《歐幾里得空間》PPT課件.ppt

1、第九章 歐幾里得空間,線性空間,長度,夾角等度量性質(zhì),在幾何空間中:,向量的長度:,非零向量的夾角:,1. 定義與基本性質(zhì),定義 1 設(shè) 是實數(shù)域 上的線性空間，在 中定義了 一個二元實函數(shù),稱為內(nèi)積,記作 ,它具有以下性質(zhì):,1) ；,2) ；,3) ；,4) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時, ,其中 是 中任意的向量, 是任意實數(shù),這樣的線性空間 稱為歐幾里得空間，簡稱為歐氏空間.,1）幾何空間中向量的全體，按照向量的內(nèi)積；,2）線性空間 ，定義,幾個常見的歐氏空間：,其中,3） ：閉區(qū)間a,b所有實連續(xù)函數(shù)的全體。定義,定義 2 非負(fù)實數(shù) 稱為向量 的長度,記為 .,在幾何空間中:,向量的長度:,“長度

2、”概念的引入：,說明：,1）除了零向量的長度為零以外，向量的長度為正；,2）長度滿足性質(zhì)：,3）長度為1的向量稱為單位向量，任意非零向量 對應(yīng),單位向量 ，稱為 的單位化。,“夾角”概念的引入：,幾何空間中:,非零向量的夾角:,在歐氏空間中能否類似定義？,柯西布涅柯夫斯基不等式：,當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時，等號才成立.,對任意的向量 ，,定義 3 非零向量 的夾角 規(guī)定為：,幾個重要的不等式：,1）柯西不等式,2）施瓦茲不等式,3）三角不等式,定義 4 如果向量 的內(nèi)積為零，即,那么 稱為正交或互相垂直，記為,這與解析幾何中正交的說法一致，且兩個非零向量正交 當(dāng)且僅當(dāng)它們的夾角為 。,顯然，只有零

3、向量才與自己正交。,勾股定理：,如果向量 兩兩正交，則有,在有限維歐氏空間中討論：,設(shè) 是 維歐氏空間， 是 上的一組基，,稱矩陣 為基 的度量矩陣，其中,， 即,顯然，度量矩陣是對稱矩陣。,度量矩陣的性質(zhì)：,1）度量矩陣完全確定了內(nèi)積，即對于任意的向量 ，若,則有,其中,2）不同基下的度量矩陣合同。,3）度量矩陣是正定矩陣。,2.標(biāo)準(zhǔn)正交基,定義 5 歐氏空間 中一組非零的向量, 如果它們兩兩正 交, 就稱為一組正交向量組.,性質(zhì):正交向量組是線性無關(guān)的.,實例:幾何空間,從而，在n維歐氏空間中，兩兩正交的非零向量不會超過n個。,定義 6 在 n 維歐氏空間中, 由n 個,向量組成的正交向量

4、組稱為正交基;由單位向量組成的正,交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.,性質(zhì):,1) 一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)其度量矩陣為單位矩陣;,2) 任意一個歐氏空間存在標(biāo)準(zhǔn)正交基.,用處:,表達(dá)向量的坐標(biāo)和內(nèi)積。,定理 1 在 n 維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基.,如何求標(biāo)準(zhǔn)正交基呢?,證明過程實際就是直接求歐氏空間上的正交基的方法.,正交基,標(biāo)準(zhǔn)正交基,已知歐氏空間上的一組基, 如何求正交基?,定理 2 對于 n 維歐氏空間中任意一,組基 ,都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,上面等式說明，這兩組基之間的過渡矩陣是上三角矩陣。,施密特(Schimidt)正交化過程:,正交化:,單位化:,例 把,變成單位正

5、交的向量組.,標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的基變換公式:,設(shè) 與 是歐氏空間V 中,的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基,它們之間的過渡矩陣是 ,即,定義 7 如果如果 級實矩陣 滿足 ，則稱 為正交矩陣.,由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是 正交矩陣;,若兩組基之間的過渡矩陣是正交矩陣，且其中 一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則另一組基也是標(biāo)準(zhǔn)正交基.,3. 同構(gòu),定義 8 實數(shù)域 上歐氏空間 與 ,如果存在由 到 的一個雙射 ,且對任意的,滿足,則稱 與 同構(gòu),映射 稱為 到 的同構(gòu)映射.,性質(zhì):,同構(gòu)的歐氏空間必有相同的維數(shù).,每個 n 維的歐氏空間都與 同構(gòu).,反身性, 對稱性, 傳遞性.,任意兩個n維歐式空間都同構(gòu).,定理 3

6、 兩個有限維歐式空間同構(gòu)的充要條件是,它們的維數(shù)相同.,4.正交變換,解析幾何中的正交變換，就是保持點之間的距離不變的變換.,則稱 A 為正交變換.,定義 9 設(shè) A 是歐氏空間 上的線性變換，如果它,保持向量的內(nèi)積不變，即對于任意的 ，都有,定理 4 設(shè) A 是n維歐氏空間 的一個,線性變換，于是下面四個命題是相互等價的:,1) A 是正交變換;,2) A 保持向量的長度不變,即對于,3) 如果 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么,也是標(biāo)準(zhǔn)正交基;,4) A 在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.,正交變換的性質(zhì):,正交變換可逆.,正交變換的乘積還是正交變換.(正交矩陣),正交變換的逆變換還是正交變換.(正

7、交矩陣),正交變換的分類:,行列式等于+1的正交變換稱為旋轉(zhuǎn),或稱為第一類的.,行列式等于-1的正交變換稱為第二類的.,5. 子空間,定義 10 設(shè) 是歐氏空間 中的,兩個子空間,如果對于任意的 ,恒有,則稱 為正交的, 記為,一個向量 ,如果對于任意的 ,恒有,則稱 與子空間 正交,記為,定理 5 如果子空間 兩兩正交，,那么和 是直和.,定義 11 如果 ,并且 ,則稱子空間,的正交補(bǔ).,定理 6 n維歐氏空間 的每一個子空間 都有唯一,為子空間 的一個正交補(bǔ).記作 .,推論 恰由所有與 正交的向量組成。,6.實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,任意一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣，即都,存在一個可逆矩陣

8、 ,使 成對角形.,本節(jié)主要結(jié)果:,對于任意一個n級實對稱矩陣A,都存在一個n級正交矩陣,T,使 成對角形.,要證明這個結(jié)果,需要如下準(zhǔn)備:,引理 1 設(shè)A是實對稱矩陣,則A的特征值皆為實數(shù).,對應(yīng)于實對稱矩陣A,在n維歐氏空間 上定義一個線性變換 A 如下:,則有 A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基,下的矩陣是A.,引理 2 設(shè)A是實對稱矩陣, A 的定義如上,則對任意 ,有,或,定義 12 歐氏空間中滿足等式,的線性變換稱為對稱變換.,引理 3 設(shè)A 是對稱變換, 是 A 子空間,則 也是 A 子空間.,特征值的特征向量必正交.,引理 4 設(shè)A是實對稱矩陣,則 中屬于A 的不同,定理 7 對于任意一個n級實對稱矩陣A,都存在一個n級,正交矩陣T,使 成對角形.,給定一個實對稱矩陣A,如何求定理7 中的正交矩陣T ?,1.求出A的特征值,設(shè) 使A的全部不同的 特征值.,2.對于每個 ,解齊次線性方程組,求出一個基礎(chǔ)解系,這就是A的特征子空間,的一組基,由這組基出發(fā),求出 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,3.因為 兩兩不同,所以向量組,標(biāo)準(zhǔn)正交基,以它們