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1、第二單元圓錐曲線和方程學(xué)習(xí)目標(biāo):1 .掌握橢圓、雙曲線和拋物線的定義和應(yīng)用,用定義解標(biāo)準(zhǔn)方程;2.掌握標(biāo)準(zhǔn)方程及其解;3.掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì),并用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題;4.掌握直線和二次曲線位置關(guān)系的簡(jiǎn)單解法。知識(shí)點(diǎn):橢圓、雙曲線和拋物線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面中兩個(gè)固定點(diǎn)F1和F2的距離之和等于固定長(zhǎng)度點(diǎn)的軌跡(大于|F1F2|)到平面中兩個(gè)固定點(diǎn)F1和F2的距離差的絕對(duì)值等于具有固定值2a的點(diǎn)的軌跡(大于0且小于|F1F2|)平面中點(diǎn)的軌跡,與固定點(diǎn)和固定線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程=1或=1 (ab0)-=1或-=1 (A0,b0)Y2=-2px或y2=
2、-2px或x2=2py或x2=-2py (P0)關(guān)系a2-b2=c2a2+b2=c2數(shù)字封閉圖形無(wú)限延伸,但漸近線y=x或y=x無(wú)限延伸,無(wú)漸近線變量范圍|x|a,|y|b或|y|a,|x|b|x|a或|y|aX0或x0或y0或y0對(duì)稱對(duì)稱的中心是原點(diǎn)沒(méi)有對(duì)稱中心兩條對(duì)稱軸對(duì)稱軸頂點(diǎn)四二一個(gè)古怪E=,和01e=1決定形狀的因素e決定平整度確定開(kāi)口尺寸2p決定開(kāi)口尺寸知識(shí)點(diǎn)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三角形假設(shè)p是橢圓上的任意點(diǎn)=1 (ab0)(不在x軸上),F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn),并且F1 pf2=,那么PF1F2是焦點(diǎn)三角形(如圖所示)。(1)聚焦三角形的面積s=b2tan。(2)聚焦三角形的周長(zhǎng)l=2a2c。
3、尋找雙曲線和知識(shí)點(diǎn)漸近線的技巧1.尋找雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程的漸近線方程最簡(jiǎn)單、最實(shí)用的方法是將標(biāo)準(zhǔn)方程中的1替換為0,然后得到兩條漸近線的方程。例如,雙曲線的漸近線方程-=1 (A0,b0)是-=0 (A0,b0),即y=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;雙曲線的漸近線方程-=1 (A0,b0)是-=0 (A0,b0),即y=_ _ _ _ _ _ _。2.如果雙曲線的漸近線方程為=0,則其雙曲線方程可設(shè)為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。知識(shí)點(diǎn)求解二次曲線方程的四個(gè)一般步驟一般來(lái)說(shuō),對(duì)于已知曲線類(lèi)型的曲線方程的求解,可以采用“先設(shè)定,再設(shè)
4、定,然后量化”的步驟。(1)設(shè)置是指焦點(diǎn)位置和圓錐對(duì)稱軸。(2)公式根據(jù)“形狀”設(shè)置方程的形式,并注意曲線系統(tǒng)方程的應(yīng)用。例如,當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí),方程可以設(shè)置為mx2 ny2=1 (m0,n0)。(3)量化從設(shè)計(jì)條件中找出公式中待定系數(shù)的等價(jià)關(guān)系,并通過(guò)求解方程得到數(shù)量。用知識(shí)點(diǎn)五三法解決偏心問(wèn)題1.定義方法:根據(jù)橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程,無(wú)論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)是在X軸還是Y軸上,都存在A2-B2=C2 (A2 B2=C2)和E=的關(guān)系。如果你知道任何兩個(gè)參數(shù),你可以找到其他參數(shù),這是一個(gè)基本的和常用的方法。2.方程法:通過(guò)建立參數(shù)A和c之間的齊次關(guān)系來(lái)計(jì)算偏心率是一種非常
5、重要的思想和方法3.幾何方法:解決與已通過(guò)焦點(diǎn)的三角形相關(guān)的偏心問(wèn)題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)、橢圓(雙曲線)的定義和幾何性質(zhì)建立參數(shù)之間的關(guān)系,通過(guò)繪制圖形觀察線段之間的關(guān)系,使問(wèn)題更加形象直觀。知識(shí)點(diǎn)六直線與二次曲線的位置關(guān)系1.直線和雙曲線、直線和拋物線有一個(gè)共同點(diǎn),有兩種情況:一是相切;第二,直線平行于雙曲線的漸近線和拋物線的對(duì)稱軸。2.直線和二次曲線之間的位置關(guān)系涉及許多知識(shí),如函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等。導(dǎo)致許多問(wèn)題,如尋找軌跡、最大值、對(duì)稱性、取值范圍、線段長(zhǎng)度等。要解決這些問(wèn)題,應(yīng)該注意數(shù)形結(jié)合、數(shù)形互補(bǔ)的方法。有必要結(jié)合二次曲線的定義、二次曲線之間的關(guān)系示例1已知橢圓y2=1 (
6、m1)和雙曲線-y2=1 (n0)具有相同的焦點(diǎn)F1、F2,并且p是它們的交點(diǎn),因此F1PF2的形狀是()A.直角三角形C.鈍角三角形d隨m和n的變化而變化。當(dāng)思考和理解涉及由橢圓和雙曲線上的點(diǎn)和兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)組成的三角形問(wèn)題時(shí),定義往往與三角形解的知識(shí)相結(jié)合。跟蹤訓(xùn)練1拋物線y2=2px (P0)有三個(gè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3),而f是它的焦點(diǎn)。如果|AF|、|BF|和|CF|成為算術(shù)級(jí)數(shù),則()A.x1、x2和x3成為算術(shù)級(jí)數(shù)B.Y1、y2和y3成為算術(shù)級(jí)數(shù)C.X1、x3和x2成為算術(shù)級(jí)數(shù)D.Y1、y3和y2成為算術(shù)級(jí)數(shù)二次曲線的方程和幾何性質(zhì)命題角度1求二次曲線方
7、程例2已知雙曲線的兩條漸近線-=1 (A0,b0)和拋物線y2=2px (P0)的準(zhǔn)線分別在點(diǎn)a和b相交,o是坐標(biāo)的原點(diǎn)。如果雙曲線的偏心率是2,而AOB的面積是0,那么p等于()a1 b . c . 2d . 3為了反映和理解已知曲線類(lèi)型的曲線方程求解問(wèn)題,可以采用“先設(shè)定,后設(shè)定,再量化”的步驟。(1)設(shè)置是指焦點(diǎn)位置和圓錐對(duì)稱軸。(2)公式根據(jù)“形狀”設(shè)置方程的形式,并注意曲線系統(tǒng)方程的應(yīng)用。例如,當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí),方程可以設(shè)置為mx2 ny2=1 (m0,n0)。(3)定量從設(shè)計(jì)條件中找出公式中待定系數(shù)的等價(jià)關(guān)系。跟蹤訓(xùn)練2假設(shè)拋物線c: y2=2px (p 0)的焦
8、點(diǎn)是f,點(diǎn)m在c上,| MF |=5,如果一個(gè)以MF為直徑的圓通過(guò)點(diǎn)A(0,2),c的方程是()A.y2=4x或y2=8xB.Y2=2x或Y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.Y2=2x或Y2=16x命題角度2求圓錐曲線的偏心率示例3如圖所示,F(xiàn)1和F2是橢圓C1的公共焦點(diǎn):y2=1和雙曲線C2,a和b分別是C1和C2在第二和第四象限的公共點(diǎn)。如果四邊形AF1BF2是矩形,C2的偏心率是_ _ _ _ _ _。用反射和感知計(jì)算圓錐曲線偏心的三種方法(1)定義方法:根據(jù)橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程,無(wú)論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)是在X軸還是在Y軸上,都存在A2-B2=C2 (A2 B2=C2)和E=的
9、關(guān)系。如果你知道任何兩個(gè)參數(shù),你可以找到其他參數(shù),這是一個(gè)基本的和常用的方法。(2)方程法:通過(guò)建立參數(shù)A和c之間的齊次關(guān)系來(lái)計(jì)算偏心率是一種非常重要的思想和方法(3)幾何方法:解決與已通過(guò)焦點(diǎn)的三角形相關(guān)的偏心問(wèn)題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)、橢圓(雙曲線)的定義和幾何性質(zhì)建立參數(shù)之間的關(guān)系,通過(guò)畫(huà)圖形觀察線段之間的關(guān)系,使問(wèn)題更加形象直觀。跟蹤訓(xùn)練3知道拋物線Y2=4x的準(zhǔn)線在點(diǎn)A和點(diǎn)B與雙曲線Y2=1相交,點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)。如果FAB是直角三角形,雙曲線的偏心率是_ _ _ _ _ _。直線和二次曲線之間的位置關(guān)系實(shí)施例4眾所周知,從橢圓上的點(diǎn)p=1(ab0)到左右焦點(diǎn)F1和F2的距離之和是2,
10、偏心率是0。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)穿過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l在點(diǎn)a和b處與橢圓相交,并且如果y軸上的點(diǎn)M(0)滿足| ma |=| MB |,則計(jì)算直線l的斜率k的值。反射和感知解決二次曲線中參數(shù)范圍的問(wèn)題類(lèi)似于尋找最大值的問(wèn)題。通常有兩種方法:(1)函數(shù)法:用其他變量表示參數(shù),建立函數(shù)關(guān)系,用求函數(shù)值域的方法求解。(2)不等式方法:根據(jù)問(wèn)題的含義,建立與參數(shù)的不等關(guān)系,通過(guò)求解不等式得到參數(shù)范圍。跟蹤訓(xùn)練4如圖所示,焦距為2的橢圓e的兩個(gè)頂點(diǎn)是a和b,它們與n=(,-1)共線。(1)求橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如果直線y=kx m和橢圓e有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和q,原點(diǎn)o2.雙曲線的兩條漸近線
11、相互垂直,所以雙曲線的偏心率是()A.2 BC.D.3.如果橢圓的右焦點(diǎn)=1 (M0,n0)與拋物線Y2=8x的右焦點(diǎn)相同,并且偏心率為0,則橢圓的方程為()A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=14.如果一個(gè)正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線Y2=2px (P0)上,另一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),那么三角形的邊長(zhǎng)是()A.2p B.4pC.6p D.8p5.通過(guò)拋物線Y2=4x的焦點(diǎn),使一條傾斜的直線在點(diǎn)和點(diǎn)處與拋物線相交,點(diǎn)是坐標(biāo)的原點(diǎn),那么POQ的面積等于_ _ _ _ _ _。在解決二次曲線問(wèn)題時(shí),待定系數(shù)法、“不求而設(shè)”的思想以及變換和歸約的思想是最常用的思想方法。不求設(shè)置在解決直線與二次曲線的位置
12、關(guān)系方面是獨(dú)一無(wú)二的,它很好地解決了復(fù)雜繁瑣的計(jì)算問(wèn)題。答案分析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)三1.x x2.-=(8800; 0)問(wèn)題類(lèi)型查詢例1b設(shè)P是雙曲線右支上的一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于橢圓y2=1 (m1),C2=m-1,|PF1|+|PF2|=2,雙曲線-y2=1,C2=n 1,|PF1|-|PF2|=2,|PF1|=+,|PF2|=-,|F1F2|2=(2c)2=2(m+n),和| pf1 | 2 | pf2 | 2=2(m n)=(2c)2=|F1F2|2,F(xiàn)1PF2是一個(gè)直角三角形,所以選擇b跟蹤訓(xùn)練1a如圖所示,通過(guò)A、B和C作為準(zhǔn)線的垂直線,并且垂直的腳分別是A、B和C,這可以從拋物線的定義中得知|
13、自動(dòng)對(duì)焦|=|自動(dòng)對(duì)焦 |,| BF |=| BB|,| CF |=| CC|。2 | BF |=| AF |+| CF |,2|bb|=|aa|+|cc|.和| aa |=x1,| bb |=x2,| CC |=x3+,2(x2+)=x1+x3+2x2=x1+x3,因此,選擇A.例2c雙曲線=-1漸近線方程為y=x,y2=2px準(zhǔn)線方程為x=-。雙曲線的偏心率是2,e=2,那是=,漸近線方程是y=x,Y=-p,|AB|=p,SOAB=p=,解是p=2。追蹤訓(xùn)練2c拋物線C的方程式是y2=2px(p0),知道焦點(diǎn)f(,0)。設(shè)M(x,y)由拋物線性質(zhì)定義| MF |=x=5??捎脁=5-。因?yàn)?/p>
14、圓心是MF的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,圓心的橫坐標(biāo)是=。眾所周知,圓的半徑也是0。因此,可以知道圓和Y軸與點(diǎn)(0,2)相切,因此中心縱坐標(biāo)為2,M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4。然后m (5-,4),p2-10p 16代入拋物線方程=0,所以p=2或p=8。因此,拋物線c的方程是y2=4x或y2=16x。例3根據(jù)橢圓,| af1 | | af2 |=4、|F1F2|=2。因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2是矩形的,因此,| af1 | 2 | af2 | 2=| f1f2 | 2=12,因此2 | af1 | | af2 |=(| af1 | | af2 |)2-(| af1 | 2 | af2 | 2)=16-12=4,因
15、此,(| af2 |-| af1 |)2=| af1 | 2 | af2 | 2-2 | af1 | | af2 |=12-4=8,因此,| af2 |-| af1 |=2,因此,雙曲線有a=,c=,因此,C2的偏心率e=。跟蹤培訓(xùn)3解析拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程是x=-1,而FAB是直角三角形,那么只有AFB=90,如圖所示,那么A (-1,2)應(yīng)該在雙曲線上,A2=可以通過(guò)代入雙曲線方程得到。所以c=。因此e=。例4解答(1)從問(wèn)題的含義來(lái)看,|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=。因?yàn)閑=,所以c=1,B2=a2-C2=2-1=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是Y2=1。(2)給定F2(1,0),直線斜率明顯存在,假設(shè)直線方程為y=k (x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),得到了直線和橢圓的聯(lián)立方程結(jié)果是(1 2k2) x2-4k2x 2k2-2=0。所以x1 x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=。因此,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(,)。(1)當(dāng)k0時(shí),AB的垂直方程為y-=-(x-),因?yàn)閨 ma |=| MB |,因此,點(diǎn)m在AB的垂線上,將點(diǎn)m的坐標(biāo)代入線性方程,+=,也就是2k2-7k=0,解是k=或k=;當(dāng)k=0時(shí),AB的垂直方程為x=0,滿足問(wèn)題。因此,斜率k的值為0或。跟蹤訓(xùn)練4解決了(1)因?yàn)?c=2,所以c=1。和=(-a,b)和
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