第六章《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》課件.ppt

1、第六章 參數(shù)估計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大 綱 要 求,一、理解點(diǎn)估計(jì)的概念. 二、了解估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（無(wú)偏性、有效性、一致性） 三、掌握矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法. 四、理解區(qū)間估計(jì)的概念. 五、會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間. 六、了解兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.,學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容,6.1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 6.2 衡量點(diǎn)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn) 6.3 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 6.4 兩個(gè)正態(tài)總體均值差與方差比 的區(qū)間估計(jì),數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)之一是依據(jù)樣本推斷總體.推斷的基本內(nèi)容包括兩個(gè)方面:一是依據(jù)樣本尋找總體未知參數(shù)的近似值和近似范圍;二

2、是依據(jù)樣本對(duì)總體未知參數(shù)的某種假設(shè)作出真?zhèn)闻袛?本章先介紹求近似值和近似范圍的方法.,XP(), XE(), XN(,2),用所獲得的樣本值去估計(jì)參數(shù)取值稱為參數(shù)估計(jì).,點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì),在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的區(qū)間,6.1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),參數(shù)估計(jì),用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值,1. 點(diǎn)估計(jì),定義 設(shè)總體X分布函數(shù)為F(x;1,2,m), i為未知 參數(shù)(i=1,2,m), X1,X2,Xn 為來(lái)自該總體的s.r.s,若以 統(tǒng)計(jì)量 =i(x1,x2,xn) 作為i的近似值,則稱 為i 的估計(jì)值(抽樣后),也稱 為i的估計(jì)量(抽樣前).由于近似 值(實(shí)數(shù))與實(shí)數(shù)軸的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),姑且又稱 為

3、i的點(diǎn)估計(jì) 量（或值).,X分布為F(x;)待估,選擇統(tǒng)計(jì)量,估計(jì)量,帶入樣本值,估計(jì)值,即:,2. 點(diǎn)估計(jì)的方法,一、 矩估計(jì)法,將總體的各階原點(diǎn)矩用相應(yīng)階的樣本原點(diǎn)矩替代，布列方程組或方程，所得到的解，作為總體未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。,例1 設(shè)總體X在區(qū)間0， 上服從均勻分布，其中 0 是未知參數(shù), 如果取得樣本觀測(cè)值為 求 的矩估計(jì)值,解：因?yàn)榭傮wX的概率密度 總體X的一階原點(diǎn)矩 ， 樣本一階原點(diǎn)矩 由矩估計(jì)值方法得 所以得到 的矩估計(jì)量 而 的矩估計(jì)值就是,解： 因?yàn)榭傮wX的分布中有兩個(gè)未知參數(shù)，所以應(yīng)考慮一、二階原點(diǎn)矩，我們有 由矩估計(jì)值方法得 所以得到矩估計(jì)量 而矩估計(jì)值是,例2 設(shè)總

4、體 ,其中 及 都是未知參數(shù)，如 果取得樣本觀測(cè)值為 求 及 的矩估計(jì)值。,（1）基本思想 甲乙兩人比較射擊技術(shù)，分別射擊目標(biāo)一次，甲中而乙未中，可 以認(rèn)為：甲射擊技術(shù)優(yōu)于乙射擊技術(shù)。 事件A發(fā)生的概率為0.1或0.9，觀察一次，事件A發(fā)生了，可以認(rèn) 為：事件A發(fā)生的概率為0.9。 實(shí)際問(wèn)題(醫(yī)生看病、公安人員破案、技術(shù)人員進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)等)盡管千差萬(wàn)別,但他們具有一個(gè)共同的規(guī)律,即在獲得了觀察資料之后,給參數(shù)選取一個(gè)數(shù)值,使得前面的觀察結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大.,二、 最大似然估計(jì)法,（2） 似然函數(shù) 設(shè)總體X為連續(xù)型,Xf(x;1,2,m), i為待 估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為

5、來(lái)自該總體的s.r.s, 則（X1,X2,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為 如果,設(shè)總體X為離散型,P(X=x)=P(x;1,m),i為待估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來(lái)自該總體的s.r.s,則 P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m) （X1,X2,Xn）的似然函數(shù)為,如 XP(),即,樣本觀察值出現(xiàn)可能性的大小跟似然函數(shù)在該樣本值處的函數(shù)值有關(guān), L越大, 樣本觀察值越可能出現(xiàn).,若似然函數(shù) 在 取到最大值,則稱 分別為 的 最大似然估計(jì).,（3）方法與步驟,（2）寫出對(duì)數(shù)似然函數(shù)(對(duì)似然函數(shù)求導(dǎo)),（3）寫出似然方程,（4）求解似然方程并寫出估計(jì)量,(只有一個(gè)待

6、估參數(shù)時(shí)求 ),例 3 求參數(shù)為p的0-1分布的最大似然估計(jì).,P(X=0)=1-p P(X=1)=p,P(X=x)=px(1-p)1-x ( x=0,1),解得,最大似然估計(jì)為,例4. XN(,2),求參數(shù),2的最大似然估計(jì).,解:,例5. 設(shè)X服從0,區(qū)間上的均勻分布,參數(shù) 0,求的最大似然估計(jì).,解:由題意得:,無(wú)解.,考慮L的取值,要使L取值最大,應(yīng)最小,取,此時(shí),L取值最大,所以,所求最大似然估計(jì)為,應(yīng)用最大似然估計(jì)基本思想: L越大,樣本觀察值越可能出現(xiàn).,6.2 衡量點(diǎn)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn),設(shè) 為的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),若 則稱 為的一個(gè)無(wú)偏估計(jì).,容易明白,對(duì)同一個(gè)未知參數(shù),采用不同的方法找

7、到的點(diǎn)估計(jì)可能不同,那么,自然要問(wèn):究竟是用哪一個(gè)更“好”些呢?這里介紹三個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).,標(biāo)準(zhǔn)一:,注意:無(wú)偏估計(jì)不是唯一存在.,設(shè)總體X的均值和方差分別為： 則 （1）樣本均值 是總體均值 的無(wú)偏估計(jì)量； （2）樣本方差 是總體方差 的無(wú)偏估計(jì)量。,兩個(gè)重要結(jié)論,設(shè) 和 是 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì),若 ，則稱 比 更有效,設(shè)統(tǒng)計(jì)量 是未知參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)量，樣本 容量為 n ，若對(duì)任意 則稱 為 的一致估計(jì).,兩個(gè)重要結(jié)論 （1）設(shè)總體X的均值 ，方差 則樣本均值 是總體均值 的一致估計(jì)量。 （2）樣本方差 是總體方差 的一致估計(jì)量。,點(diǎn)估計(jì)有使用方便、直觀等優(yōu)點(diǎn),但它并沒(méi)有提供關(guān)于估計(jì)精度的任何信息,

8、為此提出了未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)法.,如:對(duì)明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計(jì)為:,若設(shè)X表示明年畝產(chǎn)量,則估計(jì)結(jié)果為,P(800X1000)=80%,明年小麥畝產(chǎn)量八成為800-1000斤.,6.3 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),區(qū)間估計(jì),1. 區(qū)間估計(jì)的定義,設(shè)總體分布中含有未知參數(shù) ,根據(jù)來(lái)自該總體的s.r.s , 如果能夠找到兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ,使得隨機(jī)區(qū)間 包含 達(dá)到一定的把握,那么,便稱該隨機(jī)區(qū)間為未知參 數(shù)的區(qū)間估計(jì).即 當(dāng) 成立時(shí), 稱概率 為置信度或置信水平; 稱區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間; 分別稱為置信下限和置信上限.,注意:點(diǎn)估計(jì)給出的是未知參數(shù)的一個(gè)近似值;區(qū)間估計(jì)給出的是未知參數(shù)的一個(gè)近

9、似范圍,并且知道這個(gè)范圍包含未知參數(shù)值的可靠程度.,說(shuō)法1: 以概率 包含 ; 說(shuō)法2: 以概率 落入 ; 說(shuō)法3: 不包含 的概率為 ; 說(shuō)法4: 以 的概率落在 之外;,例 2 . 設(shè)總體XN(,2),其中 2已知, X1,X2,Xn為X 的 一個(gè)樣本,求一個(gè)區(qū)間,使之以1-的 概率 包含的真值.,解:(1)選擇包含的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造Z的 一個(gè)1-區(qū)間:,不妨設(shè),即,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,所求1-置信區(qū)間為,P(|Z|)=1-,/2,/2,1-,=z/2,-,P(|Z|)=1-,置信區(qū)間不是唯一的.對(duì)于同一個(gè)置信度,可以有不同的置信區(qū)間.置信度相同時(shí),當(dāng)然置信區(qū)間越短越

10、好.一般來(lái)說(shuō),置信區(qū)間取成對(duì)稱區(qū)間.,注意:,2. 求置信區(qū)間的方法與步驟:,第一步 構(gòu)造一個(gè)含未知參數(shù)的分布已知的隨機(jī)變量(樣本的函數(shù))Z,Z中除待估參數(shù)外不含其它任何未知參數(shù),一般是從未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)著手,再進(jìn)行加工來(lái)構(gòu)造;,第二步 對(duì)給定的置信度 ,根據(jù)Z的分布定出滿足 的a,b(叫分位數(shù)或臨界點(diǎn));,第三步 利用不等式變形,求出未知參數(shù)的 置信區(qū)間.,3.單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì):,(1)選擇包含的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造Z的 一個(gè)1-區(qū)間:,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,1）2已知,求的置信度為1-置信區(qū)間：,例 3.

11、 設(shè)總體XN(,0.92),X1,X2,X 9為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨 機(jī)樣本，樣本均值為5，求的置信度為95%的置信區(qū)間。,解:由題意得:,這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計(jì)，結(jié)果為,其中,n=9,z0.025=1.96,代入得,4.412,5.588,所求置信區(qū)間為,(4.412，5.588),設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,2）2未知,求的置信度為1-置信區(qū)間：,(1)選擇包含的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造T的 一個(gè)1-區(qū)間:,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1-,設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,3）求2置信度為1-的置信區(qū)間：,總體均值 已

12、知， 由定理3知，樣本函數(shù) 選取 ，使得 所以,即：,的置信水平為 的置信區(qū)間為：,(a)選擇包含2的分布已知函數(shù):,(c)變形得到2的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(b)構(gòu)造 的 一個(gè)1-區(qū)間:,總體均值 未知，則 的置信區(qū)間,6.4 兩個(gè)正態(tài)總體均值差 與方差比的區(qū)間估計(jì),1.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì):,設(shè)原總體XN(1,12),改變后的總體Y N(2,22),X, Y相互獨(dú)立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為,1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含1- 2的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造Z的 一個(gè)1-區(qū)間:,

13、(3)變形得到1- 2的1-置信區(qū)間:,2) 12=22=2, 2未知,1- 2的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含1- 2的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造T的 一個(gè)1-區(qū)間:,(3)變形得到1- 2的1-置信區(qū)間:,2. 兩個(gè)正態(tài)總體方差比 12/22的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含12/22 的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造F的 一個(gè)1-區(qū)間:,(3)變形得到12/22 的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,(1),(2),(1)選擇包含12/22 的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造F的 一個(gè)1-區(qū)間:,(3)變形得到12/22 的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,實(shí)際操作起來(lái),依據(jù)樣本,按照第三步求出的 置信區(qū)間,查出分位數(shù),算得上下限,最后寫出數(shù)值區(qū)間,單正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),雙