第七章—矩陣的特征值問題

1、第七章矩陣特征值計(jì)算,內(nèi)容 7.1 引言 7.2 冪法及反冪法,設(shè) k/m=1，求固有頻率的特征方程,7.1 引言 物理、力學(xué)和工程技術(shù)中很多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值問題。例如，振動(dòng)問題(大型橋梁或建筑物的振動(dòng)、機(jī)械的振動(dòng)、電磁震蕩等)，結(jié)構(gòu)屈曲，物理學(xué)中的某些臨界值的確定。它們都?xì)w結(jié)為下述數(shù)學(xué)問題。,7.2 冪法及反冪法,一、冪法 冪法是一種求實(shí)矩陣A的按模最大的特征值1及其對(duì)應(yīng)的特征向量x1的方法。特別適合于大型稀疏矩陣。,于是主特征值為：2.5365323； 對(duì)應(yīng)特征向量為：(0.7482 0.6497 1) T,二、加速方法,三、反冪法 反冪法可求非奇異實(shí)矩陣的按模最小特征值

2、及特征向量。 也可用來計(jì)算對(duì)應(yīng)于一個(gè)給定近似特征值的特征向量。,% 求對(duì)稱正定矩陣的特征值問題 % A = 3 -2 0;-2 5 -3;0 -3 7; % 對(duì)稱正定矩陣 Epsilon = 0.0001; % 迭代控制誤差 % 求最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量 v = 1;1;1; % 初始迭代向量 Lambda_0 = max(abs(v); % 最大特征值的估計(jì)值 while 1 v = A*v; Lambda_1 = max(abs(v); v = v/Lambda_1; if abs(Lambda_1-Lambda_0) = Epsilon display(最大特征值) display(

3、Lambda_1); display(最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量) display(v); break end Lambda_0 = Lambda_1; end,% 求最小特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量 A = inv(A); % 求矩陣A的逆好的做法是利用平方根法求逆 v = 1;1;1; % 初始迭代向量 Lambda_0 = max(abs(v); % 最大特征值的估計(jì)值 while 1 v = A*v; Lambda_1 = max(abs(v); v = v/Lambda_1; if abs(Lambda_1-Lambda_0) = Epsilon display(最小特征值) Lambda_1 = 1/Lambda_1; % 注意倒數(shù) display(Lambda_1); display(最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量) display(v); break end Lambda_0 = Lambda_1; end,矩 陣 特 征 值 與 特 征 向 量 的 計(jì) 算,重要概念（特征值，特征向量，正交相似變換， 反射變換，平面旋轉(zhuǎn)變換，QR分解）,迭代法,冪法（原理、計(jì)算公式、加速技巧） 反冪法（原理、計(jì)算方法、加