2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 6.2 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 文

1、6.2二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題知識梳理1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關(guān)概念3重要結(jié)論(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實(shí)線；特殊點(diǎn)定域：若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗證(2)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對于AxByC0或AxByC0時，區(qū)域為直線AxByC0的上方；當(dāng)B(AxByC)0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)不等式x2y20表示的平面區(qū)域是一、三象限角平分線和二、四象限角平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域()(3)線性目標(biāo)函數(shù)

2、的最優(yōu)解可能是不唯一的()(4)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P86T3)不等式組表示的平面區(qū)域是()答案B解析x3y60表示直線x3y60及其右下方部分，xy20表示直線xy20左上方部分，故不等式表示的平面區(qū)域為選項B.故選B.(2)(必修A5P93B組T1)若實(shí)數(shù)x，y滿足則不等式組表示區(qū)域的面積為_，z的取值范圍是_答案(，21，)解析如下圖所示，不等式組表示區(qū)域面積為13，z理解為區(qū)域上的點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)Q(1，2)連線所在直線斜率的變化范圍，kAQ1，kOQ2，結(jié)合圖形分析知z的

3、取值范圍為(，21，)3小題熱身(1)(2017河北衡水中學(xué)五調(diào))若不等式組表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是()Aa B0a1C1a D0a1或a答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分)由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動直線l：xya在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)故選D.(2)(2017天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值為()A. B1 C. D3答案D解析畫出可行域，如圖中陰影所示又目標(biāo)函數(shù)zxy，結(jié)合圖象易知yxz過(0,3)點(diǎn)時z取得最大值，即zmax033.故選D.題型1二元一次

4、不等式(組)表示的平面區(qū)域(2016浙江高考)在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影由區(qū)域中的點(diǎn)在直線xy20上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|()A2 B4 C3 D6畫出直線xy20，觀察線間的位置關(guān)系，然后用轉(zhuǎn)化法解之答案C解析由不等式組畫出可行域，如圖中的陰影部分所示因為直線xy20與直線xy0平行，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線xy20上的投影構(gòu)成的線段的長|AB|即為|CD|.易得C(2，2)，D(1,1)，所以|AB|CD|3.故選C.結(jié)論探究若典例條件不變，則平面區(qū)域的面積是_答案6解析由得其交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，交點(diǎn)到直線xy0的距離為d，故面積為36.

5、方法技巧與平面區(qū)域有關(guān)的計算方法1畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并計算端點(diǎn)的坐標(biāo)2根據(jù)平面區(qū)域的形狀特點(diǎn)，選擇合適的公式計算線段的長度、圖形的面積，不規(guī)則的圖形可用分割法求其面積見典例的解法3注意轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用，如把面積最大、最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離等沖關(guān)針對訓(xùn)練(2015重慶高考)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為()A3 B1 C. D3答案B解析如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，則2m2，則m1，由解得即A(1m,1m)由解得即B，所圍成的區(qū)域為ABC，則SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(

6、舍去)或m1.故選B.題型2線性規(guī)劃中的最值問題角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(2017全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15 B9 C1 D9本題可采用平移y2x的方法答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示將目標(biāo)函數(shù)z2xy化為y2xz，作出直線y2x，并平移該直線，知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(6，3)時，z有最小值，且zmin2(6)315.故選A.角度2由目標(biāo)函數(shù)最值求參數(shù)(2013全國卷)已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A. B. C1 D2本典例采用代點(diǎn)法列出方程求解答案B解析由約束條件畫出可行域(如圖所示的ABC及其內(nèi)部)，由得A

7、(1，2a)，當(dāng)直線2xyz0過點(diǎn)A時，z2xy取得最小值，所以1212a，解得a，故選B.角度3非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范圍本典例(1)可化為求x2(y5)2的最小值它的幾何意義是點(diǎn)(x，y)與(0,5)的距離的平方典例(2)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是兩點(diǎn)連線的斜率解作出可行域，如圖陰影部分所示通過聯(lián)立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M(0,5)的距離的平方過點(diǎn)M作AC的垂線，垂足為點(diǎn)N，故|MN|，|MN|22.故z的最小值為.(2)z2表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)Q連線斜

8、率的2倍因為kQA，kQB，所以z的范圍是.方法技巧求線性目標(biāo)函數(shù)最值問題及線性規(guī)劃應(yīng)用題的解題策略1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后代入目標(biāo)函數(shù)以確定目標(biāo)函數(shù)的最值如角度1典例2由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)如角度2典例3求非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的解題策略解決此類問題時需充分把握好目

9、標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見代數(shù)式的幾何意義有：(1)對形如z(xa)2(yb)2型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間距離的平方的最值問題如角度3典例(2)對形如z(ac0)型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)連線的斜率的倍的取值范圍、最值等如角度3典例(3)對形如z|AxByC|型的目標(biāo)，可先變形為z的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線AxByC0的距離的倍的最值沖關(guān)針對訓(xùn)練(2017全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x4y的最小值為_答案1解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示由z3x4y得yxz.平移直線yx，易知經(jīng)過點(diǎn)A

10、時，z有最小值由得A(1,1)zmin341.題型3線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用(2016全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題答案解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，產(chǎn)品B y件，依題意，得設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A，產(chǎn)品B的利

11、潤之和為E元，則E2100x900y.畫出可行域(如圖)，易知最優(yōu)解為則Emax.方法技巧線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一般步驟1能建立線性規(guī)劃模型的實(shí)際問題(1)給定一定量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收益最大；(2)給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最少2解決線性規(guī)劃實(shí)際問題的一般步驟(1)轉(zhuǎn)化：設(shè)元，寫出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題；(2)求解：解決這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答：根據(jù)實(shí)際問題，得到實(shí)際問題的解，據(jù)此作出回答沖關(guān)針對訓(xùn)練(2015陜西高考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原

12、料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元答案D解析設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，則有z3x4y，由題意得，x，y滿足該不等式組表示的可行域是以O(shè)(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點(diǎn)的四邊形及其內(nèi)部(如圖)，根據(jù)線性規(guī)劃的有關(guān)知識，知當(dāng)直線3x4yz0過點(diǎn)B(2,3)時，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元故選D.1.(2017浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍

13、是()A0,6 B0,4 C6，) D4，)答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由題意可知，當(dāng)直線yx過點(diǎn)A(2,1)時，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范圍是4，)故選D.2(2018武昌調(diào)研)設(shè)x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5 B3 C5或3 D5或3答案B解析根據(jù)約束條件畫出可行域如圖1中陰影部分所示：可知可行域為開口向上的V字型在頂點(diǎn)處z有最小值，頂點(diǎn)為，則a7，解得a3或a5.當(dāng)a5時，如圖2.圖1圖2虛線向上移動時z減小，故z，沒有最小值，故只有a3滿足題意故選B.3(2017全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最

14、小值為_答案5解析作出可行域如圖陰影部分所示由z3x2y，得yx.作出直線l0：yx，并平移l0，知當(dāng)直線yx過點(diǎn)A時，z取得最小值由得A(1,1)，zmin3(1)215.4(2018福州五校二聯(lián))已知實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)zxay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則zxay的最大值為_答案解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.當(dāng)a0時，yxz，作直線l0：yx，平移l0，易知當(dāng)直線yxz與4xy80重合時，z取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，此時a，當(dāng)直線過點(diǎn)A時，z取得最大值，且zmax3；當(dāng)a0時，數(shù)形結(jié)合知，目標(biāo)函數(shù)zxay取得最小值的最優(yōu)

15、解不可能有無數(shù)多個綜上所述zmax.基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1(2018唐山模擬)已知點(diǎn)(3，1)和點(diǎn)(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)答案B解析根據(jù)題意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.故選B.2設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x02y02，則m的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析圖中陰影部分表示可行域，要求可行域內(nèi)包含yx1上的點(diǎn)，只需要可行域的邊界點(diǎn)(m，m)在yx1下方，也就是mm1，即m.故選C.3(2017山東

16、日照一模)已知變量x，y滿足則z()2xy的最大值為()A. B2 C2 D4答案D解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖所示，令m2xy，則當(dāng)m取得最大值時，z()2xy取得最大值由圖知直線m2xy經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時，m取得最大值，所以zmax()2124，故選D.4已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件則z|2x3y4|的最大值為()A3 B5 C6 D8答案C解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(2,1)，B(1,4)設(shè)t2x3y，平移直線yx，則直線經(jīng)過點(diǎn)B時，t2x3y取得最小值10，直線經(jīng)過點(diǎn)A時，t2x3y取得最大值1，所以6t45，所以0z6.所以z的最大值為6，故選C.5(2

17、018石家莊質(zhì)檢)若x，y滿足且z3xy的最大值為2，則實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C1 D2答案D解析若z3xy的最大值為2，則此時目標(biāo)函數(shù)為y3x2，直線y3x2與3x2y20和xy1分別交于A(2,4)，B，mxy0經(jīng)過其中一點(diǎn)，所以m2或m，當(dāng)m時，經(jīng)檢驗不符合題意，故m2，選D.6若變量x，y滿足約束條件則z(x1)2y2的最大值為()A4 B. C17 D16答案C解析z(x1)2y2表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)P(1,0)間距離的平方畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知P(1,0)與A(2,4)間的距離最大，因此zmax(21)24217.故選C.7(2017邢臺模擬)當(dāng)

18、x，y滿足不等式組時，2kxy2恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A1,1 B2,0C. D.答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，設(shè)zkxy，由得即B(2,2)，由得即C(2,0)，由得即A(5，1)，要使不等式2kxy2恒成立，則即所以k0，故選D.8(2018南昌十校一模)已知不等式組則z的最大值與最小值的比值為()A2 B C D答案C解析如圖所示，不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分，易知z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(1,0)連線的斜率由可得故A(2,2)，由可得故B(3，1)，數(shù)形結(jié)合知AP的斜率最大，此時z最大，故zmax；BP的斜率最小，zmin.故z的最

19、大值與最小值的比值為，故選C.9(2017江西模擬)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A50,0 B30,20 C20,30 D0,50答案B解析設(shè)種植黃瓜x畝，種植韭菜y畝，因此，原問題轉(zhuǎn)化為在條件下，求z0.554x0.36y1.2x0.9yx0.9y的最大值畫出可行域如圖利用線性規(guī)劃知識可知，當(dāng)x，y取的交點(diǎn)B(30,

20、20)時，z取得最大值故選B.10(2018石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為，若x，y滿足上述約束條件，則z的最小值為()A1 BC. D答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由題意，知r2，解得r2.z1，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時斜率最小設(shè)切線方程為y2k(x3)，即kxy3k20，則有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin1，故選D.二、填空題11(2018銀川質(zhì)檢)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為_答案8解析畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示

21、，將z2xy化為y2xz，z是直線y2xz的縱截距，由得B的坐標(biāo)為(5,2)，則y2xz過點(diǎn)B(5,2)時，z2xy有最大值1028.12(2018廣州模擬)已知x，y滿足約束條件若zxay(a0)的最大值為4，則a_.答案3解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則A(2,0)，B(2，2)顯然直線zxay過A時不能取得最大值4，若直線zxay過點(diǎn)B時取得最大值4，則22a4，解得a3，此時，目標(biāo)函數(shù)為zx3y，作出直線x3y0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時，截距最小，此時，z的最大值為4，滿足條件13(2017山西五校3月聯(lián)考)不等式組表示的平面區(qū)域為，直線xa(a1)將平面區(qū)域

22、分成面積之比為14的兩部分，則目標(biāo)函數(shù)zaxy的最大值為_答案9解析如圖，平面區(qū)域為ABC及其內(nèi)部，作直線xa(1a4)交BC、AC分別于點(diǎn)E、F.由題意可知SEFCSABC，則(4a)51，可得a2，所以目標(biāo)函數(shù)zaxy即為z2xy，易知z2xy在點(diǎn)C(4,1)處取得最大值，則zmax9.14(2017河北衡水中學(xué)3月?？?已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足則的取值范圍為_答案(，1解析解法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，其中B(1，1)，C(0,1)設(shè)A(1,1)，P(x，y)，向量，的夾角為，xy，|，cos，由圖可知AOCAOB，即45180，1cos，即1，1.解法二：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，其中B(1，1)，C(0,1)，設(shè)P(x，y)，POx，則cos，sin.，cossinsin.，sin.(，1三、解答題15某客運(yùn)公司用A、B兩種型號的車輛承擔(dān)甲，乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車