線性代數(shù)4-7章.ppt

1、第四章 向量空間 1向量空間及其基、維數(shù)、坐標(biāo),定義1 設(shè)V為n維向量的非空集合，若V 對向量的加法、數(shù)乘兩種線性運(yùn)算封閉 （即運(yùn)算的結(jié)果仍為V中向量）， 則稱V為向量空間.,1.n維實(shí)向量全體的集合：,例1.考察下列向量的集合是否為向量空間.,是,Rn=,第四章 向量空間 1向量空間及其基、維數(shù)、坐標(biāo)(續(xù)1),3.V2=,例1.考察下列向量的集合是否為向量空間.,4.n元齊次線性方程AX=0解向量全體的集合S.,2.V1=,是,不是,是,第四章 向量空間 1向量空間及其基、維數(shù)、坐標(biāo)(續(xù)2),定義2 設(shè)V1,V2是兩個(gè)向量空間,且V1 V2, 則稱V1為V2子空間.,例2 設(shè)L=L(1, 2

2、,., s)= k1 1+k2 2+.+ks s|kiR, iRn,則L為向量空間，且,L Rn,即L為向量空間Rn的子空間，稱其為 由向量1, 2,., s生成的子空間.,第四章 向量空間 1向量空間及其基、維數(shù)、坐標(biāo)(續(xù)3),定義3 設(shè)向量空間V中一組向量 A0: 1, 2,., r 滿足：,稱k1,k2,.,kr為向量在A0這組基下的坐標(biāo),1) 1, 2,., r線性無關(guān)；, =k11 +k22+.+krr,2) V中任意向量均可由向量1, 2,., r線性表示:,則稱1, 2,., r為V的一組基，,稱V為r維向量空間 (V的維數(shù)為r),記作:dimV=r.,第四章 向量空間 1向量空

3、間及其基、維數(shù)、坐標(biāo)(續(xù)4),1.n維實(shí)向量全體的集合Rn,2.V1=,dimRn=n,(任意n個(gè)線性無關(guān)的n維實(shí)向量均為Rn的一組基),為Rn的一組基,2, 3, n為V1的一組基.,dimV1=n-1,第四章 向量空間 1向量空間及其基、維數(shù)、坐標(biāo)(續(xù)5),3.n元齊次線性方程AX=0的解空間S.,4. L=L(1, 2,., s)= k1 1+k2 2+.+ks s |kiR, iRn,方程的基礎(chǔ)解系為S的一組基. dimS=n-R(A).,1, 2,., s的最大無關(guān)組為L的一組基. dimL=R1 2 . s,第四章 向量空間 1向量空間及其基、維數(shù)、坐標(biāo)(續(xù)6),例3. R2中,分

4、別求向量 =(2,3)T在下列兩組基下 的坐標(biāo).,解： =21+32 在基(I)下的坐標(biāo)為2,3;,又 =31- 2 在基(II)下的坐標(biāo)為3,-1.,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基,向量空間是幾何空間的抽象.基是坐標(biāo)系的抽象.,性質(zhì)：,定義：n維向量,幾何空間的直角坐標(biāo)系、兩個(gè)向量的夾角、數(shù)量積、垂直、向量的長度等概念，均可推廣到向量空間中來.,的內(nèi)積,（等號當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)成立）,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)1),性質(zhì)：,定義向量 的長度：,| |=1時(shí)，稱為單位向量.,稱,為的單位化向量（標(biāo)準(zhǔn)化向量）.,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(

5、續(xù)2),例1 設(shè)=k ,求 的單位化向量0.,稱,為的單位化向量（標(biāo)準(zhǔn)化向量）.,解：,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)3),即對任意實(shí)數(shù)t,定理1,證明：,1)0時(shí)，左式為t的二次函數(shù)f(t)，f(t)=0至多只有一個(gè)實(shí)根. 其判別式 =4 (, )2-4 (, ) (, ) 0,2) =0時(shí)，等號成立.證畢.,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)4),(, )=0時(shí)，稱與 正交.,零向量與任何向量正交.,當(dāng)， 均非零向量時(shí)，定義與 的夾角：,定理1,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)5),定理2 設(shè)1，2，s為兩兩正交的非零向量. 則 1，2

6、，s線性無關(guān),證明：設(shè)k11+k22+kss=0. 兩邊與 i 作內(nèi)積,得：,ki=0, i=1,2,.,s., 1， 2，s線性無關(guān).,ki(i，i)=0,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)6),定義:設(shè)1，2，s是向量空間V的一組基,且兩兩正交,則稱 1，2，s為V的一組正交基.,若又有|i|=1(i=1,2,s),則稱 1，2，s為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)7),Schmidt正交化方法,設(shè)向量組A: 1，2，r線性無關(guān), 求與A等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,1.正交化：,則1,2, r兩兩正交.,.,取,第四章 向量空間 2 Rn

7、中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)8),Schmidt正交化方法,設(shè)向量組A: 1，2，r線性無關(guān), 求與A等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,2.標(biāo)準(zhǔn)化：,(i=1,2,.,r),e1,e2,er即為所求標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,令,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)9),定義:若n階實(shí)矩陣A滿足：ATA=E，,則稱A為正交矩陣.,ATA=,正交矩陣,證：設(shè)A=,(1) |A|2=1；,(3) A的行（列）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,所以A的列向量兩兩正交且長度為1.,=E,性質(zhì)：設(shè)A為正交矩陣，則,(2)A-1=AT亦為正交矩陣;,反之亦然.,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)10),則A

8、TA=E, A為正交矩陣.,(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=,證：A*=|A|A-1,例1 設(shè) A為正交矩陣，則A*亦為正交矩陣.,=E,如A=,|A|2AA-1,A*亦為正交矩陣.,第四章 向量空間 2 Rn中的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基(續(xù)11),例2 .設(shè)為n維列向量，且T =1, 求實(shí)數(shù)k,使 H=E- k T為正交矩陣.,解:E=HTH,-2k+k2=0,k=2或k=0.,第四章 向量空間 3 Rn上的線性變換,則稱T為Rn上的線性變換.稱Y為X在T下的像.,例 設(shè)A=aijnn,對任意XRn,Y=T(X)=AX,則T為Rn上的一個(gè)線性變換（從X到Y(jié)的線性變換）.,定義：若

9、對Rn中的任意向量，按照某一確定規(guī)則T， Rn中總有唯一確定的向量與之對應(yīng).記為:Y=T(X). 且滿足：,A為可逆矩陣時(shí)，稱Y=AX為可逆線性變換；,1）T(X1+X2)=T(X1)+T(X2);,A為正交矩陣,稱Y=AX為正交變換.,設(shè)Y=AX為正交變換，則對任意, Rn,即正交變換保持內(nèi)積不變，從而保持長度、夾角不變.,2）T(kX)=kT(X). (kR;X1,X2Rn),第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量,定義1.設(shè)A為n階方陣，為數(shù), X為n維非零列向量.若滿足：,則稱 為A的特征值，X為A的屬于 的特征向量 .,如何求A的特征值和特征向量？,若齊次方程（2）有非零解X

10、， 則系數(shù)行列式| E-A |,（1）,（1）,（2）,=0,叫做A的特征多項(xiàng)式.,求特征值、特征向量方法：,1.求| E-A|=0的根：,2.求,的非零解X=,即為A的特征值,即為A的特征向量.,例,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(續(xù)1),定理1：設(shè)1, 2, n為n階方陣A的特征值，則,定義2. 若對n階方陣A、B, 存在可逆陣P,使得 P-1AP=B. 則稱A與B相似.記作AB.,1） 反身性：AA；,2）對稱性：若 AB,則BA；,3）傳遞性：若 AB, BC,則AC.,性質(zhì)：,第五章 特征值、特征向量 1.特征值、特征向量(續(xù)2),即A有特征值: 1, 2, n,定理

11、2：相似矩陣特征多項(xiàng)式相同.,證：設(shè)P-1AP=B.則,如,當(dāng),則,第五章 特征值、特征向量 2.矩陣可對角化的條件,定理3.n階方陣A與對角陣相似的充要條件為A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,P-1AP=,p1,p2,.,pn線性無關(guān).,則 AP=P ,證：必要性.設(shè)存在可逆陣P,使,設(shè)P=p1 p2 .pn ,|P|0,由式得：Api= ipi,i=1,2,.,n,AP=Ap1 p2.pn=Ap1 Ap2.Apn,p1,p2,.,pn為A的n個(gè) 線性無關(guān)特征向量.,充分性. 設(shè)A有n個(gè)線 性無關(guān)的特征向量： p1,p2,.,pn，則有,i=1,2,.,n,令P=p1 p2 .pn,則AP=Ap

12、1 Ap2.Apn,即A與對角陣相似.,P=1p1 2p2 . npn,Api= ipi,=1p1 2p2 . npn,=P, P-1AP=,第五章 特征值、特征向量 2.矩陣可對角化的條件(續(xù)1),定理4.n階方陣A屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).,(反之未必),也線性無關(guān).,推論：若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值，則A與對角陣相似.,則A的以下t1+t2+.+tm個(gè)特征向量：,屬于i有ti個(gè)線性無關(guān)的特征向量：,i=1,2,.,m.,定理5.設(shè)1, 2, m為n階方陣A的互不相同的特征值.,推論：設(shè)1, 2, m為n階方陣A的互不相同的特征值.,屬于i恰有si個(gè)線性無關(guān)的特征向量，,證:n

13、階方陣A有s1+s2+.+sm=n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.故得證.,則A與對角陣相似.,si重特征值,第五章 特征值、特征向量 3.實(shí)對稱矩陣的對角化,設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣：A=aijnn,aijR，AT=A.,則A的特征值、特征向量有以下性質(zhì)：,(3)設(shè)為A的k重特征值，則R(E-A)=n-k,從而,(1)A的特征值全為實(shí)數(shù).,齊次方程(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系有k個(gè)線性無關(guān)的解向量，,(2)A的屬于不同特征值的特征向量正交.,將其正交標(biāo)準(zhǔn)化,可得屬于的k個(gè)兩兩正交的單位特征向量.,第五章 特征值、特征向量 3.實(shí)對稱矩陣的對角化(續(xù)1),證:設(shè)1, 2, m為n階實(shí)對稱矩陣A的互不相同特征值

14、.,定理6.設(shè)A為實(shí)對稱陣,則存在正交陣Q,使得Q-1AQ為對角陣.,它們?nèi)珵閷?shí)數(shù).,s1+s2+.+sm=n，,A有n個(gè)兩兩正交的單位特征向量:q1,q2,.,qn，,Q=q1 q2.qn為正交陣,且Q-1AQ=,屬于i有si個(gè)兩兩正交的單位特征向量,i=1,2,m,第六章 二次型 1二次型的矩陣 合同矩陣,f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+ 2a12x1x2+ +2a1nx1xn+2an-1,nxn-1xn,令,令 aij=aji，記 2aij=aij+aji ,則,則 f=XTAX,實(shí)對稱陣A叫做二次型f的矩陣，R(A)叫做二次型f的秩。,第六章 二次型1

15、二次型的矩陣 合同矩陣（續(xù)1）,形如 f=d1y12+d2y22+dryr2 (rn) 的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形。,若對n階方陣A和B，存在可逆陣P,使 PTAP=B，則稱A與B合同。,定理1 合同矩陣秩相等。,第六章 二次型 2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,令X=QY，則 f=XTAX=YTQTAQY=YT Y = 1y12+ 2y22+ nyn2 為標(biāo)準(zhǔn)形。(i為A的特征值),證明：A為實(shí)對稱陣，存在正交陣Q,使 Q-1AQ= ，即QTAQ= ，,定理2 對n元二次型 f=XTAX，存在正交變換X=QY, 使f化為標(biāo)準(zhǔn)形。,推論：對實(shí)二次型 f=XTAX，存在可逆線性變換X=PY, 使f化為標(biāo)準(zhǔn)形:d1y

16、12+d2y22+ dnyn2,(di未必是A的特征值),第六章 二次型 3 慣性定理,f = k1y12+ kpyp2- kp+1yp+12- kryr2 （ki0）,及 f = d1z12+ dqzq2- dq+1zq+12- drzr2 (di0),則p=q.,定理3 設(shè)n元實(shí)二次型 f=XTAX的秩R(A)=r,，若可逆線性 變換X=BY及X=CZ將f分別化為標(biāo)準(zhǔn)形：,p叫作正慣性指數(shù)；r-p叫作負(fù)慣性指數(shù)； p-(r-p)=2p-r叫作符號差.,第六章 二次型 3 慣性定理 (續(xù)1),f = k1y12+ kpyp2- kp+1yp+12- kryr2 （ki0）,則 f = u12

17、+ up2- up+12- ur2,f的標(biāo)準(zhǔn)形中，作可逆線性變換：,稱其為f的規(guī)范形，是唯一的。,第六章 二次型3 慣性定理（續(xù)1）,定理4 設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，則下列命題等價(jià)： f=XTAX正定； f=XTAX 的正慣性指數(shù)為n ； 存在可逆陣P, 使A=PTP; A的n個(gè)特征值全大于0。,定義 設(shè)f=XTAX 為n元實(shí)二次型 ，若對任意n維非零列向量X，均有XTAX0,則稱f=XTAX為正定二次型，A為正定矩陣。,第六章 二次型 3 慣性定理（續(xù)2）,定理5 實(shí)對稱陣A正定的充要條件為A的各階 順序主子式全大于0，即,a110, |A|0;,例1 判別f=3x12+6x1x3+x22-4

18、x2x3+8x32的正定性。,解：,30,|A|0;,A正定,f=XTAX正定.,第七章 線性空間與線性變換 1 線性空間定義與性質(zhì),定義 設(shè)V為非空集合， P為一數(shù)域（對四則運(yùn)算封閉的數(shù)集合）。 V中有兩種運(yùn)算 “加法”：任意， V,唯一確定 = + V； “數(shù)乘”：任意V及任意k P,唯一確定= kV. 且滿足以下8條運(yùn)算律： += +； ( + )+ = +( +); V中存在零元素0，使+0= 0+=； 任意V，存在其負(fù)元素-V，使 +(- )= 0； 1 = ; 任意k , lP,(kl) =k(l)=l(k); k(+)= k+k ； (k+l)=k+l. 則稱V為數(shù)域P上的線性空

19、間.,第七章 線性空間 與線性變換1 線性空間定義與性質(zhì)(續(xù)1),例1 Rn對向量的加法和數(shù)乘構(gòu)成R上的線性空間。,向量空間必為線性空間。,線性空間為向量空間的抽象， 線性空間中的元素也稱為“向量”。,例2 Pxn=f(x)=a0+a1x+an-1xn-1|ai P (次數(shù)小于n的多項(xiàng)式全體) 對多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘構(gòu)成P上的線性空間。,n次多項(xiàng)式全體不是線性空間,例3 Pmn=A=aijmn|aij P 對矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成P上的線性空間,第七章 線性空間 與線性變換1 線性空間定義與性質(zhì)(續(xù)2),例4 設(shè)R+=全體正實(shí)數(shù)。對任意a,b R+，定義 1.加法：a b=ab; 2.數(shù)乘:ka=

20、ak. 問： R+是否是R上的線性空間？,第七章 線性空間 與線性變換1 線性空間定義與性質(zhì)(續(xù)3),線性空間線性空間的性質(zhì)：,1、零元素唯一；,2、任意元素的負(fù)元素唯一；,3、0=0；,4、若k=0,則 k=0或=0.,第七章 線性空間 與線性變換1 線性空間定義與性質(zhì)(續(xù)4),定義：設(shè)W為線性空間V的非空子集，若W對V的加法、 數(shù)乘也構(gòu)成線性空間，則稱W為V的（線性）子空間。,定理1 線性空間V的非空子集W為V的子空間的充要條件為W對V的加法、數(shù)乘封閉.,如0、V均為V的子空間，叫作V的平凡子空間.又如,為Pnn的子空間.,第七章 線性空間 與線性變換2 基、維數(shù)、坐標(biāo),向量空間的理論可平

21、行移到線性空間中來.,如線性組合、線性表示、線性相關(guān)、最大無關(guān)組、秩等.又,1.1, 2,m線性相關(guān)的充要條件為： 存在不全為零的數(shù)k1,k2,km,使 k11+k2 2+kmm=0；,2.向量組A可由向量組B線性表示，則 rArB；,線性無關(guān)的充要條件為：k11+k2 2+kmm=0 時(shí) ki必全為零；,3.設(shè)1, 2,m線性無關(guān)， 而1, 2,m，b線性相 關(guān)，則b可由1, 2,., m唯一地線性表示.,第七章 線性空間 與線性變換2 基、維數(shù)、坐標(biāo)（續(xù)1）,定義 設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間， V中向量 1, 2,., r 滿足：,稱k1,k2,.,kr為在基1, 2,., r下的坐標(biāo).,1

22、) 1, 2 , . ,r線性無關(guān)；, =k1 1 +k2 2+.+kr r,2) V中任意向量均可由1, 2,., r線性表示：,則稱1, 2,., r為V的一組基，,稱V為r維線性空間 （dimV=r）.,第七章 線性空間 與線性變換 2 基、維數(shù)、坐標(biāo)（續(xù)2）,例1 求Pxn（次數(shù)小于n的多項(xiàng)式全體）的一組基與維數(shù).,解：1,x,x2,xn-1線性無關(guān)，,(當(dāng) k0+k1x +k2x2+ +kn-1 xn-1 = 0時(shí)，ki必全為0）,又對任意f(x)=a0+a1x +a2x2+ +an-1 xn-1 Pxn,顯然f(x)可由1,x,x2,xn-1線性表示，,1,x,x2,xn-1為Px

23、n的一組基，dim Pxn=n.,第七章 線性空間 與線性變換 2 基、維數(shù)、坐標(biāo)（續(xù)3）,解：設(shè)Eij Pmn，且其第i行第j列元素aij=1，其余元素均為0，則Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)線性無關(guān)，,例2 求Pmn=A=aijmn|aij P的一組基與維數(shù).,又對任意A=aijmn Pmn,A可由Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)線性表示:, Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)為Pmn的一組基，,dim Pmn=mn,第七章 線性空間 與線性變換 2 基、維數(shù)、坐標(biāo)（續(xù)4）,設(shè)1, 2 , . ,r為線性空間 V的一組基,則 V =L(1, 2,., r) = k1

24、1+k22+ . +krr |kiP,第七章 線性空間 與線性變換 2 基、維數(shù)、坐標(biāo)（續(xù)5）,例3 Px3中，求f(x)=2x2-x+1在 基:1,x,x2 與基: 1,x+1,(x+1)2下的坐標(biāo).,解： f(x)在基下的坐標(biāo)為1，-1，2；,設(shè)f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2,則 f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2,f(x)在基下的坐標(biāo)為:4,-5,2.,第七章 線性空間 與線性變換3 基變換與坐標(biāo)變換,定義：設(shè)：1，2，n及：1,2,n為線性空間Vn的兩組基，且有基變換公式：,記作：,稱A=aijnn為從基到基的過渡陣.,第七章 線性空間 與線性變換3 基變換與坐標(biāo)

25、變換（續(xù)1）,定理2 設(shè)A為從基：1，2，n到基：1,2,n的過渡陣， 則（1） A可逆；（2）若向量在兩組基下的坐標(biāo)分別為,及,X=AY (Y=A-1X),則,第七章 線性空間 與線性變換4 子空間的維數(shù)與基 維數(shù)公式,定理3 設(shè)： 1，2，t 與 ： 1,2,s 是線性空間V中的兩個(gè)向量組，則 （1） L(1，2，t)=L(1,2,s) 的充要條件為： 組與組等價(jià)； （2）dim L(1，2，t)=r.,第七章 線性空間 與線性變換4 子空間的維數(shù)與基 維數(shù)公式（續(xù)1）,定義 設(shè)W1，W2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則V的子集 W1W2= | W1且 W2， W1+W2= 1+ 2| 1 W

26、1， 2 W2 分別稱為這兩個(gè)子空間的交與和.,定理4 線性空間V的兩個(gè)子空間W1，W2的交與和仍是V的子空間.,第七章 線性空間 與線性變換4 子空間的維數(shù)與基 維數(shù)公式（續(xù)2）,dimW1+dimW2 = dim(W1+ W2)+dim(W1W2),定理5 (維數(shù)公式)設(shè)W1，W2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則,第七章 線性空間 與線性變換5 線性變換及其矩陣表示,則稱T為V上的線性變換.,定義：設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,T是從V到V的一個(gè)變換，且滿足：,1）對任意，V, 有 T( + )=T()+T();,2）對任意V及任意k P,有 T(k )=kT().,設(shè)= T()，稱 為 的像，

27、為的原像.,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)1),1. T()= , T(-)= - T();,線性變換的簡單性質(zhì)：,2. T(k11+k22 +kss) =k1T(1)+k2T(2) +ksT(s),3. 若1,2 , s線性相關(guān)，則 T(1),T(2) ,T(s)線性相關(guān).,反之未必.,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)2),幾種特殊的線性變換：,1.單位變換（恒等變換）I:,任意V,I()= .,2.零變換O:,任意V,O()= .,3.數(shù)乘變換K:,任意V,K()= k.,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)3),例1 Pxn

28、中，f(x),定義(f(x)=f/(x),則為Pxn上的線性變換.,Rn中的線性變換Y=AX與n階方陣一一對應(yīng).,第七章線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)4),定義：設(shè) ：1，2，n為線性空間V的一組基，T為V上的線性變換，且,記作：,稱A=aijnn為T在基下的矩陣.,第七章線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)5),任意 V ，設(shè) =k11+k22+knn,所以T由T(1)，T(2)，T(n)確定，即由A確定.,取定V的一組基，則T與 A一一對應(yīng).,則 T() =k1T(1)+k2T(2)+knT(n),第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)6),幾種特

29、殊的線性變換的矩陣：,1.單位變換I (在任何基下)的矩陣為:,2.零變換O (在任何基下)的矩陣為:,3.數(shù)乘變換K (在任何基下)的矩陣為:,E(單位矩陣).,O(零矩陣):,kE.,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)7),例1 Pxn中，f(x),定義(f(x)=f/(x),取基1,x,x2,xn-1,求在此基下的矩陣A.,解: (1)=0, (x)=1, (x2)=2x, (xn-1)=(n-1)xn-2,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)8),例2 R3中，取兩組基，,： 1=(2,2,1)T, 2=(1,1,-1)T , 3=(-1,0,1)

30、T,是R3上的線性變換：,:1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T ,3=(0,0, 1)T,分別求在基, 下的矩陣A和B.,第七章 線性空間 與線性變換 5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)9),定理6 設(shè)T為線性空間V上的線性變換， 從基：1，2，n 到基：1,2,n的過渡陣為P ， T在兩組基下的矩陣分別為A和B，則,證：T(1，2，n)=(1，2，n)A,T(1,2,n)= (1,2,n)B,右邊=(1，2，n)PB,左邊=T(1，2，n)P) =(T(1，2，n)P =(1，2，n)AP,AP=PB,即,B=P-1AP,B=P-1AP,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示

31、(續(xù)10),:1=(2,2,1)T, 2=(1,1,-1)T , 3=(-1,0,1)T,例2 中, :1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T ,3=(0,0, 1)T,求在基, 下的矩陣A和B.,解:設(shè) (12 3)=(123)P,得到的過渡陣,又,第七章 線性空間與線性變換5 線性變換及其矩陣表示(續(xù)11),例3 Px3中, g1=1-x-x2, g2=3x-2x2 ,g3=1-2x2為基() ，,求(f(x)=f/(x)在此基的矩陣.,解:在基 :1,x,x2下的矩陣,到的過渡陣P=,即(g1,g2,g3)=(1,x,x2)P,在基下的矩陣,1.設(shè),2.設(shè)4維向量=(1,2,0,-

32、3)T, =(2,-1,5,0)T,則與的 內(nèi)積(,)= , 夾角= .,. 4.設(shè)矩陣,5. 1,2,3,4均為3維向量，則向量組1,2,3,4必線性 關(guān).,線性代數(shù)模擬試卷一,一、（15分）填空題：,則|A|= , A*= ,A-1= .,3.齊次線性方程組,有非零解，則a= .,初等矩陣P滿足：AP=B,則P= .,1.設(shè)3階行列式,(A),(B),(C),.,二、（15分）選擇題：,，則（ ）.,2.設(shè)矩陣A的秩R(A)=r,則（ ）. (A)A中只有一個(gè)r階子式不為零，其余的r階子式全為零； (B) A中存在一個(gè)r階子式不為零，其余的r+1階子式（若有）全為零； (C) A中所有的r

33、階子式均不為零，而高階子式全為零.,4.設(shè) 向量組1,2,，s線性相關(guān)，則（ ）. 1一定可由2,3,，s線性表示； 1一定不可由2,3,，s線性表示； (C) 其中至少有一個(gè)向量可由其余s-1個(gè)向量線性表示.,3. 設(shè)線性方程組,有唯一解，則（ ）.,(A)a=1;(B)a=-2;(C)a1且a-2.,5.n階方陣A與對角陣相似，則（ ）. (A)A有n個(gè)不同的特征值；(B) A有n個(gè)相同的特征值；(C) A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,四、（16分）設(shè)向量組1=(1,2,3,4)T, 2=(2,3,4,5)T, 3=(3,4,5,6)T, 4=(4,5,6,7)T,求該向量組的秩及一個(gè)最大無

34、關(guān)組，并將其余向量表示成 最大無關(guān)組的線性組合.,六、（18分）設(shè)二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3. 1.寫出f的矩陣； 2.求A的特征值與特征向量； 3.用正交變換X=QY將f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交矩陣Q.,三、（14分）設(shè)n維向量T=(1/2,0,0,1/2),又A=E-T, B=E+2T,其中E為n階單位矩陣，求AB,A-1,B-1,并寫出A-1與B-1的具體形式.,五、（14分）求線性方程組,的通解.,七、（8分）證明：若為A正交矩陣，則A的伴隨矩陣A*也為正交矩陣.,1.在4階行列式detaij中，含有因子a11a32的項(xiàng)有： .,矩陣乘積AAT= ，ATA= .,

35、4.設(shè)B,C為可逆矩陣，分塊矩陣,5. 用矩陣形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x32-2x2x3,f= .,模擬試卷二,2.設(shè)矩陣,一、（15分）填空題：,3. 矩陣,，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，則, 則A-1= .,的秩= .,1.設(shè)=(1,2,3)T, =(1,1/2,1/3)T,A=T,則A10=（ ）.,;(C),.2.設(shè)線性方程組,(A)a=b0;(B) a0且ab;(C)a=b=0.,二、（15分）選擇題：,（A）310; (B),有無窮多組解，則（ ）.,3. 向量組1,2,，s線性無關(guān)的充要條件為（ ）. (A) 1不能由2,3,，s線性表示；(B)1,2,，s的秩小于s； (C) 1,2,，s的秩等于s.,為正交矩陣，則（ ）.,b=,(B) a=b=,5.設(shè)3階方陣A與對角陣,(A)A-1有特征值1，2，-3；(B) A+E有特征值2,3,-2；(C) A2有特征向量1,2,-3,4.設(shè),(A)a=