2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差ppt課件.ppt

1、2.3離散型隨機(jī)變量的均值和方差,高二數(shù)學(xué) 選修2-3,1,一、復(fù)習(xí)回顧,1、離散型隨機(jī)變量的分布列,2、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1,2,復(fù)習(xí)引入,對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。 我們還常常希望直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差.,3,二、互動(dòng)探索,1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)

2、分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4； （1）設(shè)他所得環(huán)數(shù)為X,求X的分布列 (2)求他所得的平均環(huán)數(shù)是多少？,4,（1）環(huán)數(shù)為X的可能所取的值為什么，1，2，3，4，其分布列,權(quán)數(shù),加權(quán)平均,1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4； （1）設(shè)他所得環(huán)數(shù)為X,求X的分布列 (2)求他所得的平均環(huán)數(shù)是多少？,5,一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值,數(shù)學(xué)期望,一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：,則稱,為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。,6,1、隨機(jī)變量的分布列是,(1)則E= .,2、隨機(jī)變量的分布列是,2.4,E=

3、7.5,則a= b= .,0.4,0.1,7,則 P(Y)=P(aX+b)=P(X= xi)=pi , i=1,2,3,(2)E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn,若Y=aX+b，其中a, b為常數(shù)，X為隨機(jī)變量;,(1)寫出隨機(jī)變量Y的分布列；,(2)求Y的均值。,解:(1)由題意,知Y也為隨機(jī)變量,所以，Y的分布列為：,=a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+pn),=aE(X)+b,即 E(aX+b)= aE(X)+b,8,例1 籃球比賽中,罰球命中一次得1分，不中得0分，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是多少

4、?,解:,于是有若X服從二點(diǎn)分布，,一般地，如果隨機(jī)變量X服從二點(diǎn)分布，那么,E(X)=1p + 0(1-p)=p,則E(X) = p.,9,若X B(n, p),若X服從二項(xiàng)分布，則 E(X)= nP。,10,歸納求離散型隨機(jī)變量的均值(期望)的步驟：,、確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。,、寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。,、求出均值(期望)。,11,1：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1， X2分布列如下：,從以數(shù)據(jù)你能否說(shuō)明誰(shuí)的射擊水平高？,解,表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會(huì)很大，,12,2. 有場(chǎng)賭博，規(guī)則如下：如擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)1，你贏10

5、元；出現(xiàn)2或3或4，你輸3元；出現(xiàn)5或6，不輸不贏這場(chǎng)賭博對(duì)你是否有利?,對(duì)你不利!勸君莫參加賭博.,13,3、某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？,解：把3種糖果的價(jià)格看成隨機(jī)變量的概率分布列：,14,不一定,其含義是在多次類似的測(cè)試中,他的平均成績(jī)大約是90分,例2.一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確,每題選對(duì)得5分,不選或選錯(cuò)不得分,滿分100分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中

6、的成績(jī)的均值.,解:設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中選擇正確的選擇題個(gè)數(shù)分別是和,則,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E200.918，,E200.255,由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5.這樣，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考:學(xué)生甲在這次測(cè)試中的成績(jī)一定會(huì)是90分嗎?他的均值為90分的含義是什么?,15,例3.根據(jù)氣象預(yù)報(bào),某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25, 有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備,遇到大洪水時(shí)要損失60 000元,遇到小洪水時(shí)要損失10 000元.為保護(hù)設(shè)備,

7、有以下3種方案: 方案1: 運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)3 800元; 方案2: 建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為2 000元.但圍墻只能防小洪水. 方案3: 不采取措施. 試比較哪一種方案好?,解:用X1, X2和X3分別表示三種方案的損失,采用第1種方案,無(wú)論有無(wú)洪水,都損失3 800元,即X1=3 800,采用第2種方案,遇到大洪水時(shí),損失2000+60000=62000元;,沒(méi)有大洪水時(shí),損失2000元,即,16,于是,E(X2)=62000P(X2=62000)+2000P(X2=2000),E(X1)=3800,E(X3)=60000P(X3=60000) +10000P(X3=10000)+0P(X3=

8、0),采用第3種方案, 有,方案3: 不采取措施.,=620000.01+2000(1-0.01)=2600,=600000.01+100000.25=3100,顯然,采取方案2的損失最小,所以可以選擇方案2.,17,所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的,值得注意的是，上述結(jié)論是通過(guò)比較“平均損失”而得出的,一般地，我們可以這樣來(lái)理解“平均損失”：,假設(shè)問(wèn)題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使損失減到最小,由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，,18,1口袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼，則E值的是() A4B4.5 C

9、4.75 D5,3若隨機(jī)變量B(n,0.6)，且E3，則P(1)的值是() A20.44 B20.45 C30.44 D30.64,B,A,C,19,4已知X的概率分布如下，E(X)7.5，則a_.,7,5若隨機(jī)變量X的分布列是P(xk) 0.1k0.94k，k0,1，2,3,4.則EX_.,0.4,20,離散型隨機(jī)變量的均值的理解 (1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均 (2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是由X的概率分布唯一確定的，它描述X取值的平均狀態(tài) (3)變量YaXb的均值 E(aXb)aE(X)b說(shuō)明隨機(jī)變量X的線性函數(shù)YaXb的均值(或數(shù)學(xué)期望)等于隨機(jī)變量X的均值(或數(shù)學(xué)期

10、望)的線性函數(shù)，此式可有以下幾種特殊形式：,21,離散型隨機(jī)變量的方差,22,三維目標(biāo): 1.通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差 2.理解離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)并掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差 3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的方差 ，反映離散型隨機(jī)變量取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 教學(xué)重難點(diǎn) ： 重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量方差的概念與計(jì)算方法 難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)及應(yīng)用題 教學(xué)時(shí)間：2012年5月7日第十四周星期一,課題：離散型隨機(jī)變量的方差,23,溫故而知新,1、離散型隨機(jī)變量 X 的均值（數(shù)學(xué)期望）,2、均值的性質(zhì),3、兩種特殊分布的均值,（1）若隨機(jī)

11、變量X服從兩點(diǎn)分布，則,（2）若 ，則,反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.,24,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)均值相等,因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.,探究,25,（1）分別畫出 的分布列圖.,（2）比較兩個(gè)分布列圖形，哪一名同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定？,第二名同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定.,26,一組數(shù)據(jù)的方差：,在一組數(shù)：x1,x2 ,xn 中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ，則這組數(shù)據(jù)的方差為：,類似于這個(gè)概念,我們可以定義隨機(jī)變量的方差.,新課,27,離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差:,定義,注意：它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量,它們的值越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小,即越集中于均值,穩(wěn)定性越

12、大,28,練習(xí),因此第一名同學(xué)的射擊成績(jī)穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊 成績(jī)穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于8環(huán)左右.,29,理解概念,可能取值的方差為,30,隨機(jī)變量X的方差與X可能取值的方差何時(shí)相等,?,可能取值的方差為,31, 隨機(jī)變量的方差是常數(shù), 樣本的方差是隨機(jī)變量; 對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來(lái)越接近于總體方差，因此常用樣本方差來(lái)估計(jì)總體方差,32,隨著不同樣本值的變化而變化,是一個(gè)常數(shù),隨著不同樣本值的變化而變化，反映數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的平均程度，方差越小，偏離程度越小.,是一個(gè)常數(shù)，反映隨變量取值偏離均值的平均程度，方差越小，偏離程度越小.,33,1. 已知隨機(jī)變量X的分

13、布列,求DX.,解：,2. 若隨機(jī)變量X 滿足P（Xc）1，其中c為常數(shù)，求EX 和 DX.,EXc1c,DX（cc）210,練習(xí),小結(jié)：,(1)若 X 服從兩點(diǎn)分布，則,（2）若 ，則,解：,34,結(jié)論1： 則 ;,結(jié)論2：若B(n，p)，則E= np.,可以證明, 對(duì)于方差有下面三個(gè)重要性質(zhì)：,結(jié)論,結(jié)論2：若服從兩點(diǎn)分布，則 E= np.,（2）若 X 服從兩點(diǎn)分布，則,（3）若 ，則,35,例如：已知某離散型隨機(jī)變量的分布列如下，則a_，數(shù)學(xué)均值(期望)E_，方差D_. 2.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么DX_. 3一般地：隨機(jī)變量與隨機(jī)變量滿足關(guān)系ab，其中a，b為常數(shù)，則

14、D_.,n6p0.4,0.4,1,0.8,p(1p),a2D,4若B(n，p)，則D_. 例如：設(shè)B(n，p)，且E2.4，D1.44，求n，p.,np(1p),36,例題,例1隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點(diǎn)數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差. 課本P66例4,解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)X 的分布列為,從而,37,例2 有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：,根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？,比什么？,怎么比？,1 比均值,2 比方差,38,(1200-1400)20. 4 + (1400-1400 )20.3 + (1600 -1400 )20.2+(1800-1400)2

15、0.1= 40 000,12000.4+14000.3+16000.2+18000.1=1400,E(X1)=,E(X2)=,10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400,D(X1)=,(1000-1400)20. 4+(1400-1400)20.3 +(1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l=160000 .,D(X2)=,因?yàn)镋(X1)=E(X2),D(X1)D(X2)，,所以兩家單位的工資均值相等，,但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中， 乙單位不同職位的工資相對(duì)分散,這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同

16、職位的工資差距大一些，就選擇乙單位,39,1已知隨機(jī)變量的分布列為：P(k) ，k1,2,3，則D(35)() A6 B9 C3 D4,2設(shè)B(n，p)，且E12，D4，則n與p的值分別為(),A,C,40,4設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，且EX1.6，DX1.28，則() An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45,A,3.已知3 ，且D13，那么D的值為() A39 B117 C39 D117,解析：DD(3 )9D913117. 答案：B,41,5已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表若EX0，DX1，則a_，b_.,42,題型四 期望與方差的綜合應(yīng)用 【例4】(14分)（2008廣東）隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而生產(chǎn)1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為. (1)求的分布列； （2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）； （3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等品率提高為70%,如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？,43,分析 求的分布列時(shí)，要先求取各值時(shí)的概率.,解 （1）的所