基本統(tǒng)計概念的回顧.ppt

1、Econometrics計 量 經 濟 學,祝樹金 教 授 經濟與貿易學院 二零零七年十月,第二章 基本統(tǒng)計概念的回顧,主要內容,2.1 隨機試驗 2.2 隨機變量 2.3 總體的的數(shù)字特征 2.4 樣本分布的數(shù)字特征,2.1 隨機試驗,隨機試驗：指至少有兩個可能結果，但不確定哪一個結果會出現(xiàn)的過程 總體：隨機試驗所有可能的集合稱為總體（population)或樣本空間 例子：在一種雙回合游戲中，O1表示兩個回合全部獲勝；O2表示第一個回合獲勝，第二個回合失敗； O3表示第一個回合失敗，第二個回合獲勝； O4表示兩個回合全部失敗。樣本空間有4種結果組成：O1，O2 ， O3 ， O4 樣本點：

2、樣本空間（或總體）的每一元素，即每一種結果成為樣本點,2.1 隨機試驗,隨機試驗的可能結果組成的集合稱為事件，它是樣本空間的一個子集 如果兩個事件不能同時發(fā)生，則兩個事件稱為是互斥的 如果一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生的可能性相同，則兩個事件稱為等可能性的。例如拋一枚硬幣，正面朝上和正面朝下是等可能出現(xiàn)的,2.2 隨機變量,一、概率分布 引入一個隨機變量來描述總體，隨機變量是取值具有隨機性的變量，按取值情況可以分為離散型和連續(xù)型兩種類型。 樣本就是n個相互獨立的與總體具有相同分布的隨機變量x1,xn，即n元隨機變量。隨機試驗的可能結果組成的集合稱為事件，它是樣本空間的一個子集 總體與樣本間的

3、聯(lián)系在于具有相同的分布,2.2 隨機變量,一、概率分布 引入一個隨機變量來描述總體，隨機變量是取值具有隨機性的變量，按取值情況可以分為離散型和連續(xù)型兩種類型。 樣本就是n個相互獨立的與總體具有相同分布的隨機變量x1,xn，即n元隨機變量。隨機試驗的可能結果組成的集合稱為事件，它是樣本空間的一個子集 總體與樣本間的聯(lián)系在于具有相同的分布,2.2 隨機變量,2、概率分布的含義和性質 隨機變量X取各個值的概率稱為X的概率分布。對一個離散型隨機變量X可以給出如下的概率分布： P(X=xi)=pi 對于隨機變量X（無論連續(xù)還是離散）可以確定實值函數(shù)F(x)，稱為累積分布函數(shù)（cumulative dis

4、tribution function, CDF), 定義如下 F(x) P(Xx),概率分布性質 （1）取值范圍 （2）若A, B, C, 為互斥事件，則有 P(A+B+C+)P(A)P(B)P(C) 對于任意事件A, B則有P(A+B)P(A)P(B)P(AB) （3）若A, B, C, 為互斥事件，且為一完備事件組，則 P(A+B+C+)P(A)P(B)P(C)=1 （4）事件A, B, C, 稱為相互獨立的事件，如果有 P(ABC)P(A)P(B)P(C) （5）條件概率P(A|B)=P(AB)/P(B),2.2 隨機變量,舉例： 國際貿易專業(yè)有200名學生，其中男生120人，女生80人

5、，在這些學生中，40名男生和24名女生計劃選學計量經濟學，若隨機抽取一人，發(fā)現(xiàn)這個學生計劃選學計量經濟學。那么這個學生是男生的概率是多少？,3、連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)及概率密度函數(shù) 對于連續(xù)型隨機變量，取任何特定數(shù)值的概率為0。 設F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，如果對任意實數(shù)x，存在非負函數(shù)f(x)0, 使 就稱f(x)0為X的概率密度函數(shù)(PDF)，且f(x)具有性質,2.2 隨機變量,4、多元隨機變量的概率密度函數(shù) 聯(lián)合概率密度函數(shù)f(X, Y) =P(X=x, Y=y)。 邊緣概率密度函數(shù)f(X) ， f(Y)。 條件概率密度函數(shù) f(X|Y) =P(X=x|Y=y) 條件概率密度函

6、數(shù)f(X|Y) f(X, Y) / f(Y) 獨立隨機變量 如果f(X, Y) f(X) f(Y)，則稱變量X和Y是統(tǒng)計獨立的,2.2 隨機變量,5、隨機變量函數(shù) 設f(x)是定義在隨機變量X的一切可能取值集合上的函數(shù)。如果對于X的每一個可能值x，都有另一個隨機變量Y的取值y=f(x)與之相對應，則稱Y為X的函數(shù)，記作Y=f(X)。 常常遇到一些隨機變量，它們的分布往往難于直接得到（例如滾珠體積的測量值等），但與它們有關系的另一個隨機變量的分布卻是容易知道的（如滾珠直徑的測量值）。因此，就要研究兩個隨機變量之間的關系，然后通過它們之間的關系，由已知隨機變量的分布求出與之有關的其它隨機變量的分布

7、。其間的關系通常用函數(shù)關系表示。,2.2 隨機變量,2.3 對總體的描述：隨機變量的數(shù)字特征,數(shù)學期望 方差 數(shù)學期望與方差的圖示 相關系數(shù)與協(xié)方差 偏度和峰度,一、數(shù)學期望（集中趨勢的度量）,1、離散型隨機變量數(shù)學期望的定義 假定有一個離散型隨機變量X有n個不同的可能取值x1,x2,xn，而p1,p2,pn是X取這些值相應的概率，則這個隨機變量X的數(shù)學期望定義如下： 數(shù)學期望描述的是隨機變量（總體）的一般水平,2、連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義 若連續(xù)型隨機變量X有分布密度函數(shù)f(x) ，而積分 絕對收斂，則稱 為X的數(shù)學期望。 數(shù)學期望是最容易發(fā)生的，因而是可以期待的。它反映數(shù)據(jù)集中的趨勢。

8、,一、數(shù)學期望（集中趨勢的度量）,求離散型隨機變量數(shù)學期望舉例 例1 甲、乙兩射手在一次射擊中的得分（分別用X、Y表示）的分布率如下： 試比較兩射手的射擊技術水平，并計算如果二人各發(fā)一彈，他們得分和的估計值。 解 EX=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1 EY=1 0.1+2 0.6+3 0.3=2.2 E(X+Y)=2.1+2.2=4.3 因為EXEY，所以乙射手射擊水平比較高；二人各發(fā)一彈，得分總和最可能在4.3分左右（即4分或5分）,例2：,3、數(shù)學期望的性質,（1）如果a、b為常數(shù)，則 E(aX+b)=aE(X)+b （2）如果X、Y為兩個隨機變量，則 E(X+Y)=E(X)+

9、E(Y) （3）如果g(x)和f(x)分別為X的兩個函數(shù)，則 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X) （4）如果X、Y是兩個獨立的隨機變量，則 E(X.Y)=E(X).E(Y),4、條件期望,條件期望值的定義： 對于連續(xù)型隨機變量的條件期望只要把加總符號換成積分號即可。,幾個重要性質 （1） 一般地 （2） （3）重期望律： 例：已知 ， 則,二、方差：離散程度的度量,1、隨機變量方差的定義 若X為連續(xù)型隨機變量，則X的方差以下式給出 隨機變量的方差記作Var(x) 。方差的算術平方根叫標準差。,2、方差的性質,（1）Var(c )=0 （2）Var(c+x)=Var(x ) （3）Va

10、r(cx)=c2Var(x) （4）x, y為相互獨立的隨機變量，則 Var(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(x-y) （5）Var(a+bx)=b2Var(x) （6）a,b為常數(shù)，x, y為兩個相互獨立的隨機變量，則Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y) （7）Var(x)=E(x2)-(E(x)2,例3 計算本節(jié)例1中甲射手的方差,例1 甲、乙兩射手在一次射擊中的得分（分別用X、Y表示）的分布率如下： E(X)=2.1 Var(X)=（- 1.1） 2 0.4+（-0.1）2 0.1+0.92 0.5 = 0.89,三、數(shù)學期望與方差的圖示,數(shù)學期望描

11、述隨機變量的集中程度，方差描述隨機變量的離散程度。 1 方差同、期望變大 2 期望同、方差變小,5,四、相關系數(shù)與協(xié)方差,協(xié)方差和相關系數(shù)都是描述兩個隨機變量相互關聯(lián)程度的參數(shù)或統(tǒng)計量。 方差是度量一個隨機變量變異程度的指標，而協(xié)方差則是度量兩個隨機變量協(xié)同變動的指標。要度量兩個隨機變量之間的關系，自然要考察兩個變量同時變化協(xié)同變化的情況，于是需要定義協(xié)方差。為了彌補協(xié)方差的不足受計量單位和數(shù)量尺度的影響，進而定義了度量兩個隨機變量呈線性相關程度的指標相關系數(shù)。,1、協(xié)方差,（1）定義：令隨機變量X和Y的期望分別為E(x),E(y),其協(xié)方差為: cov(X,Y)=E(X- E(x)(Y- E

12、(y) =E(XY)-E(X)E(Y) 一般而言，兩隨機變量的協(xié)方差可正可負。若兩變量同方向變動，則協(xié)方差為正，反之則為負。,（2） 協(xié)方差的性質 （1）若隨機變量X，Y相互獨立，則其協(xié)方差為0。 （2）cov(a+bX,c+dY)=bdcov(X,Y) （3）cov(X,X)=var(X) （3）相關變量的方差 若隨機變量不是獨立的，對于X+Y或X-Y的方差為： Var(X+Y)=var(X)+var(Y)+2cov(X,Y) Var(X-Y)=var(X)+var(Y)-2cov(X,Y) （4）若E(y|x)=E(y), 則Cov(x, y)=0 證明：利用重期望律,2、相關系數(shù),相關系

13、數(shù)用 表示，其計算公式為： 從公式可看出兩變量的相關系數(shù)等于它們的協(xié)方差與其各自的標準差之比。 相關系數(shù)介于-1到1之間。 相關系數(shù)的典型圖形見P31,五、偏度(skewness)與峰度(kurtosis),用于描述概率密度函數(shù)形狀的數(shù)字特征。偏度（S）是對稱性的度量；峰度（K）是概率密度函數(shù)高低或胖瘦的度量 1、偏度（S）的計算 對于正態(tài)分布，S0；若偏度S的值為正，則其概率密度為正偏或右偏，分布函數(shù)有長的右尾；若S的值為負，則其概率密度為負偏或左偏，分布函數(shù)有長的左尾。,2、峰度（K）的計算 概率密度函數(shù)的峰度K小于3時，成為低峰態(tài)的（胖的或短尾的），峰度K大于3時，稱為尖峰態(tài)的（瘦的或長

14、尾的）。對于正態(tài)分布的峰度為3，稱為常峰態(tài)的。,五、偏度(skewness)與峰度(kurtosis),2.4 樣本分布的數(shù)字特征,一、樣本平均數(shù) 總體的數(shù)字特征是一個固定不變的數(shù)，稱為參數(shù)；樣本的數(shù)字特征是隨抽樣而變化的數(shù)，是一個隨機變量，稱為統(tǒng)計量。 樣本平均數(shù)的定義：對于樣本x1, x2, ，xn , 則樣本平均數(shù)為 樣本平均數(shù)用來描述樣本的平均水平（一般水平）。,二、樣本方差和標準差,1、定義：對于樣本x1, x2, ，xn , 則稱 分別為樣本方差和標準差。 2、樣本序列的正態(tài)性檢驗 偏度： 峰度：,檢驗樣本序列的正態(tài)性可采用Jarque-Bera檢驗。該檢驗的零假設是樣本服從正態(tài)分

15、布，檢驗統(tǒng)計量為 其中m是產生樣本序列時用到的估計系數(shù)的個數(shù)。在零假設下JB統(tǒng)計量服從2(2) 分布。若為原始數(shù)據(jù)則m=0; 若序列是通過模型估計得到的，m為估計的參數(shù)個數(shù)。,2、樣本序列的正態(tài)性檢驗,檢驗的顯著性水平 虛擬假設：H0；對立假設：H1。在假設檢驗中存在兩類錯誤：拒絕一個其實是真的虛擬假設，即第類錯誤；第 類錯誤是指H0實際上是錯誤的，但沒有拒絕它。 檢驗的顯著性水平（significance level）則定義為第類錯誤的概率，用符號表示為： P(拒絕H0 | H0) 即當H0為真時拒絕H0的概率。 檢驗的p值 檢驗的p值(p-value)是指給定t統(tǒng)計量的觀測值，能拒絕虛擬假設的最小顯著性水平。小的p值是拒絕虛擬假設的證據(jù)。,檢驗的顯著性水平和p值,例如：樣本序列取2002年我國30個地區(qū)以1978年為基衡量的實際人均GDP，采用Eviews軟件計算有 S2.32 K=8.53 JB=65.29 p-value=0.00 則2002年各地區(qū)人均GDP呈現(xiàn)右偏、尖峰的分布形態(tài)，并且在99%的置信水平下拒絕零假設，即序列不服從正態(tài)分布。,三、樣本協(xié)方差,1、協(xié)方差的定義式 若樣本容量足夠大，可用pij=1/n, 那么,2協(xié)方差的缺陷,（1）協(xié)方差是一個有單位的指標。例如，Y為身高（厘米），X為體重（千克），那么它們的協(xié)方差COV（Y，X）的單位為厘米.千克