第七章第五節(jié)降階.ppt

1、,可降階高階微分方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第五節(jié),一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點受力F 的作用沿 ox 軸作直線,運動,在開始時刻,隨著時間的增大 , 此力 F 均勻地減,直到 t = T 時 F(T) = 0 .,如果開始時質(zhì)點在原點,解: 據(jù)題意有,t = 0 時,設力 F 僅是時間 t 的函數(shù): F = F (t) .,小,

2、求質(zhì)點的運動規(guī)律.,初初速度為0,且,對方程兩邊積分, 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用初始條件,于是,兩邊再積分得,再利用,故所求質(zhì)點運動規(guī)律為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,型的微分方程,設,原方程化為一階方程,設其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求解,解:,代入方程得,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,繩索僅受,重力作用而下垂,解: 取坐標系如圖.,考察最低點 A 到,( : 密度, s :弧長),弧段重力大小,按靜力平衡條件, 有

3、,故有,設有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ?,任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況:,兩式相除得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則得定解問題:,原方程化為,兩端積分得,則有,兩端積分得,故所求繩索的形狀為,懸 鏈 線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 求解,代入方程得,兩端積分得,(一階線性齊次方程),故所求通解為,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,M : 地球質(zhì)量 m : 物體質(zhì)量,例6.,靜止開始落向地

4、面, 求它落到地面時的速度和所需時間,(不計空氣阻力).,解: 如圖所示選取坐標系.,則有定解問題:,代入方程得,積分得,一個離地面很高的物體, 受地球引力的作用由,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩端積分得,因此有,注意“”號,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由于 y = R 時,由原方程可得,因此落到地面( y = R )時的速度和所需時間分別為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 若此例改為如圖所示的坐標系,解方程可得,問: 此時開方根號前應取什么符號? 說明道理 .,則定解問題為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 解初值問題,解: 令,代入方程得,積分得,利用

5、初始條件,根據(jù),積分得,故所求特解為,得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),可降階微分方程的解法, 降階法,逐次積分,令,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,1. 方程,如何代換求解 ?,答: 令,或,一般說, 用前者方便些.,均可.,有時用后者方便 .,例如,2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?,答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便.,(2) 遇到開平方時, 要根據(jù)題意確定正負號.,例6,例7,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4,作業(yè),第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,速度,大小為 2v, 方向指向A ,提示: 設 t 時刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示, 則有,去分母后兩邊對 x 求導, 得,又由于,設物體 A 從點( 0, 1 )出發(fā), 以大小為常數(shù) v,備用題,的速度沿 y 軸正向運動,物體 B 從 (1, 0 ) 出發(fā)