3離散系統(tǒng)分析基礎.ppt

1、第四章 離散系統(tǒng)分析基礎,在連續(xù)系統(tǒng)中引入拉氏變換以后使得求解繁雜的微、積分 問題，變成了簡單的代數運算。在離散系統(tǒng)中，求解差分方程 時，引入Z變換后，使得求解差分方程變得十分簡便。 Z域分析法是分析線性離散系統(tǒng)的重要方法之一。 利用Z域分析法可以方便地分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，穩(wěn) 態(tài)特性和動態(tài)特性。,一、Z變換,(一)、Z變換的定義 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時間函數 的拉氏變換為 同樣在線性離散系統(tǒng)中，也可以對采樣信號 作拉氏變換 采樣信號的表達式為： 對采樣信號作 拉氏變換，得 式中， 是超越函數，計算很不方便，令 ，則有,上式把采樣函數 變換成 。稱為 的Z變換。 記作 由Z變換的定義得到

2、 由上式可以看出采樣函數 的Z變換 與采樣函數在采 樣點的值有關，所以當知道 時，便可求得時間序列 或者相反，當知道時間序列 ，K=0,1,2, 時，便可求得,例：試求單位階躍時間序列 的Z變換 解：,(二)、Z變換的性質和定理,介紹幾種Z變換的性質和定理 1、線性性質 設 ， ，且a，b為常數，則有 鑒于這個性質，Z變換是一種線性變換。,2、平移定理 設kT0時， ， 滯后定理 代表滯后環(huán)節(jié)，表示把信號滯后n個采樣周期，如下 圖所示。當n=1時，,超前定理 代表超前環(huán)節(jié)，表示信號超前幾個采樣周期。 在 運算中是有用的，就是實際上是不存在超前環(huán)節(jié)的。 當n=1時,3、初值定理 設 則 4、終值

3、定理 設 則,二、Z反變換,由 求出相應的脈沖序列 或數值序列 稱為z反 變換。記作 脈沖序列 數值序列 Z變換是對采樣序列的變換，所以Z反變換得不到采樣點之 間的函數值。Z反變換的求法通常有部分分式法，長除法和留 數計算法。,(一)、部分分式法 部分分式法求取Z反變換的過程跟用部分分式法求取拉氏 反變換的過程十分相似。 設有 展開成,則Z反變換 例：求 的反變換 解：,部分分式法常用的Z變換對如下表 用部分分式法求Z反變換可以得到脈沖序列或數值序列的 數學解析式,(二)、長除法 將 用長除法展開成Z的降冪級數，再根據Z變換的定 義，可以得到 的前若干項。 設 用長除法可得： 由Z變換定義：

4、可知,例：求 的Z反變換 解：用長除法,可得： 則 長除法只能求得時間序列或數值序列的前若干項，得不到 序列 或 的數學解析式。,三、差分方程和脈沖傳遞函數,在連續(xù)系統(tǒng)中，描述控制系統(tǒng)的數學模型是微分方程和傳遞函數。 在離散系統(tǒng)中，描述控制系統(tǒng)的數學模型則是差分方程和脈沖傳遞函數。,(一)、差分方程 差分方程是微分方程用于離散系統(tǒng)的一種形式 設有微分方程 對于離散系統(tǒng)（采樣周期為T），微分可用差分表示,構成差分方程 差分方程的標準形式 其中 nm,在初始靜止條件下，也可以寫成 其Z變換形式 可以用Z變換求解差分方程，使得差分運算變成了代數運 算，大大簡化了系統(tǒng)的分析和綜合。 對差分方程進行Z變

5、換，并代入初始條件 求得 的表達式 做 解的反變換,例：求解差分方程,(二)、脈沖傳遞函數 1、脈沖傳遞函數定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出離散信號的Z變換式 和系統(tǒng)輸入離散信號的Z變換式 之比 2、從差分方程求脈沖傳遞函數（或從脈沖傳遞函數求差 分方程）,例 3、從連續(xù)部分的傳遞函數求脈沖傳遞函數,4、在拉氏變換中，沖擊函數定義為 t0 t0 沖擊響應就是系統(tǒng)傳遞函數 在Z變換中，脈沖函數定義為寬度為T，幅值為1的脈沖激勵,脈沖響應就是系統(tǒng)傳遞函數,四、離散系統(tǒng)框圖分析和穿的函數求取,(一)、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數 (1)、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數 采樣開關的位置對離散系統(tǒng)的性能有很大的影響,設

6、 b和c相同 a.,(2)、并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z變換 分以下三種情況， 都一樣,其中,(3)、閉環(huán)脈沖傳遞函數 離散系統(tǒng)通常由連續(xù)環(huán)節(jié)加上同步動作的采樣開關組成,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性,(一)、離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據 離散系統(tǒng)的Z平面和連續(xù)系統(tǒng)S平面對應關系, 為序列幅值 的包絡線 S平面中0的右半平面，對應于 部分 即 的 單位圓外 因此線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的主要條件為： 閉環(huán)系統(tǒng)的特征的所有的根（即閉環(huán)脈沖傳遞函數所有的極點）都在Z平面的單位圓內。單位圓是穩(wěn)定邊界。,也可以用勞斯判據，在不求出極點的情況下，判斷穩(wěn)定性 用 作ZW變換，得到w域的特征方程 1、特征方程的系數 的符號不相同，則系統(tǒng)

7、不 穩(wěn)定 2、勞斯行列表第一列元素均為正，則特征根均在左半平 面，系統(tǒng)穩(wěn)定。,勞斯行列表如下：,例： 開環(huán)傳遞函數 查表得,設K=1 T=1 閉環(huán)傳遞函數 Z域特征方程 在單位圓內，系統(tǒng)穩(wěn)定 或用 代入特征方程，得,建立勞斯行列表： 第一列元素為正，系統(tǒng)穩(wěn)定 若T=1 K=10 系統(tǒng)特征方程為 特征根 系統(tǒng)不穩(wěn)定,令 代入特征方程 系數符號不相同，系統(tǒng)不穩(wěn)定 建立勞斯表 可以試求臨界穩(wěn)定值K 系統(tǒng)特征方程 用 代入特征方程，并建立勞斯表,若T=0.5 K的臨界值 特征方程 作 變換,可見： 1、減小系統(tǒng)增益可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性 2、提高采樣頻率，也可提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,(二)、離散系統(tǒng)動態(tài)性能和特征

8、根關系 系統(tǒng)發(fā)散 等幅 衰減 為實數，為非振蕩序列 為復數，為振蕩序列，共軛成對出現,六、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法,(一)、離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 與線性連續(xù)系統(tǒng)相類似,其中F為nn維矩陣 系統(tǒng)矩陣 G為nm維矩陣 輸入矩陣或驅動矩陣 C為pn維矩陣 輸出矩陣 D為pm維矩陣 直傳矩陣 X為n1狀態(tài)向量，Y為p1輸出向量，U為m1 輸 入向量,(二)、狀態(tài)方程的建立 由Z傳遞函數求出狀態(tài)方程（直接法） 1、直接法 設線性離散系統(tǒng)的Z傳遞函數 設,作Z變換,形成狀態(tài)方程：,例： 則：,(三)、狀態(tài)方程的求解 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的Z變換求解 作Z變換,例： 已知： 行列式,(四)、線性離散系統(tǒng)的Z特征方程 特征方程