九年級數(shù)學(xué)上冊 23 圖形的相似章末復(fù)習(xí)學(xué)案 （新版）華東師大版

1、第23章知識升華一、知識網(wǎng)絡(luò)二、典例分析1、分類討論題例1、在ABC中，B25，AD是BC邊上的高，并且，則BCA的度數(shù)為_.解析：（1）當(dāng)高AD在ABC內(nèi)時，如圖1. ，又ADBCDA，ADBCDA，BADACD.CADACD90，CADBAD90.B25，BCA65.（2）當(dāng)高AD在ABC外時，如圖2.同理可證ADBCDA，ABDCAD25，ACD65，BCA180ACD115.說明：本題一方面考查相似三角形的判定和性質(zhì)，另一方面考查分類討論的思想方法.2、新定義圖形題例2定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形.探究：（1）如圖3，已知ABC中C90，你能

2、把ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由. （2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結(jié)三角形各邊中點，就可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形.我們把DEF（圖4）第一次順次連結(jié)各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖4-1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖4-2）依此規(guī)則操作下去.n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時小三角形的面積為.若DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時，？（請用計算器進行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）當(dāng)n1時，請

3、寫出一個反映之間關(guān)系的等式（不必證明）.解析：（1）如圖5，過點C作CDAB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線.理由：BB，CDBACB90，BCDACB.（2）DEF經(jīng)n階分割所得的小三角形的個數(shù)為，.當(dāng)時，當(dāng)n6時，當(dāng)n7時，.當(dāng)n6時，.說明：這道題的求解過程反映了標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動方式，如觀察、實驗、推理、猜想，而不僅僅是記憶，模仿，從而明白：研究問題要由表及里，由此及彼，學(xué)以致用.3、網(wǎng)格證明題例3如圖6，在44的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.（1）填空：ABC_，BC_；（2）判斷ABC與DEF是否相似，并證明你的結(jié)論.解析：（1）ABC13

4、5，；（2）能判斷ABC與DEF相似（或ABCDEF），這是因為ABCDEF135，ABCDEF.說明：本題寓填空、識圖、說理于一體，利用網(wǎng)格解決相似問題，使學(xué)生基礎(chǔ)知識得以應(yīng)用，思維能力得以提高.4、情景應(yīng)用題例4、如圖7所示，某市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)建有B、C、D三個食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且ABCD900米，ADBC1700米.自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN，B、C兩廠之間的公路與自來水管道交于E處，EC500米.若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負擔(dān)，每米造價800元.（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠

5、的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計？并在圖形中畫出；（2）求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價各是多少元？解析：（1）過B、C、D分別作AN的垂線段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即為所求的造價最低的管道線路.如圖8所示.（2）（米），（米）.ABECFE，得，（米），BHECFE，得， （米）.ABEDGA， （米）所以，B、C、D三廠所建自來水管道的最低造價分別是（元），（元），（元）.說明：將相似與應(yīng)用有機結(jié)合，是本題的一個特色，本題雖沒有復(fù)雜的運算及偏怪之弊，但涉及的知識面寬，知識點多，它不僅綜合考查學(xué)生能力，而且通過本題使學(xué)生明白，社會實踐離不開數(shù)學(xué).5、運動變化題例

6、5如圖9，在一個長40m、寬30m的長方形小操場上，王剛從A點出發(fā)，沿著ABC的路線以3m/s的速度跑向C地.當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕，當(dāng)張華跑到距B地的D處時，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上，此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米（DE的長）？（2）求張華追趕王剛的速度是多少（精確到0.1m/s）？解析：（1）由陽光與影子的性質(zhì)可知DEAC，BDEBAC，BEDBCABDEBAC， ，.（2），王剛到E點的時間為，張華追趕王剛的速度是.說明：解決運動變化的問題，應(yīng)認真地分析運

7、動的全過程，把握運動變化過程中的各種情況，特別是關(guān)鍵的點，特殊的位置.6、作圖說理題例6、小胖和小瘦去公園玩標(biāo)準(zhǔn)的蹺蹺板游戲，兩同學(xué)越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹到1米25，甚至更高！”（1）你認為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明.（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明. 解析：（1）小胖的話不對.小胖說“真可惜！我現(xiàn)在只能將你最高翹到1米高”，情形如圖10-1所示，OP是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板支架的高度，AC是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，BC是地面. OPBC，ACBC，OBPABC，OBPABC，.又

8、此蹺蹺板是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板，BOOA，而AC1米，得OP0.5米.若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設(shè)為a米（a0），如圖10-2所示，BDa米，AEa米，即DOOE.，同理可得DOPDEF，由OP0.5米，得EF1米.綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架OP高度的兩倍，所以不可能翹得更高.（2）方案一：保持BO長度不變，將OA延長一半至E，即只將小瘦一邊伸長一半.使，則.由BOPBEF，得，EF1.25米.方案二：如圖10-3所示，只將支架升高0.125米.，又米，米說明：本題為探究結(jié)論型開放題.第（1）題中，只要看構(gòu)成的三角形的相似比是否變化.第（2）

9、題中，只要改變構(gòu)成的三角形的相似比.它雖未在難度上著墨，卻令人頗感新意，體現(xiàn)出對靈活思維的要求，值得重視.7、計算求值題例7、 若，則 解析：根據(jù)已知條件，可用設(shè)k法，把x，y，z都用k表示，就可算出比值設(shè)x2k，y3k，z4k，則【說明】設(shè)k法是求解比例問題的重要而又普遍適用的方法，它能把比例式中的各個量都統(tǒng)一用k來表示，清楚地揭示了各個量相互間的關(guān)系，從而使形式與內(nèi)容達到統(tǒng)一，簡化了計算，要熟練地掌握這一解題方法8、 開放性問題例8、如圖11，在RTABC中，為直角，于點，BC3，AB5，寫出其中的一對相似三角形是 和 ；并寫出它們的面積比 _ 圖11解析：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個

10、三角形與原三角形相似(即有ABCACDCBD)，如選ABCCBD，則AB，BC為兩三角形的對應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得面積比為25：9 【說明】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)圖中共有三對相似三角形，關(guān)鍵要準(zhǔn)確找出相似三角形的對應(yīng)邊，復(fù)習(xí)時要強調(diào)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系9、學(xué)科間綜合題例9、如圖12，是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度示意圖,點P處放一水平的平面鏡,光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABBD，CDBD，且測得AB12米，BP18米，PD12米，那么該古城墻的高度是( )A6米 B 8米 C18米 D24米圖12解析：要求古城墻CD的高

11、度，就要列出有關(guān)CD的比例線段，利用物理學(xué)知識入射角等于反射角，即可得出ABPCDP，從而得，解得CD8米【說明】相似三角形應(yīng)用范圍十分廣泛，不僅局限于測量高度、距離，它在其他學(xué)科中的應(yīng)用也較廣泛，要注意和其他學(xué)科結(jié)合10、探究說理題例10、在等邊ABC中，點D為AC上一點，連結(jié)BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點E，P，F(xiàn)，且BPF60 (1)如圖13-1，寫出圖中所有與BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；(2)若直線向右平移到圖13-2、圖13-3的位置時(其它條件不變)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出來(不證明)，若不成立，請說明理由；(3)探究：如圖13-1，

12、當(dāng)BD滿足什么條件時(其它條件不變)，？請寫出探究結(jié)果，并說明理由(說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母)解析：(1) (2)根據(jù)已知BPF60以及等邊三角形中60的內(nèi)角，挖掘圖中的公共角，即可找到與BPF相似的三角形；(3)探索成立的條件，可考慮30角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系，故猜測為的平分線(1)，以為例，證明如下：BPFEBF60，(2)均成立，均為，(3)當(dāng)平分時，證明：BD平分ABC，ABPPBF30BPF60，BFP90又B EF603030ABP，BPEP【說明】這是一個開放性問題, 既有探索結(jié)論，又有條件的探索，同時還結(jié)合了圖形的變換，復(fù)習(xí)時要注意多進行變式訓(xùn)練，加強一題多解、一題

13、多變、一題多思11、方案設(shè)計題例11、有一塊直角三角形木板如圖14-1所示，已知C90，AB5cm，BC3cm，AC4cm根據(jù)需要，要把它加工成一個面積最大的正方形木板，設(shè)計一個方案，應(yīng)怎樣裁，才能使正方形木板面積最大？并求出這個正方形木板的邊長圖14-2圖14-3圖14-1解析：要在RtABC內(nèi)裁出面積最大的正方形DEFG，有兩種可能的裁法，如圖14-2和14-3，可分別求出正方形的面積(正方形的頂點都在ABC的邊上)方案一：如圖14-2，作CMAB于M，交DE于N設(shè)正方形邊長為xcm由得,DEAB，CDECAB，即：方案二：如圖14-3，設(shè)正方形邊長為y cm EFAC， BFEBCA 即

14、 xy ， 方案二裁出的正方形的面積最大這時正方形的邊長是cm【說明】解決實際應(yīng)用問題，探究設(shè)計方案，分析圖形中與面積有關(guān)的線段數(shù)量關(guān)系，利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比，對應(yīng)高的比也等于相似比這個性質(zhì)來解決的第23章章末測試題一、選擇題：1、已知ABCDEF，且AB：DE=12，則ABC的面積與DEF的面積之比為（ ）A.12 B.14 C.21 D.412、如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1個 B可以有2個 C有2個以上但有限 D有無數(shù)個3、在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比.

15、已知這本書的長為20cm，則它的寬約為（ ）A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm4、小明在一次軍事夏令營活動中，進行打靶訓(xùn)練，在用槍瞄準(zhǔn)目標(biāo)點B時，要使眼睛O、準(zhǔn)星A、目標(biāo)B在同一條直線上，如圖4所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準(zhǔn)星A偏離到A，若OA=0.2米，OB=40米，AA=0.0015米，則小明射擊到的點B偏離目標(biāo)點B的長度BB為 （ ）A3米 B0.3米 C0.03米 D0.2米5、如圖，在長為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（ ）A. 2 cm2 B. 4 cm2

16、C. 8 cm2 D. 16 cm26、在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高.將ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF，則DEF的周長為（ ）A9.5B10.5 C11D15.57、如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（ ）8、語句：“所有度數(shù)相等的角都相似；所有角相等的菱形都相似；所有的正方形都相似；所有的圓都相似”中準(zhǔn)確的有（ ）A.4句 B.3句 C.2句 D.1句備用：1.如圖，AB、CD都是BD的垂線，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一點，連結(jié)AP、CP，所得兩個三角形相似，則BP的長是（ ）A.

17、2 B.5.6 C.12 D.上述各值都有可能答案：D2.D、E分別是ABC中邊AB、AC上的點，若DEBC，且，則ADDB=（ ）A. 11 B.1 C. D. 答案：D二、填空題：9、如圖，點M是ABC內(nèi)一點，過點M分別作直線平行于ABC的各邊，所形成的三個小三角形1、2、3（圖中陰影部分）的面積分別是4，9和49則ABC的面積是 10、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊CD的中點，連結(jié)AE、BD，交于點O，如果已知ADE的面積是6，試寫出能求出的圖形面積 （要求寫出四個以上圖形的面積）.11、有一張簡易活動餐桌，現(xiàn)測得OA=OB=30，OC=OD=50，現(xiàn)要求桌面離地面的高度為40，那么兩

18、條桌腿的張角COD的大小應(yīng)為 .12、陽光通過窗口AB照到房間里，在地上留下3.2米寬的亮區(qū)ED，如圖，已知亮區(qū)一邊到窗下墻角的距離CE=8米，窗口高AB=2米，那么窗口底邊離地面的高BC= .13、下面這些三角形中，選出相似的三角形 14、如圖，在ABC中，P是邊AB上一點，連結(jié)CP，使ACPABC的條件是 15、如圖，公園內(nèi)有一個長5米的蹺蹺板AB，當(dāng)支點O在距離A端2米時，A端的人可以將B端的人蹺高1.5米，那么當(dāng)支點O在AB的中點時，A端的人下降同樣的高度可以將B端的人蹺高 米16、將三角形紙片（ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B，折痕為EF已知ABAC3，BC

19、4，若以點B，F(xiàn)，C為頂點的三角形與ABC相似，那么BF的長度是 17、如圖，在88的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，OAB的頂點都在格點上，請在網(wǎng)格中畫出OAB的一個位似圖形，使兩個圖形以O(shè)為位似中心，且所畫圖形與OAB的位似比_18、升旗儀式上，小明通過建立直角坐標(biāo)系發(fā)現(xiàn)旗桿底端的位置在點A（3，1），頂端在點B（3，10），升旗前旗的三個頂點的位置分別在點P（3，2）、Q（3，3）、R（5，2），寫出當(dāng)旗的頂端Q升到旗桿的頂部B處時，點P和點R對應(yīng)點的坐標(biāo)分別為 .三、解答題：19、如圖，D點是的邊AC上的一點，過D點畫線段DE，使點E在的邊上，并且點D、點E和的一個頂點組成的小三角

20、形與相似盡可能多地畫出滿足條件的圖形，并說明線段DE的畫法20、如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高21、如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=1，BC=8，AB=6，點P在高AB上滑動，當(dāng)AP長為多少時，DAP與PBC相似，并說明你的理由22、如圖，點C、D在線段AB上，且PCD是等邊三角形 (1)當(dāng)AC，CD，DB滿足怎樣的關(guān)系時，ACPPDB； (2)當(dāng)PDBACP時，試求APB的度數(shù)23、已知如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，點Q在

21、線段BC上，設(shè)BQ，是否存在這樣的實數(shù)，使得Q、C、P為頂點的三角形與ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.24、如圖，有兩個動點分別從正方形的兩個頂點同時出發(fā)，以相同速度分別沿邊和移動，問：（1）在移動過程中，與的位置和大小有何關(guān)系？并給予證明（2）若和相交點，圖中有多少對相似三角形？請把它們寫出來25、如圖：已知A（0，2），B（2，1），C（3，2）.（1）求線段AB、BC、AC的長.（2）把A、B、C三點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘以2，得到A、B、C的坐標(biāo),求AB、BC、AC的長.（3）ABC與ABC的形狀相同嗎？（4）ABC與ABC是位似圖形嗎?若是,請指出位似中心和位似比2

22、6、已知：ABC中，AB=10（1）如圖，若點D，E分別是AC，BC邊的中點，求DE的長；（2）如圖，若點A1，A2把AC邊三等分，過A1，A2作AB邊的平行線，分別交BC邊于點B1，B2，求A1B1+A2B2的值；（3）如圖，若點A1，A2，A10把AC邊十一等分，過各點作AB邊的平行線，分別交BC邊于點B1，B2，B10根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出A1B1+A2B2+A10B10的結(jié)果27、如圖，在水平桌面上的兩個“”，當(dāng)點，在一條直線上時，在點處用號“”測得的視力與用號“”測得的視力相同（1）圖中，滿足怎樣的關(guān)系式？（2）若cm，cm，號“E”的測試距離m，要使測得的視力相同，則號“E”

23、的測試距離應(yīng)為多少？28、某班研究性學(xué)習(xí)小組，到校外進行數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)現(xiàn)一個如圖所示的支架PAB，于是他們利用手中已有的工具進行一系列操作，并得到了相關(guān)數(shù)據(jù)，從而可求得支架頂端P到地面的距離.實驗工具：3米長的卷尺；鉛垂線(一端系著圓錐型鐵塊的細線)。實驗步驟：第一步，量得支架底部A、B兩點之間的距離；第二步，在AP上取一點C，掛上鉛垂線CD，點D恰好落在直線AB上，量得CD和AD的長；第三步，在BP上取一點E，掛上鉛垂線EF，點F恰好落在直線AB上，量得EF和BF的長。實驗數(shù)據(jù)：線段ABCDADEFBF長度(米)2.510.81.20.6問：根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)，請你計算支架頂端P到地面的距離(精確到0.1米)；參考答案一、選擇題：18、BBABCDAB二、填空題：9、答案：144;10、如，以及相互組合成的圖形的面積.11、答案：12012、答案：3米13、答案：、相似，、相似，、相似14、答案：ACPB或APCACB或15、答案：116、答案：或2;17、需根據(jù)圖形,位似比可為11或21.18、（3，9）、（5，9）三、解答題：19、解：方法一：過點D作DEBC交BC邊于E點，則由，且A=A ，可知ADEAC B.方法二：作ADE=ABC交AB邊于E點，又有A=A，可知ADEA BC.方法三：過點D作