。第二節(jié) 二次根式的運算1.積的算數(shù)平方根的性質(zhì) ab=ab（a0，b0） 2. 乘法法則 ab=ab（a0，b0） 二次根式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。 兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。ab=ab（a0，b0） 二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)商的

5、算數(shù)平方根。分母有理化把分母的根號化去叫做分母有理化，1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。有理化根式。 如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。 二次根式的混合運算1確定運算順序 2靈活運用運算定律 3正確使用乘法公式 4大多數(shù)分母有理化要及時 5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化 第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a0時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關問題時，多數(shù)習題要先化為一

6、般形式，目的是確定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.2. 一元二次方程的解法: （1）一元二次方程的四種解法要求靈活運用， 其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較小；（2）公式法雖然適用范圍大，但計算較繁，易發(fā)生計算錯誤；（3）因式分解法適用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；（4）配方法使用較少.3. 一元二次方程根的判別式: 當ax2+bx+c=0 (a0)時，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式.請注意以下等價命題：0 有兩個不等的實根； =0 有兩個相等的實根；0 無實根； 0 有兩個實根（等或不等）.4. 一元二

7、次方程的根系關系： 當ax2+bx+c=0 (a0) 時，如0，有下列公式：5. 一元二次方程的解法（1） 直接開平方法 （也可以使用因式分解法） 解為： 解為： 解為： 解為：（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： 此類方程適合用提供因此，而且其中一個根為0 （3） 配方法二次項的系數(shù)為“1”的時候：直接將一次項的系數(shù)除于2進行配方，如下所示：示例：二次項的系數(shù)不為“1”的時候：先提取二次項的系數(shù)，之后的方法同上：示例： （4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為：當時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實根： 當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實根： 當時，

8、右端是負數(shù)因此，方程沒有實根。備注：公式法解方程的步驟：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、求出，并判斷方程解的情況。代公式：（要注意符號）5當ax2+bx+c=0 (a0) 時，有以下等價命題：(以下等價關系要求會用公式 ；=b2-4ac 分析，不要求背記)（1）兩根互為相反數(shù) = 0且0 b = 0且0；（2）兩根互為倒數(shù) =1且0 a = c且0；（3）只有一個零根 = 0且0 c = 0且b0；（4）有兩個零根 = 0且= 0 c = 0且b=0；（5）至少有一個零根 =0 c=0；（6）兩根異號 0 a、c異號；（7）兩根異號，正根絕對值大于負根絕對值 0且0 a、

9、c異號且a、b異號；（8）兩根異號，負根絕對值大于正根絕對值 0且0 a、c異號且a、b同號；（9）有兩個正根 0，0且0 a、c同號， a、b異號且0；（10）有兩個負根 0，0且0 a、c同號， a、b同號且0.6求根法因式分解二次三項式公式：注意：當 0時，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式： x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系數(shù)應化為整數(shù).第三節(jié) 一元二次方程的應用8平均增長率問題-應用題的類型題之一 （設增長率為x）： (1) 第一年為 a , 第二年為a(1

10、+x) , 第三年為a(1+x)2.（2）常利用以下相等關系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=總和.9分式方程的解法：10. 二元二次方程組的解法：11幾個常見轉(zhuǎn)化：， ， ， ， 等 ； ；第十八章 正比例函數(shù)和反比例函數(shù)一、函數(shù)的定義：在X值的取值范圍內(nèi)的每一個值，Y都有唯一一個值和它對應。Y是X的函數(shù)。（唯一性）二、表示函數(shù)的三種方法：1、列表法 2、解析法（函數(shù)關系式）3、圖象法畫圖像的一般步驟：（1）列表（2）描點（3）連線三、確定函數(shù)自變量的取值范圍1、自變量以整式形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；2、自變量以分式形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是使分母不為0的數(shù)

11、；3、自變量以偶次方根形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于0（即被開方數(shù)0）的數(shù)；自變量以奇次方根形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)。4、 自變量出現(xiàn)在零次冪或負整數(shù)次冪的底數(shù)中，自變量的取值范圍是使底數(shù)不為0的數(shù)。說明：當函數(shù)解析式表示具有實際意義的函數(shù)時，自變量取值范圍除應使函數(shù)解析式有意義外，還必須符合實際意義。）正比例函數(shù)正比例：如果兩個變量的每 一組對應值的比值是一個常數(shù)（這個常數(shù)不等于0），那么就說這兩個變量成正比例。解析式如 Y=kx，（k0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)。K0時，正比例函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內(nèi)，當自變量x的值逐漸增大時

12、，y的值隨著逐漸增大K0時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內(nèi)，當自變量x的值逐漸增大時，y的值隨著逐漸減小Ka2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于