自動控制原理課件 第七章采樣系統(tǒng)的分析.ppt

1、第7章 采樣系統(tǒng)的分析,本章主要內(nèi)容與重點(diǎn) 離散采樣系統(tǒng)的基本概念 信號的采樣與保持 Z變換理論（略） 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析 離散系統(tǒng)的校正,本章主要內(nèi)容 本章在闡述了離散控制系統(tǒng)相關(guān)基本概念后，學(xué)習(xí)了采樣過程及采樣 第一張 上一張 下一張 最后一張 結(jié)束授課 重點(diǎn) 練習(xí)題定理、保持器的作用和數(shù)學(xué)模型、z變換的定義和求法、基本性質(zhì)和z反變換的求法、線性差分方程的建立及其解法、脈沖傳遞函數(shù)的概念及求取方法、離散系統(tǒng)時域分析方法，簡要介紹了頻率法、根軌跡法在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用以及離散系統(tǒng)的校正方法。,本章重點(diǎn) 學(xué)習(xí)本章，需要掌握離散系統(tǒng)的相關(guān)基本概念

2、，特別是采樣過程和采樣定理、z變換和z反變換及其性質(zhì)、差分方程和脈沖傳遞函數(shù)等概念。在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)掌握利用脈沖傳遞函數(shù)求解離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)性能計算等內(nèi)容。深入了解頻率法、根軌跡法在離散系統(tǒng)分析中的應(yīng)用，理解離散系統(tǒng)的串聯(lián)校正和最少拍校正原理。,7-1 離散采樣系統(tǒng)的基本概念 控制系統(tǒng)中有一個或若干個部件的輸出信號是一串脈沖形式或是數(shù)字（數(shù)碼），由于信號在時間上是離散的這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。 兩類離散系統(tǒng)： （1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng) 離散信號是脈沖序列（時間上離散） （2）數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機(jī)控制系統(tǒng) 離散信號是數(shù)字序列（時間上離散、幅值上整量化）,爐溫采樣控制系

3、統(tǒng),爐溫計算機(jī)（數(shù)字）控制系統(tǒng),脈沖控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、投資少，適合于要求不高的場合。,數(shù)字控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：控制器的控制規(guī)律由計算機(jī)實(shí)現(xiàn)，使得控制規(guī)律比較靈活、控制精度高，而且可以借助計算機(jī)實(shí)現(xiàn)許多附加功能，例如系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)檢測、報警、保護(hù)等。性價比超過模擬控制器。 在航空航天、軍事、工業(yè)、公用事業(yè)系統(tǒng)中的各類控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛地運(yùn)用計算機(jī)控制。,數(shù)字控制系統(tǒng)中的兩個關(guān)鍵部件： A/D轉(zhuǎn)換器：把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為時間上離散的、幅值上整量化的數(shù)字信號（二進(jìn)制的整數(shù)），實(shí)際上具有對信號在時間點(diǎn)上采樣，對信號幅值進(jìn)行編碼。（采樣編碼器）,一般要求A/D轉(zhuǎn)換器具有足夠的字長（8 bit、10

4、 bit、12 bit、14bit），要求量化單位 q 足夠小。這樣可以近似認(rèn)為幅值的斷續(xù)性可以忽略不記。 同時，若采樣編碼的時間可以忽略，這時數(shù)字信號可以看成脈沖信號 A/D轉(zhuǎn)換器可以認(rèn)為采樣周期為 TS 的理想采樣開關(guān)。,D/A轉(zhuǎn)換器：把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號。 D/A轉(zhuǎn)換器有兩個工作過程： （1）解碼，把離散的二進(jìn)制數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號；（解碼過程見p302 圖7-8（a） （2）模擬信號復(fù)現(xiàn)，通過“保持器”將離散模擬信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號，該信號才能真正驅(qū)動模擬放大器等。（復(fù)現(xiàn)過程見p302 圖7-8（b）,離散采樣系統(tǒng)的研究方法 （1）用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

5、模型后進(jìn)行分析、綜合。 （2）用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計。,7-2 信號的采樣與保持 采樣過程：連續(xù)信號 采樣器 離散信號,理想采樣過程的數(shù)學(xué)描述：,采樣信號的Laplace變換：,例1 設(shè) ，求 的L變換,例2 設(shè) 為常數(shù)，求 的L變換,香農(nóng)采樣定理：如果采樣器的 輸入信號 具有有限帶寬，具有最高頻率為 的分量，只要采樣周期滿足以下條件：,信號 可以從采樣信號 中恢復(fù)過來。,信號保持：D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號是臺階型的，在其內(nèi)部是“保持器”在起作用。,每個采樣值能保持到下一個采樣值到來之前，信號幅值沒有變化。,零階保持器： 當(dāng)給零階保持器輸入一個理想單位脈

6、沖 ，則脈沖響應(yīng)（輸出）,脈沖過渡函數(shù)：,幅值為1，持續(xù)時間為 T,對應(yīng)的L變換,零階保持器的頻率特性,零階保持器的特性： （1）低通特性 （2）相角遲后特性 （3）時間遲后特性 （平均遲后時間 T/2）,一階保持器,7-3 Z 變換（略）,7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型：差分方程、脈沖傳遞函數(shù)、離散狀態(tài)空間表達(dá)式,脈沖傳遞函數(shù)： 在零初始條件下,實(shí)際開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：,在輸出端增設(shè)虛擬采樣開關(guān),脈沖傳遞函數(shù)G(z)的求法,連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s) 脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t) 按采樣周期離散化g*(t) Z變換 G(z),對于虛擬采樣開關(guān)的輸出，相應(yīng)的脈沖響應(yīng),對上式取L變換后：,

7、令,記為：,例3 求以下差分方程所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,由實(shí)數(shù)位移定理：,例4,開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),采樣L變換的兩個重要性質(zhì)： （1）采樣函數(shù)的L變換具有周期性,（2）,具有串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),串聯(lián)形式（1）,連續(xù)對象的輸出：,其中：,對輸出的離散化：,注意：一般,串聯(lián)形式（2）,帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),離散化后：,例1：設(shè)對象傳遞函數(shù),求帶零階保持器后系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：,當(dāng) 為 有理分式函數(shù)時，上式的Z變換 也必然是的有理分式函數(shù)。,閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),連續(xù)輸出信號的L變換,對應(yīng)的Z變換為,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出對于輸入的脈沖傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)誤差對于輸入的脈沖傳遞函數(shù)：,閉

8、環(huán)系統(tǒng)的特征方程：,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,應(yīng)當(dāng)注意：離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不能從對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Z變換直接得到。,閉環(huán)系統(tǒng)中，具有兩個不同以上采樣開關(guān)時的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)系統(tǒng)中采樣開關(guān)的位置，有可能不能獲得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)輸出,表7-3 給出典型閉環(huán)離散系統(tǒng)及輸出的Z變換函數(shù),Z變換的局限性： （1） Z變換的推導(dǎo)是建立在理想采樣序列的基礎(chǔ)上。而實(shí)際采樣脈沖序列具有一定的寬度，只有當(dāng)脈沖寬度與系統(tǒng)最大實(shí)踐常數(shù)相比很小時，Z變換才能成立。 （2）C(z)只能反映c(t)在采樣時刻的數(shù)值，不能反映c(t)在采樣間隔中的信息。 （3）用Z變換方法

9、分析離散系統(tǒng)，要求連續(xù)部分的傳遞函數(shù)的分母階次比分子的階次至少高2次，這時用Z變換方法得到的結(jié)果是正確的。,例如：設(shè) R-C 電路如圖，輸入相當(dāng)于是脈沖序列,設(shè)輸入信號為單位階躍函數(shù),但實(shí)際上，電路的實(shí)際輸出是 作用下的輸出，c(t)表現(xiàn)為充放電過程，如 p.345 圖7-37所示。,采樣周期 T=1秒，對應(yīng)的Z變換,7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析方法：將線性連續(xù)系統(tǒng)在 s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果 離散線性系統(tǒng)在 z平面上的穩(wěn)定性。,1. s 域到 z 域的映射關(guān)系,相當(dāng)于取s平面上的虛軸映射到 z 平面上的軌跡：以原點(diǎn)為圓心的單位圓，相位：相應(yīng)的點(diǎn)沿單位圓變化無窮多

10、圈,結(jié)論：在等 線的左半平面映射為z平面上同心圓的內(nèi)部，右半平面映射為同心圓的外部。 s平面的虛軸的左半平面映射為z平面上單位圓的內(nèi)部，右半平面映射為單位圓的外部。,離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：從離散系統(tǒng)的差分方程的齊次解的收斂性，或者從 z域中離散系統(tǒng)的特征方程的根的研究得到結(jié)論。,離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：若離散系統(tǒng)在有界輸入序列的作用下，其輸出序列也是有界，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)齊次方程的解是收斂的，或者系統(tǒng)特征方程根均具有負(fù)實(shí)部，或者系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)嚴(yán)格均在左半 s 平面。,（1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（時域） 設(shè)：系統(tǒng)差分方程,系統(tǒng)齊次方程,設(shè)通解：

11、,系統(tǒng)特征方程：,設(shè)特征方程具有各不相同的特征根：,通解：,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：,相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（z域）,對于典型的離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)特征方程,設(shè)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）各不相同,由s平面到z平面的映射關(guān)系 s平面的左半平面對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的內(nèi)部； s平面的右半平面對應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域： z平面上單位圓的外部； s平面的虛軸對應(yīng)的臨界穩(wěn)定：z平面上單位圓周。,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：離散特征方程的全部特征根都在單位圓內(nèi)，即,例：設(shè)典型離散系統(tǒng),采樣周期 T=1(s)，試分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。,解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

12、,特征方程,結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 判定： 特征方程的根是否都在左半s平面？ 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 特征方程的根是否都在z平面的單位圓內(nèi)？ 將勞斯-胡爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要將 z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi) 新平面上的左半平面,Z域 w域,1. W變換（雙線性變換）與勞斯穩(wěn)定判據(jù),令,注意到 z和 w都是復(fù)變量，則有,顯然：,考察上式：在z平面的單位圓上，滿足,對應(yīng)在 w平面上： 表明：w平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓周。,Z平面單位圓內(nèi),Z平面單位圓外,w平面左半平面,w平面右半平面,勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中

13、的應(yīng)用：將離散系統(tǒng)在z域的特征方程變換為w域的特征方程，然后應(yīng)用勞斯判據(jù)。,例1：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時 K 的極限值。,進(jìn)一步整理后，w域的特征方程：,勞斯表,由勞斯穩(wěn)定判據(jù),使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的取值范圍,極限增益,（2）Jury（朱利）穩(wěn)定判據(jù),Jury穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的z域特征方程 的系數(shù)，直接判別特征根是否嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)。,設(shè)離散系統(tǒng)的 階閉環(huán)特征方程,利用特征方程的系數(shù)，構(gòu)造 、 列Jury矩陣。,Jury矩陣的第一行系數(shù)：,Jury矩陣的第一行系數(shù)：,第三行系數(shù) 第四行系數(shù),第五行系數(shù) 第六行系數(shù),第七行系數(shù) 第八行系數(shù),最后行系數(shù),

14、Jury穩(wěn)定判據(jù)：特征方程 的根，全部嚴(yán)格位于 z平面上單位圓內(nèi)的充要條件是：,以及下列（n-1）個約束成立：,若上述條件滿足，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,推論1：特征方程的根全部在單位圓內(nèi)的一個充分條件是,推論2：具有系數(shù)的特征方程，其多項(xiàng)式為首一多項(xiàng)式,的根全部都在單,位圓內(nèi)的充分條件是,例2 設(shè)一離散時間單位反饋系統(tǒng)，采樣周期 T=1（s），其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),試用Jury穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的 K 值范圍。,解：閉環(huán)特征方程,對于二階系統(tǒng)應(yīng)用Jury穩(wěn)定判據(jù)，只要用到下面3個約束條件：,綜合（1）、（2）、（3）,例3：,采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響,連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點(diǎn)、傳輸

15、延遲等。 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：以上因素，再加上采樣周期 T。,舉例說明：設(shè)帶有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖所示,由 Jury 穩(wěn)定判據(jù) 或 w域的勞斯穩(wěn)定判據(jù),w域的特征方程,P357圖7-49給出 K=1, 不同采樣時的單位階躍響應(yīng)。 結(jié)論： （1）在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，采樣周期越小，允許的開環(huán)增益范圍就擴(kuò)大，否則就縮小。 （2）當(dāng)采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差； （3）當(dāng)開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息就越多，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能不利。,離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,求連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法：（1）L變換的終值定理； （2）動態(tài)誤差系數(shù)法 上述方法 求離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,由于離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)沒有規(guī)范的形式，誤差脈沖傳遞函數(shù)也沒有一般的計算公式。例如圖示系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)（即誤差脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)）均在z平面上的單位圓內(nèi)。由 z變換的終值定理求出系統(tǒng)在采樣時刻的終值誤差。,穩(wěn)態(tài)誤差：與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)、輸入序列的形式、采樣周期 T 有關(guān)。,例1：設(shè)