多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法.ppt

1、多元函數(shù)的極值和最值,條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,小結 思考題 作業(yè),第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與 拉格朗日乘數(shù)法,第八章 多元函數(shù)微分法及其應用,主講人：,一、多元函數(shù)的極值和最值,1.極大值和極小值的定義,一元函數(shù)的極值的定義:,是在一點附近,將函數(shù)值比大小.,定義,點P0為函數(shù)的極大值點.,類似可定義極小值點和極小值.,?,設在點P0的某個鄰域,為極大值.,則稱,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的,函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的,多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.,有時,極值.,極值點.,內的值比較.,是與P0的鄰域,極小值可能比極大值

2、還大.,例,例,例,函數(shù) 存在極值,在(0,0)點取極小值.,在(0,0)點取極大值.,(也是最大值).,在(0,0)點無極值.,?,橢圓拋物面,下半個圓錐面,馬鞍面,在簡單的情形下是,容易判斷的.,函數(shù),函數(shù),(也是最小值).,函數(shù),2.極值的必要條件,證,定理1,(必要條件),則它在該,點的偏導數(shù)必然為零:,有極大值,不妨設,都有,說明一元函數(shù),有極大值,必有,類似地可證,推廣,如果三元函數(shù),具有偏導數(shù),則它在,有極值的必要條件,為,均稱為函數(shù)的,駐點,極值點,仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導數(shù)同時為零的,點,駐點.,如何判定一個駐點是否為極值點,如,駐點,但不是極值點.,?,3.極值的充分條

3、件,定理2,(充分條件),的某鄰域內連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),處是否取得極值的條件如下:,(1),有極值,有極大值,有極小值;,(2),沒有極值;,(3),可能有極值,也可能無極值.,求函數(shù) 極值的一般步驟:,第一步,解方程組,求出實數(shù)解,得駐點.,第二步,對于每一個駐點,求出二階偏導數(shù)的值,第三步,定出,的符號,再判定是否是極值.,例,解,又,在點(0,0)處,在點(a,a)處,故,故,即,的極值.,在(0,0)無極值;,在(a,a)有極大值,解,練習,求由方程,將方程兩邊分別對x, y求偏導數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點為,將上方程組再分別對x, y求偏導數(shù),法一,故,函數(shù)在P有極

4、值.,代入原方程,為極小值;,為極大值.,所以,所以,求由方程,解,練習,法二,配方法,方程可變形為,于是,顯然,根號中的極大值為4,由可知,為極值.,即,為極大值,為極小值.,取得.,然而,如函數(shù)在個別點處的偏導數(shù)不存在,這些點當然不是駐點,如:,函數(shù),不存在,但函數(shù)在點(0,0)處都具有極大值.,在研究函數(shù)的極值時,除研究函數(shù)的駐點外,還應研究偏導數(shù)不存在的點.,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點處,但也可能是極值點.,在點(0,0)處的偏導數(shù),2003年考研數(shù)學(一), 4分,選擇題,已知函數(shù)f (x, y)在點(0, 0)的某個鄰域內連續(xù),則,(A) 點(0, 0)不是f (x, y

5、)的極值點.,(B) 點(0, 0)是f (x, y)的極大值點.,(C) 點(0, 0)是f (x, y)的極小值點.,(D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(0, 0)是否為f (x, y)的極值點.,其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,4.多元函數(shù)的最值,求最值的一般方法,最小者即為最小值.,將函數(shù)在D內的所有嫌疑點的函數(shù)值及,在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,解,(1) 求函數(shù)在D內的駐點,由于,所以函數(shù)在D內無極值.,(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值,(現(xiàn)最值只能在邊界上),圍成的三角形閉域D上的,最大(小)值.,例,D,在邊界線,在邊界線

6、,由于,最小,由于,又在端點(1,0)處,所以,最大.,有駐點,函數(shù)值,有,單調上升.,在邊界線,所以, 最值在端點處.,由于,函數(shù)單調下降,(3),比較,解,練習,此時,的最大值與最小值.,駐點,得,對自變量有附加條件的極值.,其他條件.,無條件極值,對自變量除了限制在定義域內外,并無,條件極值,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,解,例,已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高,各取什么值時長方體的體積最大？,設長方體的長、寬、高分別為,由題意,長方體的體積為,且長方體體積,一定有最大值,體體積最大.,故當?shù)拈L、寬、高都為6時長方,由于V在D內只有一個駐點,上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù),

7、的極值,要受到條件,的限制,這便是一個條件極值,問題.,目標函數(shù),約束條件,有時條件極值,目標函數(shù)中化為無條件極值.,可通過將約束條件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介紹解決條件極值問題的一般,方法:,下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法,拉格朗日乘數(shù)法:,現(xiàn)要尋求目標函數(shù),在約束條件,下取得,如函數(shù)(1)在,由條件,(1),(2),極值的必要條件.,取得所求的極值,那末首先有,(3),確定y是x的隱函數(shù),不必將它真的解出來,則,于是函數(shù)(1),即,取得所,取得極值.,求的極值.,其中,代入(4)得:,由一元可導函數(shù)取得極值的必要條件知:,(4),取得極值.,在,(3) ,(5)兩

8、式,取得極值的必要條件.,就是函數(shù)(1)在條件(2)下的,設,上述必要條件變?yōu)?,(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):,(6),的兩個一階偏導數(shù)在,的值.,函數(shù),稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個待定常數(shù).,拉格朗日乘數(shù)法:,極值的必要條件,在條件,要找函數(shù),下的可能極值點,先構造函數(shù),為某一常數(shù),其中,可由,解出,其中,就是可能的極值點的坐標.,如何確定所求得的點,實際問題中,非實際問題我們這里不做進一步的討論.,拉格朗日乘數(shù)法可推廣:,判定.,可根據(jù)問題本身的性質來,的情況.,自變量多于兩個,是否為極值點,?,解,則,又是實際問題,解得唯一駐點,一定存在最值.,令,解,為橢球面上的一點

9、,令,則,的切平面方程為,在第一卦限內作橢球面,的,使切平面與三個坐標面所圍成的,例,切平面,四面體體積最小,求切點坐標.,目標函數(shù),該切平面在三個軸上的截距各為,化簡為,所求四面體的體積,約束條件,在條件,下求V 的最小值,約束條件,令,由,目標函數(shù),可得,即,當切點坐標為,四面體的體積最小,練習,解,為簡化計算,令,是曲面上的點,它與已知點的距離為,問題化為在,下求,的最小值.,目標函數(shù),約束條件,設,(1),(2),(3),(4),由于問題確實存在最小值，,故,得唯一駐點,還有別的簡單方法嗎,?,用幾何法!,練習,解,為此作拉格朗日乘函數(shù):,上的最大值與最小值.,在圓內的可能的極值點;,

10、在圓上的最大、最小值.,最大值為,最小值為,2002年考研數(shù)學(一), 7分,設有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標面,其底部所占的區(qū)域為,小山的高度函數(shù)為,(1) 設M(x0 , y0)為區(qū)域D上一點,問h(x, y)在該點沿平面上什么方向的方向導數(shù)最大?,若記此方向導數(shù),的最大值為g(x0 , y0),試寫出g(x0 , y0)的表達式.,(2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點.,是說,要在D的邊界線,上找出使(1)中,的g(x, y)達到最大值的點.,試確定攀巖起點的位置.,也就,練習,解,(1) 由梯度的幾何意義知,方向的方向導數(shù)最大,h(x, y)在點M(x0 , y0),處沿梯度,方向導數(shù)的最大值為該,梯度的模,所以,(2) 令,由題意,只需求,在約束條件,下的最大值點.,令,則,(1),(2),(3),(1) + (2):,從而得,由(1)得,再由(3)得,由(3)得,于是得到4個可能的極大值點,可作為攀登的起點.,多元函數(shù)極值的概念,條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件,多元