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1、,復變函數(shù)論多媒體教學課件,Department of Mathematics,第四節(jié)、解析函數(shù)零點的孤立性 及唯一性定理,一 解析函數(shù)的零點的孤立性,1定義4.7,3定理4.17,證明:,“必要性”,由假設,只要令,則,“充分性”,故由Taylor定理,從而,例1,解,例2,解,故,由,得,因為,注:,一個實函數(shù)的零點不一定是孤立的.,如,但在復變函數(shù)中,我們有,4定理4.18,證明:,則,5推論4.19,證明:,注2,如,二 解析函數(shù)的唯一性,1 定理4.20,證明:,由推論4.19,考慮一般情形:,由推論4.19有,這樣連續(xù)下去,可依次證明在,2 推論4.21,例3,證明:,由惟一性定理

2、,例4,解,則,由惟一性定理知:,故不存在.,(2) 由于函數(shù)值點列有,顯然它在原點解析,故合條件的函數(shù)存在且為,3 推論4.22,證明,故由惟一性定理，,例5,解,故由惟一性定理,注1:,數(shù)分中常見的一些初等函數(shù)的冪級數(shù) 展開式都可推廣到復函數(shù)上來.,如,注2,定理4.20,推論4.21,4.22統(tǒng)稱為惟一性定理,它揭示了解析函數(shù)一個非常深刻的性質,函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的局部值確定了函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)整體值,即局部與整體之間有著十分密切的關系.,注3,證明:,“反證”,由平均值定理,只要圓,三 最大模原理,1定理4.23,下面證明:,故,矛盾.,于是,因此,我們證明了,注,解析函數(shù)在邊界上的最大?？梢韵拗破湓趨^(qū)域內(nèi)的最大模.,2推論4.24,注1:有界閉域上解析函數(shù)的最大模只能在邊界取得.,注2:Cauchy不等式中,例7,證明:,由最大模原理,證明:,則由題設,故,此時,與最大模原理相矛盾.,3 最小模原理,作業(yè),P180習題(一)8(2);9;12 P180習題(一) 13; 14,本節(jié)結束 謝謝！,Complex Fu

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