控制006根軌跡法.ppt

1、第六章 根軌跡法,經(jīng)典控制理論有三種基本分析方法： 時(shí)域分析法 頻域分析法 根軌跡分析法,反饋控制系統(tǒng)的基本性能，主要由系統(tǒng)的極點(diǎn)（即特征方程的根）的分布所決定，因此分析系統(tǒng)必須求解特征方程的根。但求解高階系統(tǒng)特征方程異常困難，這就限制了時(shí)域分析法在二階以上系統(tǒng)中的應(yīng)用。 1948年，伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)確定閉環(huán)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）的新方法，并且建立了一套法則，這就是在工程上獲得廣泛應(yīng)用的根軌跡法。,6-1 根軌跡與根軌跡方程,一、根軌跡 所謂根軌跡，是指當(dāng)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）由零到無(wú)窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡。,二

2、、根軌跡方程及幅角、幅值條件,滿足上式的s值，都是特征方程的根，都必定是根軌跡上的點(diǎn)，故稱上式為根軌跡方程。,下面利用幅角、幅值條件畫根軌跡,利用幅值條件可算出各根軌跡上的 值。,6-2 繪制根軌跡的基本法則,一、根軌跡的分支數(shù) 根軌跡在S平面上的分支數(shù)= 閉環(huán)特征方程的階數(shù)n 這是因?yàn)閚階特征方程對(duì)應(yīng)n個(gè)特征根，當(dāng)開環(huán)增益K由 變化時(shí)，這n個(gè)特征根隨K變化必然會(huì)出現(xiàn)n條根軌跡。,二、根軌跡的對(duì)稱性 因?yàn)殚_環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)或閉環(huán)極點(diǎn)都是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，它們?cè)赟平面上的分布對(duì)稱于實(shí)軸，所以根軌跡也對(duì)稱于實(shí)軸。,S,三、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)

3、極點(diǎn)數(shù)n ,則有(n-m)條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。,證明：,四、實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。 這個(gè)結(jié)論可由幅角條件證明。,五、根軌跡的漸進(jìn)線,極點(diǎn)之和減去 零點(diǎn)之和。,例1、某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,S,-2 -1 0,六、根軌跡的起始角與終止角 起始角：起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角。 終止角：終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角。,S,S,S,起始角：起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角。,所有零點(diǎn)到 的向量夾角,其它極點(diǎn)到 的向量夾角,其它零點(diǎn)到 的向量夾角,所有極點(diǎn)到 的

4、向量夾角,起始于 的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角,終止于 的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角,七、分離點(diǎn)的坐標(biāo) 幾條根軌跡在S平面上相遇后又分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。,例1、某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,S,-2 -1 0,例2,S,-3 -2 -1 0,(2) 實(shí)軸上的根軌跡,S,-3 -2 -1 0,會(huì)合點(diǎn),八、實(shí)軸上的分離點(diǎn)的分離角恒為 實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)的會(huì)合角恒為,S,-3 -2 -1 0,九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)極點(diǎn)中有一部分極點(diǎn)位于虛軸上，即閉環(huán)特征方程有純虛根 ，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此，將 代入特征方程中得,例3、某

5、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,S,-2 -1 0,S,-2 -1 0,S,-2 -1 0,6-3 根軌跡繪圖舉例,S,-3 -2 -1 0,性能分析,2、實(shí)軸上的根軌跡；,S,-3 -2 -1 0,S,-3 -2 -1 0,6-4 系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的 分布與性能指標(biāo),本節(jié)主要討論兩個(gè)問(wèn)題： 怎樣根據(jù)閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布來(lái)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)； 怎樣根據(jù)性能指標(biāo)確定閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布。,閉環(huán)零點(diǎn)=前向通道 中的零點(diǎn) 閉環(huán)極點(diǎn)即根軌跡上的點(diǎn),S,-2 0,一、系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)表達(dá)式,二、閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系 一個(gè)控制系統(tǒng)總是希望它的輸出量盡可能的復(fù)現(xiàn)給定輸入量，要求動(dòng)態(tài)過(guò)程的快速性

6、、平穩(wěn)性要好一些。 要保證這些要求，閉環(huán)的零點(diǎn)、極點(diǎn)應(yīng)如何分布呢？,1、為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點(diǎn)必須在左半S平面。 2、為保證快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng) 中每一分量 衰減得快，即 應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸。,S,0,1,2,3,4,1,2,3,4,比較系統(tǒng),振蕩頻率 高低,阻尼比 大小,衰減速度 快慢,1、2、3、4為4對(duì)二階系統(tǒng)的極點(diǎn),實(shí)部決定衰減快慢，虛部決定阻尼振蕩頻率,3、為保證平穩(wěn)性好，復(fù)極點(diǎn)最好設(shè)在與負(fù)實(shí)軸成 線上，這時(shí)，可獲得最佳阻尼比 。 4、遠(yuǎn)離虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)影響很小。一般情況下，若某一極點(diǎn)比其它極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸46倍時(shí)，則它對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響可以略去不計(jì)。,閉環(huán)極點(diǎn)間距要大,閉

7、環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)零點(diǎn)間距要小,偶極子的概念對(duì)系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)很有用，可有意識(shí)地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)零點(diǎn)，以抵消不利極點(diǎn)，使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程得以改善。,三、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算性能指標(biāo) 遠(yuǎn)離虛軸的零點(diǎn)、極點(diǎn)、偶極子，對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響小，可略去； 靠近虛軸，又不構(gòu)成偶極子的零點(diǎn)、極點(diǎn)起主導(dǎo)作用，決定瞬態(tài)響應(yīng)的性能，稱主導(dǎo)極點(diǎn)，主導(dǎo)零點(diǎn)。 計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，可以只考慮主導(dǎo)極點(diǎn)，將高階系統(tǒng)近似為一階、二階系統(tǒng)，直接利用第三章瞬態(tài)響應(yīng)公式計(jì)算。,S,-4 0,例10 畫根軌跡并分析 對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響,S,-4 -2 0,該兩點(diǎn)距-4均為2.82, 根軌跡為以-4為圓心，2.82為半徑的圓。,不講,S,-2 -1 0,由于-1，-2與-0.01，-0.1相距甚遠(yuǎn)，故在畫原點(diǎn)附近根軌跡時(shí)，可忽略-1，-2的影響；,而畫遠(yuǎn)處根軌跡時(shí)，可認(rèn)為,S,原點(diǎn)處根軌跡,S,畫遠(yuǎn)處根軌跡時(shí)，可認(rèn)為,-0.433,S,-2 -1 -0.1 0,雖然動(dòng)態(tài)特性變化不大,但穩(wěn)定的K值范圍大大增加了.,小結(jié)： 根軌跡法的基本思路是在已知開環(huán)零、極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，依據(jù)根軌跡法則，確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布。再利用主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子的概念，對(duì)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)進(jìn)行定性分析和定量估算。,利用根軌跡法，能較方便地確定高階系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)分布的規(guī)律，形象地看出參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響