八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 11.3.2 多邊形的內(nèi)角和學(xué)案 新人教版

1、多邊形的內(nèi)角和（一）思考三角形的內(nèi)角和等于180。正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于360，其他四邊形的內(nèi)角和等于多少？（二）探究任意畫(huà)一個(gè)四邊形，量出它的4個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和。 再畫(huà)幾個(gè)四邊形，量一量，算一算。你能得出什么結(jié)論?能否利用三角形內(nèi)角和等于180得出這個(gè)結(jié)論?如圖7.38，畫(huà)出任意一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線，都能將這個(gè)四邊形分為兩個(gè)三角形。這樣，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和，都等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，即360。從上面的問(wèn)題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎?觀察圖7.39，請(qǐng)?zhí)羁眨簭奈暹呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_條對(duì)角線，它們將五邊形分為_(kāi)個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180_。從六邊形

2、的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_條對(duì)角線，它們將六邊形分為_(kāi)個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180_。通過(guò)以上問(wèn)題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎?一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢?請(qǐng)?zhí)羁眨簭膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_條對(duì)角線，它們將n邊形分為_(kāi)個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180_?？偨Y(jié)：過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以做（n3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n2）個(gè)三角形，每個(gè)三角形內(nèi)角和180。所以n邊形內(nèi)角和（n2）180。把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，還有其他分法嗎?由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎? 方法2：如圖：733過(guò)n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)連接，可得n個(gè)三角形，其內(nèi)角和n180。再減去以O(shè)

3、為頂點(diǎn)的周角。即得n邊形內(nèi)角和n180360。得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于（n2）180。（三）例題例1 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系?解：如圖7.310，四邊形ABCD中，AC180。因?yàn)锳BCD（42）180360，所以BD360（AC）=360180=180。這就是說(shuō)，如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)。例2如圖7.311，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少?分析：考慮以下問(wèn)題：（1）任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系?（2）六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少?（

4、3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系?聯(lián)系這些問(wèn)題，考慮外角和的求法。解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180。6個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角，共有12個(gè)角。這些角的總和等于6180。這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和。所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6180（62）1802180360。（四）探究如果將例2中六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎?思路：（用計(jì)算的方法）設(shè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為1，2，3，n，其相鄰的外角分別為1801，1802，1803，180n。外角和為（1801）（1802）（180n）=n180（123n）=n180（n2）180=360注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決的基本思想。由上面的探究可以得到：多邊形的外角和等于360。你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360。如圖7.312，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和。由