八年級數(shù)學(xué)下冊 2 一元一次不等式與一元一次不等式組教案 （新版）北師大版

1、第二章一元一次不等式與一元一次不等式組1.經(jīng)歷將一些簡單的實際問題抽象為不等式的過程,進一步體會不等式的模型思想,建立符號意識.2.結(jié)合具體問題,了解不等式的意義.3.探索并掌握不等式的基本性質(zhì).4.理解不等式(組)的解及解集的含義;會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集;會解一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定其解集.5.通過經(jīng)歷用數(shù)軸表示不等式(組)的解集的過程,體會數(shù)形結(jié)合思想.6.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式,解決簡單的實際問題,并能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗結(jié)果是否合理,發(fā)展應(yīng)用意識.經(jīng)歷將一些實際問題抽象為不等式的過程,體會不等式也是刻畫現(xiàn)實

2、世界中量與量之間關(guān)系的有效模型,感受不等式、方程、函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別,研究用不等式解決實際問題的方法.1.初步體會不等式、方程、函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.2.進一步感受數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系,體會數(shù)學(xué)的價值.不等式是現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示形式,它不僅是現(xiàn)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容,而且也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).本章在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上,開始研究簡單的不等關(guān)系,通過前面的學(xué)習(xí),學(xué)生已初步體會到生活中量與量之間的關(guān)系是眾多而且復(fù)雜的,面對大量的同類量,最容易使人想到的就是它們有大小之分.在此之前,學(xué)生已初步經(jīng)歷了建立方程模型和函數(shù)關(guān)系解決一些簡單的實際問題

3、的“數(shù)學(xué)化”過程,為分析量與量之間的關(guān)系積累了一定的經(jīng)驗,以此為基礎(chǔ)展開不等式的學(xué)習(xí),順理成章.本章首先通過具體實例建立不等式,探索不等式的基本性質(zhì),了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具體研究一元一次不等式的解、解集、解集的數(shù)軸表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的簡單應(yīng)用,通過具體實例滲透一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.最后研究一元一次不等式組的解、解集和一元一次不等式組的解法.根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認知基礎(chǔ)和認知特點,本章的設(shè)計主要有下列特點:(1)提供豐富的實際背景.如等周問題、測樹圍研究樹齡問題、打折銷售問題等,這些都為學(xué)生探索實際問題中的不等關(guān)系提供了

4、生動、豐富的背景.通過研究這些問題,可以進一步發(fā)展學(xué)生的符號意識,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,發(fā)展模型思想.(2)突出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.不等式與方程、函數(shù)一樣,都是反映客觀事物變化規(guī)律及其關(guān)系的模型,函數(shù)能夠刻畫事物之間對應(yīng)變化的過程,方程能夠刻畫某個變化過程的一瞬間,而不等式則刻畫變化過程中同類量之間的一個普遍現(xiàn)象.本章教科書充分注意了這三者之間的聯(lián)系,并專設(shè)一節(jié)“一元一次不等式與一次函數(shù)”,意在引導(dǎo)學(xué)生初步體會從整體中把握部分的思維方法,滲透函數(shù)、方程、不等式等重要的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展幾何直觀.具體來講,第1節(jié)“不等關(guān)系”,用實例引入,使學(xué)生在歸納的過程中認識不等式

5、模型,體會到生活中的不等關(guān)系大量存在,并初步建立用不等式模型解決簡單實際問題的應(yīng)用意識.第2節(jié)“不等式的基本性質(zhì)”,類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì),讓學(xué)生經(jīng)歷類比、猜想、嘗試、歸納、得出結(jié)論的合情推理過程,探索不等式的三條基本性質(zhì),使學(xué)生能夠?qū)⒉坏仁竭M行簡單轉(zhuǎn)化.第3節(jié)“不等式的解集”,用煙花引火線的實例引入,在建立不等式之后研究其解集及數(shù)軸表示,讓學(xué)生結(jié)合實際意義來理解不等式的解集,并引導(dǎo)學(xué)生感受不等式的解與方程的解的異同.第4節(jié)“一元一次不等式”,經(jīng)歷認識一元一次不等式的概念、求解一元一次不等式,以及應(yīng)用一元一次不等式的過程,逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.本節(jié)設(shè)計了大量實際問題,如打折銷售

6、、知識競賽等,意圖是進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.第5節(jié)“一元一次不等式與一次函數(shù)”,研究一元一次不等式與一次函數(shù)的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)的綜合認識,建立數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識之間的聯(lián)系,完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu),并運用這種聯(lián)系解決一些簡單的實際問題,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識.第6節(jié)“一元一次不等式組”,將解一元一次不等式組的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式的問題,再借助數(shù)軸確定其解集.【重點】1.不等式的基本性質(zhì).2.不等式(組)的解法.3.不等式(組)的解集及不等式(組)解集的數(shù)軸表示.4.不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.【難點】1.經(jīng)歷將一些實際問題抽象為不等式的過程.2.不等式及不等式組的解法.3.根據(jù)具體問題中的數(shù)量

7、關(guān)系,列出一元一次不等式(組),解決簡單的實際問題.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué),是師生交流、互動和共同發(fā)展的過程,教學(xué)中,要將學(xué)生推到學(xué)習(xí)的前沿,注重發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性和主觀能動性.1.關(guān)注與舊知識的聯(lián)系,提高思維能力.有效的教學(xué)一定要從學(xué)生已經(jīng)知道了什么開始.教學(xué)過程中,要關(guān)注不等式、函數(shù)、方程的內(nèi)在聯(lián)系,不等關(guān)系與相等關(guān)系的辯證關(guān)系,要類比等式(方程)進行不等式的教學(xué),這樣不僅有利于學(xué)生認識不等式,而且可以使學(xué)生體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,從整體上把握知識,發(fā)展學(xué)生的辯證思維.例如,在研究不等式的基本性質(zhì)時,可以類比等式的基本性質(zhì),并比較其異同.2.設(shè)置豐富的問題情境,體會知識的發(fā)生、發(fā)展過程

8、.教學(xué)中,要充分發(fā)揮教科書中“做一做”“想一想”“議一議”等欄目提供的問題情境,組織學(xué)生進行探究性學(xué)習(xí).例如,在“不等關(guān)系”一節(jié)的教學(xué)中,要讓學(xué)生經(jīng)歷探索不等式模型的形成過程,要給學(xué)生留有充分的思考與活動時間,使其初步體會學(xué)習(xí)不等式的價值,通過充分經(jīng)歷觀察、試驗、歸納、類比、概括和數(shù)學(xué)表示的過程,自然過渡到“模型化”,教師不要急于求成,要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高.3.恰當(dāng)把握打牢基礎(chǔ)與培養(yǎng)能力的關(guān)系.不等式的基本性質(zhì)、不等式(組)的解法及不等式(組)解集的數(shù)軸表示是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)和必備技能,一定量的練習(xí)是完全必要的,但不宜停留在簡單的模仿訓(xùn)練與機械記憶的層次上,更不必強調(diào)解不等式(組)的

9、步驟,要引導(dǎo)學(xué)生能夠說出一個不等式為什么可以從一種形式變?yōu)榱硪环N形式,它的解集為什么能在數(shù)軸上表示,為什么可以通過數(shù)軸迅速準確地確定不等式組的解集,發(fā)展其代數(shù)變形能力、說理能力和數(shù)形結(jié)合能力,養(yǎng)成步步有據(jù)、準確表達的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.在教學(xué)過程中,對學(xué)生求解不等式(組)的基本訓(xùn)練要自始至終加以關(guān)注,而不宜一步到位突擊訓(xùn)練.如解決一些實際問題時,建立不等式模型之后要關(guān)注其求解過程、結(jié)果的準確性、解釋結(jié)果的合理性,在這個過程中,使學(xué)生進一步體會解不等式(組)與解方程(組)的異同.4.恰當(dāng)把握實際背景題目的難度,關(guān)注學(xué)生多角度的思考.對于一元一次不等式(組)的應(yīng)用,最重要的是幫助學(xué)生建立不等意識,學(xué)習(xí)將

10、實際問題數(shù)學(xué)化.有實際背景的題目的難度要控制在教科書例題、習(xí)題的難度以下,不要人為加大難度.相應(yīng)地,教師要鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流,引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等活動.同時,要鼓勵解法的多樣性,如對某些實際問題,學(xué)生可用方程、函數(shù)知識處理,只要學(xué)生的解法合理,就應(yīng)當(dāng)予以鼓勵,不必強求統(tǒng)一.重要的是發(fā)展學(xué)生的思維策略,促進學(xué)生一般數(shù)學(xué)觀的建立.5.關(guān)注學(xué)生的個體差異,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.教學(xué)過程中,要尊重學(xué)生的個體差異,關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感和自信心的建立.標準指出:“學(xué)生的個體差異表現(xiàn)為認知方式與思維謀略的不同,以及認知水平和學(xué)習(xí)能力的差異,教師要及時了解并尊重學(xué)生的個

11、體差異,滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要.”本章教學(xué)要提倡解決問題策略的多樣化,發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)個性,允許出錯,對學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生,教師要耐心傾聽他們的看法,適時引導(dǎo),增強其學(xué)習(xí)的興趣和自信心.對于學(xué)有余力的學(xué)生,要多提供一些材料,指導(dǎo)他們自學(xué),發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能.例如,對于本章“讀一讀”中一元一次不等式組的應(yīng)用的學(xué)習(xí),教師可以提供有關(guān)簡單線性規(guī)劃的材料讓學(xué)有余力的學(xué)生閱讀,嘗試解決一些簡單的實際問題,從中體會最優(yōu)化思想.1不等關(guān)系1課時2不等式的基本性質(zhì)1課時3不等式的解集1課時4一元一次不等式2課時5一元一次不等式與一次函數(shù)2課時6一元一次不等式組2課時回顧與思考1課時1不等關(guān)系1.感受生活中存在著大量

12、的不等關(guān)系,了解不等式的意義.2.初步體會不等式是研究量與量之間關(guān)系的重要模型.1.經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程,進一步發(fā)展學(xué)生的符號感與數(shù)學(xué)化的能力.2.在探索中發(fā)展學(xué)生歸納、猜想的能力及有條理地表達的能力.培養(yǎng)學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,并尊重與理解他人見解,從交流中受益.【重點】1.不等式概念的總結(jié).2.建立不等關(guān)系.【難點】從現(xiàn)實情境中建立不等關(guān)系.【教師準備】多媒體課件.【學(xué)生準備】預(yù)習(xí)課本有關(guān)知識.導(dǎo)入一:師:我們學(xué)過等式,等式的定義是什么?生:表示相等關(guān)系的式子叫等式.師:我們知道量與量之間的相等關(guān)系可以利用等式來描述.同時,我們也知

13、道現(xiàn)實生活中還存在著許多不等關(guān)系.比如,研究表明同學(xué)們每天睡覺的時間要不少于9小時;體育考試中合格的分數(shù)要不低于60分.請同學(xué)們也舉一些含有不等關(guān)系的例子. (同學(xué)們各抒己見)生1:每天我都比弟弟早起5分鐘.生2:我的年齡不小于13歲.生3:我的體重不低于30公斤.設(shè)計意圖通過這一活動,使學(xué)生體會到不等關(guān)系如相等關(guān)系一樣處處存在,培養(yǎng)學(xué)生觀察生活、樂于探究的品質(zhì).導(dǎo)入二:教師用課件出示商品圖片,如:手機、電視、冰箱、電腦、電話等,說明規(guī)則:男、女生各派一名代表,看教師出示的商品,猜商品的價格,時間為一分鐘,誰在一分鐘之內(nèi)猜出的商品多,誰就獲勝.男先女后.如:教師出示一部彩屏手機的圖片,請學(xué)生猜

14、價格.“高了”指所猜價格大于手機真實價格,“低了”指所猜價格小于手機真實價格,只有1460元才和這部手機的真實價格相等.通過游戲,大家也發(fā)現(xiàn)了相等是一種特殊情況,而不等是一般情況.現(xiàn)實生活中存在著大量的不等關(guān)系,研究這些不等關(guān)系有助于我們把握事物的變化規(guī)律.設(shè)計意圖使學(xué)生認識到現(xiàn)實生活中存在大量的不等關(guān)系,明確學(xué)習(xí)不等式的必要性,同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.一、不等式的概念思路一過渡語同學(xué)們,我們?nèi)绾斡檬阶觼肀硎静坏汝P(guān)系呢?現(xiàn)在我們來看下面的問題.【課件1】(1)如果某等腰三角形的底邊長為a cm,這邊上的高為4 cm,且這個三角形的面積不大于8 cm2,那么a應(yīng)該滿足的關(guān)系式為(注意“不大于”的

15、含義);(2)鐵路部門對旅客隨身攜帶的行李有如下規(guī)定:每件行李的長、寬、高之和不得超過160 cm.設(shè)行李的長、寬、高分別為 a cm,b cm,c cm, 請你列出行李的長、寬、高滿足的關(guān)系式.【課件2】某中學(xué)準備在學(xué)校飯廳新添一個通風(fēng)口,四周用長為x m(x5)的裝潢條鑲嵌(不計接縫),現(xiàn)有兩種設(shè)計方案,如下圖所示.(1)填寫下表:通風(fēng)口規(guī)格x滿足的關(guān)系式正方形面積不大于1 m2圓的面積不大于1.5 m2(2)探究:x/m正方形的面積/m2圓的面積/m2S正與S圓的關(guān)系145【課件3】通過測量一棵樹的樹圍(樹干的周長)可以估算出它的樹齡.通常規(guī)定以樹干離地面1.5 m 的地方作為測量部位.

16、某樹栽種時的樹圍為6 cm,在一定生長期內(nèi)每年增加約3 cm,設(shè)經(jīng)過x年后這棵樹的樹圍超過30 cm,請你列出x滿足的關(guān)系式.總結(jié):一般地,用符號“”(或“”)連接的式子叫做不等式.(特別地,不等號還包含“”)設(shè)計意圖通過運用不等式表示不等關(guān)系,加深對不等式的理解,會用不等式表示實際問題中的不等關(guān)系.思路二過渡語既然不等關(guān)系在現(xiàn)實生活中并不少見,那么大家肯定接觸過不少,如何用式子表示不等關(guān)系呢?請看下面的問題.【課件1】如圖所示,用兩根長度均為l cm的繩子分別圍成一個正方形和一個圓.(1)如果要使正方形的面積不大于25 cm2, 那么繩長l應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?(2)如果要使圓的面積不小于10

17、0 cm2,那么繩長l應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?(3)當(dāng)l=8時,正方形和圓的面積哪個大?l=12呢?改變l的取值再試一試,由此你能得到什么猜想?【課件2】通過測量一棵樹的樹圍(樹干的周長)可以估算出它的樹齡.通常規(guī)定以樹干離地面1.5 m 的地方作為測量部位.某樹栽種時的樹圍為6 cm,在一定生長期內(nèi)每年增加約3 cm,設(shè)經(jīng)過x年后這棵樹的樹圍超過30 cm,請你列出x滿足的關(guān)系式.總結(jié):一般地,用符號“”(或“”)連接的式子叫做不等式.(特別地,不等號還包含“”)設(shè)計意圖通過問題直接建立不等關(guān)系,體會同類量之間最常見的是比大小問題,并發(fā)展學(xué)生的歸納猜想能力.在解決這一串問題的過程中,讓學(xué)生體會不

18、等式與方程、函數(shù)一樣,也是刻畫事物變化規(guī)律的重要模型,并初步感知最優(yōu)化思想.二、例題講解過渡語剛剛我們學(xué)習(xí)了什么是不等式,現(xiàn)在我們通過下面的例題來看看同學(xué)們理解得怎么樣.(補充例題)用不等式表示下列關(guān)系.(1)a是正數(shù);(2)a是負數(shù);(3)a與6的和小于5;(4)x與2的差不小于-1;(5)x的4倍不大于7;(6)y的一半小于3.解:(1)a0.(2)a0.(3)a+65.(4)x-2-1.(5)4x7.(6)y0;4x+3y0;x=3;x-1;x+23.其中不等式有()A.2個B.3個C.4個D.5個解析:根據(jù)不等式的定義可知不等式為.故選B.2.a,b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,下列結(jié)論

19、中正確的是()A.a0,b0B.a0C.ab0D.以上均不對解析:根據(jù)數(shù)軸上的位置可知a0,b0,所以ab0B.a0C.a0D.|a|0解析:非負數(shù)就是大于或等于零的數(shù).故選B.4.用不等號連接下列各組數(shù):(1)-;(2)x2+10.解析:兩個負數(shù),絕對值大的反而小.因為-;因為x20,所以x2+10.答案:(1)(2)5.y的3倍與x的4倍的和是負數(shù)用不等式表示為.答案:3y+4x06.一所中學(xué)的男子百米賽跑的紀錄是11.7秒,假設(shè)一名男運動員的百米賽跑成績?yōu)閤秒,如果這名運動員破紀錄,那么;如果這名運動員沒破紀錄,那么.答案:x11.7x11.77.用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系:(1)a的2倍

20、比a與3的和小; (2)y的一半與5的差是非負數(shù);(3)x的3倍與1的和小于x的2倍與5的差.解:(1)2aa+3.(2)y-50.(3)3x+10B.-x202.小林在水果攤上稱了2斤蘋果,攤主稱了幾個蘋果說:“你看秤,高高的.”如果設(shè)蘋果的實際質(zhì)量為x斤,用不等式把這個“高高的”的意思表示出來是()A.x2B.x2C.x2D.x2【能力提升】3.若0a1,則用“”“”或“=”),并回答問題.(1)32+42234;(2)22+22222;(3)12+21;(4)(-2) 2+522(-2)5;(5)+2.觀察上面的算式,請你用含字母a,b的式子來表示上面算式反映的一般規(guī)律.【答案與解析】1

21、.C2.C(解析:“高高的”的意思是蘋果的實際質(zhì)量大于2斤.故選C.)3.a1(解析:用特殊值法解決.設(shè)a=,則=2,所以a1.故填a1ab(ab)(解析:由圖可看出圖(1)的面積是a2+b2,圖(2)的面積是ab.再根據(jù)圖形面積的大小關(guān)系,可得a2+b2ab(ab).故填a2+b2ab(ab).)6.解:2aa+b3b.7.解:設(shè)參加春游的同學(xué)共有x人,根據(jù)每人交8元錢租車費,還不夠,可得8x250.8.解:510+(30-10-3)x270.9.解:設(shè)該同學(xué)應(yīng)答對x道題,依題意有6x-(16-x)260.10.解:(1)(2)=(3)(4)(5)a2+b22ab(當(dāng)a=b時取等號).本節(jié)課

22、充分通過學(xué)生舉例和老師的選例,讓學(xué)生體會在現(xiàn)實生活中除了存在許多等量關(guān)系外,更多的是不等關(guān)系的存在,并通過感受生活中的大量不等關(guān)系,初步體會不等式是刻畫量與量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程,進一步發(fā)展了學(xué)生的符號感與數(shù)學(xué)化的能力.本節(jié)課還是有很多的不足,學(xué)生平時缺少鍛煉,使得課堂氣氛沒有達到最好的效果.學(xué)生在進行自主合作探究時,特別是在進行討論時,有時討論會偏離中心,提出一些與本節(jié)課內(nèi)容無關(guān)的問題.在教學(xué)中,充分相信學(xué)生的潛力,讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體,讓學(xué)生的思維在數(shù)學(xué)課堂上盡情地馳騁,老師要做好課堂的引導(dǎo)者、參與者、合作者,與學(xué)生平等地進行交流與學(xué)習(xí).隨堂練習(xí)(

23、教材第38頁)2.解:(1)a0.(2)ca,cb.(3)x+175x.(2)x20.(3)S1S2(S1表示地球上的海洋面積,S2表示地球上的陸地面積).(4)x2y(x表示老師的年齡,y表示你的年齡).(5)m1m2(m1表示鉛球的質(zhì)量,m2表示籃球的質(zhì)量).3.解:(1)600x+100(10-x)4200.(2)8x+4(10-x)72.4.解:(1)0x5.(2)0”“”等符號的用法和意義,能比較兩數(shù)的大小,并能用數(shù)學(xué)語言表達.在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中,經(jīng)歷了建立方程模型和函數(shù)關(guān)系解決一些實際問題的數(shù)學(xué)化過程,初步具備了將生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型的能力,為分析量與量之間

24、的關(guān)系積累了一定的經(jīng)驗,并在學(xué)習(xí)過程中形成了一定的合作交流能力,為進一步展開不等式的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).班級50名學(xué)生上體育課,老師出了一道題目:現(xiàn)在拿來一些籃球,如果每5人一組玩一個籃球,那么有些同學(xué)沒有球玩;如果每6人一組玩一個籃球,那么就會有一組玩籃球的人數(shù)不足6人.你們知道有幾個籃球嗎?甲同學(xué)說:如果有x個籃球,那么有5x50.丙同學(xué)說:還有6(x-1)50.你明白他們的意思嗎?解:甲同學(xué)說的意思是:如果每5人一組玩一個籃球,那么玩球的人數(shù)少于50人,即有些同學(xué)就沒有球玩.乙同學(xué)說的意思是:如果每6人一組玩一個籃球,那么就會有一組玩籃球的人數(shù)不足6人.丙同學(xué)說的意思是:如果每6人一組玩一個

25、籃球,除了一個球以外,剩下的球每6人玩一個,還有幾人(不足6人)玩另外一個籃球.一位意大利數(shù)學(xué)家游玩了比薩斜塔后,提出了一道有趣的問題.他說:比薩斜塔共有8層,其中頂層有12根石柱,中間6層,每層的石柱一樣多,底層石柱只有中間每層石柱的一半,而且中間每層和底層的石柱數(shù)都是5的倍數(shù).告訴你比薩斜塔由200多根石柱構(gòu)成,但不會超過250根.則比薩斜塔由多少根石柱構(gòu)成?解:設(shè)比薩斜塔的底層有x根石柱,那么中間6層每層各有2x根,則比薩斜塔共有(13x+12)根石柱.由于中間每層和底層的石柱數(shù)都是5的倍數(shù),即x是5的倍數(shù),因此x可取5,10,15,20,.當(dāng)x取5,10時,總石柱數(shù)13x+12250,

26、也不符合題意;當(dāng)x=15時,13x+12=207,符合要求.因此比薩斜塔由207根石柱構(gòu)成.2不等式的基本性質(zhì)1.經(jīng)歷通過類比、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的探索過程,初步體會不等式與等式的異同.2.掌握不等式的基本性質(zhì),并能初步運用不等式的基本性質(zhì)將比較簡單的不等式轉(zhuǎn)化為“xa”或“xa”的形式.1.能說出不等式為什么可以從一種形式變形為另一種形式,發(fā)展其代數(shù)變形能力,養(yǎng)成步步有據(jù)、準確表達的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.2.通過類比等式的基本性質(zhì)研究得到不等式的基本性質(zhì),體會類比的數(shù)學(xué)思想.3.進一步發(fā)展學(xué)生的符號表達能力,以及提出問題、分析問題、解決問題的能力.1.通過學(xué)生自我探索,發(fā)現(xiàn)不等式的基本性質(zhì)

27、,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.2.尊重學(xué)生的個體差異,關(guān)注學(xué)生對問題的實質(zhì)性認識與理解.【重點】探索不等式的基本性質(zhì),并能靈活地掌握和應(yīng)用.【難點】能根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行化簡.【教師準備】多媒體課件.【學(xué)生準備】復(fù)習(xí)上一節(jié)不等關(guān)系的知識及等式的基本性質(zhì).導(dǎo)入一:請班上同學(xué)站在不同的位置上比高矮.在最高的同學(xué)和最矮的同學(xué)同時站在地面上、矮的同學(xué)站在桌子上、高的同學(xué)站到樓梯的下一層三種不同的情況下比較高矮.怎樣比較才公平?設(shè)計意圖讓學(xué)生體會當(dāng)兩位同學(xué)同時增高或同時減少相同的高度時,比較才是公平的,高的同學(xué)仍然高,矮的同學(xué)仍然矮,這是不可能改變的事實.導(dǎo)入二:師:我們學(xué)習(xí)了等式,并

28、掌握了等式的基本性質(zhì),大家還記得等式的基本性質(zhì)嗎?生:記得.等式的基本性質(zhì)1:在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或整式,所得的結(jié)果仍是等式.等式的基本性質(zhì)2:在等式的兩邊都乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結(jié)果仍是等式.師:不等式與等式只有一字之差,那么它們的性質(zhì)是否也有相似之處呢?本節(jié)課我們將研究不等式的基本性質(zhì).設(shè)計意圖基于學(xué)生對等式的基本性質(zhì)的認識,采用類比的方式進行教學(xué),使學(xué)生接受起來比較容易.一、不等式的基本性質(zhì)思路一過渡語同學(xué)們,你們還記得等式的基本性質(zhì)嗎?請用字母表示出來.不等式也有類似的性質(zhì)嗎?先猜一猜.小組活動,共同探究,解決下列問題:(1)用等號或不等號完成下面的

29、填空.已知2b,則acbc.生2:等式的基本性質(zhì)2用字母可以表示為: 若a=b,則ac=bc,=(c0).經(jīng)過前面的探索,可類似地得到:如果不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號方向不變;不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.用字母表示為:若ab,c0,則acbc,;若ab,c0,則acbc,.總結(jié):不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加(或減)同一個整式,不等號的方向不變;不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變;不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.設(shè)計意圖通過等式的基本性質(zhì)類比得到不等式的基本性質(zhì),

30、由特殊的數(shù)值到用字母代表數(shù),并從中歸納出一般性結(jié)論,進一步發(fā)展學(xué)生的符號感和提出問題、分析問題、解決問題的能力.思路二過渡語 等式的基本性質(zhì)我們已經(jīng)掌握了,那么不等式的基本性質(zhì)是否和等式的基本性質(zhì)一樣呢?請大家探索后發(fā)表自己的看法.生:已知35,且3+25+2,3-25-2,所以3+a5+a,3-a5-a,即在不等式的兩邊都加(或減)同一個整式,不等號的方向不變.師:很好.不等式的這一條性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)相似.下面繼續(xù)進行探究.生1:已知35,且3252,35,所以3a5a,即在不等式的兩邊都乘同一個數(shù),不等號的方向不變.生2:不對.如35(-2),所以他的總結(jié)是錯的.師:看來大家有不同意見

31、,請大家互相討論后舉例說明.生3:已知34,且3343,34(-3),3(-5)4(-5),由此看來,在不等式的兩邊都乘同一個正數(shù)時,不等號的方向不變;在不等式的兩邊都乘同一個負數(shù)時,不等號的方向改變.師:非常棒,那么在不等式的兩邊同時除以某一個數(shù)時(除數(shù)不為0),情況會怎樣呢?請大家用類似的方法進行推導(dǎo).生:當(dāng)不等式的兩邊都除以同一個正數(shù)時,不等號的方向不變;當(dāng)不等式的兩邊都除以同一個負數(shù)時,不等號的方向改變.師:由此,大家可以總結(jié)得出不等式的基本性質(zhì)2和基本性質(zhì)3,同學(xué)們要學(xué)會靈活運用.總結(jié):不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加(或減)同一個整式,不等號的方向不變;不等式的基本性質(zhì)2:不等

32、式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變;不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.設(shè)計意圖以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法先猜想不等式的基本性質(zhì),再通過具體數(shù)值驗算性質(zhì),最后總結(jié)、歸納出性質(zhì).在整個教學(xué)過程中,學(xué)生均處于主導(dǎo)地位,教師只是從旁指引.二、例題講解過渡語剛剛我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),下面我們通過幾個例題來看看同學(xué)們理解得怎么樣.(補充例題)用兩根長度均為l cm的繩子分別圍成一個正方形和一個圓.我們猜想,無論繩長l取何值,圓的面積總大于正方形的面積,即.你能利用不等式的基本性質(zhì)解釋這一結(jié)論嗎?解:4,由題意可知l20,根據(jù)不等式的基本

33、性質(zhì)2,此不等式兩邊都乘l2,可得 .(教材例題)將下列不等式化成“xa”或“x-1;(2)-2x3.解:(1)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加5,得x-1+5,即x4.(2)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都除以-2,得x-.設(shè)計意圖在講解例題的過程中,要求學(xué)生說出每一步變形的依據(jù),能說出一個不等式為什么可以從一種形式變形為另一種形式,養(yǎng)成步步有據(jù)、準確表達的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣,并通過這種方式達到熟練掌握不等式的基本性質(zhì)的目的.知識拓展不等式的基本性質(zhì)有三條,而等式的基本性質(zhì)有兩條.它們的區(qū)別和聯(lián)系是:(1)區(qū)別:在等式的兩邊都乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不為0)時,等式仍然成立;在不等式的兩邊都乘(或

34、除以)同一個數(shù)(除數(shù)不為0)時會出現(xiàn)兩種情況,若乘(或除以)的是正數(shù),則不等號方向不變,若乘(或除以)的是負數(shù),則不等號的方向改變.(2)聯(lián)系:不等式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)都討論的是在兩邊都加(或減)、都乘(或除以,除數(shù)不為0)同一個數(shù)時的情況,且不等式的基本性質(zhì)1和等式的基本性質(zhì)1相類似.1.不等式的基本性質(zhì)的推導(dǎo).2.不等式的基本性質(zhì).基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加(或減)同一個整式,不等號的方向不變;基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變;基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.3.利用不等式的基本性質(zhì)進行簡單的化簡.1.如果mn

35、0,那么下列結(jié)論中錯誤的是()A.m-9-nC.D.1答案:C2.若a-bbB.ab0C.-b答案:D3.由不等式axb可以推出x,那么a的取值范圍是()A.a0B.a0答案:B4.若mn,比較下列各式的大小:(1)m-3n-3;(2)-5m-5n;(3)-;(4)3-m2-n;(5)0m-n;(6)-.答案:(1)(3)(4)(5)(6)”或“”填空.(1)如果x-23,那么x5;(2)如果-x-2,那么x-10;(4)如果-x1,那么x-1.答案:(1)(3)(4)6.由xay的條件是.答案:aa”或“x3x+5;(2)-2x5.(2)x-.8.若4a.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都減去3

36、a,得0a,即a0,那么a+t與a的大小關(guān)系是()A.a+taB.a+taC.a+taD.不能確定2.如果,那么a必須滿足()A.a0B.a0D.a為任意實數(shù)3.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則下列式子正確的是()A.cbabB.acabC.cba+b4.下列說法:若a-b;若xy0,則x0,y0;若x0,y0,則xy0;若ab,則2aa+b;若a;若y.其中正確的說法有()A.2個B.3個C.4個D.5個5.2a與3a的大小關(guān)系()A.2a3aC.2a=3aD.不能確定【能力提升】6.若x+yx-y,y-xy,則下列結(jié)論:x+y0;y-x0;xy0;-12的非負整數(shù)有.8.若a

37、xb,ac20,則x.9.如果x-70,那么x.10.當(dāng)x時,代數(shù)式2x-3的值是正數(shù).【拓展探究】11.根據(jù)不等式的基本性質(zhì),把下列不等式化成“xa”或“xa”的形式.(1)0.3x-0.9;(2)x-a;(2)|a|a.【答案與解析】1.A(解析:t0,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1可得a+t與a的大小關(guān)系是a+ta.故選A.)2.C3.A(解析:由數(shù)軸可知a0,cb0,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可知A正確.故選A.)4.B(解析:不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,所以正確;若xy0,則x,y異號,所以不正確;若x0,y0,所以不正確;若ab,則a+aa+b,即2aa+b,所以正確;

38、若a0b,則,所以不正確;若,不等式兩邊同時乘2,再減去1,得到-xy,所以正確.故正確的說法有3個.故選B.)5.D(解析:要分a0,a0和a=0三種情況討論,再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)來確定2a與3a的關(guān)系.故選D.)6.(解析:根據(jù)題意可判斷出x0,所以x-y0;xy0;0.x+y的符號不能確定.所以正確.故填.)7.0,1,2,3,4,5 8.(解析:因為ac20一定成立,所以有ab的兩邊同時除以負數(shù)a,即可得到x.故填.)9.2(解析:若代數(shù)式2x-3的值是正數(shù),則得到一個關(guān)于x的不等式2x-30,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得x.故填.)11.解:(1)不等式的兩邊都除以0.3,得x-3.(

39、2)不等式的兩邊都減去x,得x-4,在此不等式的兩邊都乘2,得x-a的兩邊同時加上a,得到2a0,在此不等式的兩邊同時除以2,得到a0,即當(dāng)a0時,不等式a-a成立.(2)|a|0,|a|a,a0.即當(dāng)aa成立.本節(jié)課通過復(fù)習(xí)等式的基本性質(zhì),類比得出不等式的基本性質(zhì).教學(xué)中設(shè)置問題,通過與等式的基本性質(zhì)相對比,引導(dǎo)學(xué)生自己先猜想不等式的基本性質(zhì),再通過具體數(shù)值驗算性質(zhì),最后自己總結(jié)、歸納、完善性質(zhì)并能用字母表示出來.在接下來講解例題與練習(xí)的過程中,學(xué)生對不等式每一步變形的依據(jù)都能夠正確回答,充分掌握了不等式的基本性質(zhì).對于不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用,采用老師問學(xué)生答的形式,沒有照顧到全體學(xué)生.不等

40、式基本性質(zhì)的總結(jié)沒有放手讓學(xué)生自己進行概括.利用學(xué)生的好奇心設(shè)疑、解疑,組織有效的教學(xué)活動,使學(xué)生積極參與,大膽猜想,在自主探索和合作交流的過程中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容,力求在整個探究學(xué)習(xí)的過程中充滿師生之間、生生之間的交流和互動,體現(xiàn)教師是教學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者,學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體.隨堂練習(xí)(教材第41頁)1.解:(1)x3.(2)x-.(3)x6.2.解:(1)不成立.(2)不成立.(3)成立.(4)成立.習(xí)題2.2(教材第42頁)1.(1)(2)(4)2.解:(1)x9.(3)x-15.(4)x-6.3.解:(1)a0時,22+a;當(dāng)a=0時,2=2+a;當(dāng)a2+a.(3)當(dāng)a

41、0時,a2a;當(dāng)a=0時,a=2a;當(dāng)a2a.不等式的基本性質(zhì)是八年級下冊第二章第二節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課是建立在學(xué)生已經(jīng)認識了不等關(guān)系的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的,是進一步學(xué)習(xí)解不等式及應(yīng)用不等式解決實際問題的重要依據(jù),因此本節(jié)課的內(nèi)容在這一章中占有重要位置.本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想是從學(xué)生的實際認知水平及知識結(jié)構(gòu)出發(fā),讓學(xué)生自主獲取知識.本章是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上,開始研究簡單的不等關(guān)系.學(xué)生已經(jīng)掌握了等式的基本性質(zhì),同時經(jīng)歷了解一元一次方程、二元一次方程組的研究過程及方法,為進一步學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).學(xué)習(xí)時可以類比七年級上冊學(xué)習(xí)的等式的基本性質(zhì).經(jīng)歷通過類比、

42、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的探索過程,初步體會不等式與等式的異同,掌握不等式的基本性質(zhì).有兩個分數(shù):A=,B=,A與B哪個大?解:=12.5+13,0,AB.解題策略利用倒數(shù)比較大小是一種重要方法.討論下列式子是否正確.(1)如果ab,那么a+cb+c;(2)如果ab,那么a-cb-c;(3)如果ab,那么acbc;(4)如果a.解:(1)符合不等式的基本性質(zhì)1,所以(1)正確.(2)符合不等式的基本性質(zhì)1,所以(2)正確.(3)已知a0,則有,若 c,所以(4)錯誤.解題策略在利用不等式的基本性質(zhì)2和基本性質(zhì)3時,關(guān)鍵是看不等式的兩邊都乘(或除以)的是一個什么性質(zhì)的數(shù),從而確定不等號是否改

43、變.3不等式的解集1.能根據(jù)具體情境理解不等式的解與解集的意義.2.能在數(shù)軸上表示不等式的解集.1.培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實情境中探索、發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題的能力.2.經(jīng)歷求不等式的解集的過程,通過嘗試把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來,引導(dǎo)學(xué)生體驗用數(shù)軸表示不等式的解集具有直觀的優(yōu)越性,增強學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識.通過從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型、探索求不等式的解集的過程,讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,體驗數(shù)學(xué)活動充滿了探究性和創(chuàng)造性.【重點】1.理解不等式的解與解集的概念.2.探索不等式的解集并能在數(shù)軸上表示出來.【難點】不等式解集的數(shù)軸表示.【教師準備】多媒體課件.【學(xué)生準備】復(fù)習(xí)上一節(jié)不等式的基

44、本性質(zhì).導(dǎo)入一:師:上節(jié)課,我們類比等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出了不等式的基本性質(zhì),并且討論了它們的異同點.下面我找一位同學(xué)簡單地回顧一下不等式的基本性質(zhì).生:不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加(或減)同一個整式,不等號的方向不變.不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.師:很好.在學(xué)習(xí)了等式的基本性質(zhì)后,我們利用等式的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)了一元一次方程,知道了方程的解、解方程等概念,大家還記得這些概念嗎?生:記得.能夠使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值就是方程的解.求方程的解的過程,叫做解方程.師:

45、非常好.上節(jié)課我們用類比的方法,仿照等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出了不等式的基本性質(zhì),那么能不能按此方法推導(dǎo)出不等式的解和解不等式的概念呢?本節(jié)課我們就來試一試.設(shè)計意圖讓學(xué)生回顧前一節(jié)知識及相關(guān)內(nèi)容,為本節(jié)課的教學(xué)做好知識準備,起到承上啟下的作用.導(dǎo)入二:一輛勻速行駛的汽車在11:20時距離A地50 km,如果這輛車要在12:00之前駛過A地,那么車速應(yīng)滿足什么條件?如果設(shè)車速為x km/h,那么滿足條件的x的值有哪些?設(shè)計意圖通過具體的問題情境,幫助學(xué)生領(lǐng)會不等式的解不是唯一的,為引入解集的含義做鋪墊.一、用不等式解決實際問題過渡語同學(xué)們,我們來看下面的問題,看看我們能不能解決.燃放某種煙花時,為了確保安全,燃放者在點