2019年中科大創(chuàng)新班筆試數(shù)學真題及答案

1、20192019 年中國科學技術大學創(chuàng)新班筆試數(shù)學真題年中國科學技術大學創(chuàng)新班筆試數(shù)學真題 【天科教育研究院】【天科教育研究院】 一、填空題（每小題一、填空題（每小題 5 5 分，共分，共 4040 分，結果須化簡）分，結果須化簡） 1. 雙曲線 3 2 x xy的離心率為_. 2. 平面區(qū)域5432yxyx的面積為_. 3. 平面與正八面體相交，截口多邊形邊數(shù)的最大值為_. 4. 設O是ABC的外心， 0654 OCOBOA ，則BACtan_. 5. 設曲線111 33 yx關于直線 bkxy對稱，則bk,_. 6. 設ttytx, 6 cos4, 3 cos3 是參數(shù)，則 22 yx 的

2、最大值為_. 7. 設Nxxxx 4321 ,.若54,36,1841kjixxx kji ，求 4321 xxxx_. 8. 設復數(shù)sincosiz，其中i , 2019 2 是虛數(shù)單位，則 _. 2019 2020 1 互素與k k k z 二、（二、（2020 分）分）設2 , 0 x.求函數(shù) xxx xf 3 1 31 4 5 4 2 的取值范圍. 三三、 （2020 分分）隨機選取n, 2 , 1 的一個排列., 21n xxx 若ixi，則i稱為排列 n xxx, 21 的一個不動點.排列 n xxx, 21 的不動點個數(shù)記作隨機變量. n X求 6 X的數(shù)學期望. 四、（四、（2

3、020 分）分）設正整數(shù), 2n并且對于所有與n互數(shù)的整數(shù) , a 都有.modnaan 證明：（1）n無平方因子；（2）若n的素因子個數(shù)不超過 2，則n是素數(shù). 本試題由天科教育研究院整理。本試題由天科教育研究院整理。 20192019 年中國科學技術大學創(chuàng)新班筆試數(shù)學真題答案年中國科學技術大學創(chuàng)新班筆試數(shù)學真題答案 【天科教育研究院解答】【天科教育研究院解答】 本試題由天科教育研究院解答。本試題由天科教育研究院解答。 1.1.5432yxyx區(qū)域面積. 1 1 . .答案：答案：2525 解析：解析： 畫出可行域如圖， 25 4 25 *44 ABOABCD SS 。 2.方程2 , 0,

4、 03cos2sinxxx的所有根之和. 2 .答案：答案：6 解析：解析： 6 . 10 19 , 2 3 , 10 11 , 10 7 , 2 , 10 3 2 2 3 32 2 2 3 32 2 , 0), 2 3 3sin()3cos()2sin( 所求和為 x kxx kxx xxxx 3.3. 1 , 00 , 1BA,C點 x x 1 , ，則 min ABC S =. 3 3 . .答案：答案： 2 1-23 3 2 - 如圖點如圖點 C C) 1 ,( x x 2 1-23 2 1 32 1 3 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 - 3 xx x

5、 x xSSSS AOBBOCAOCABC 4.4. tytx 6 sin4, 3 cos3 則min 22 yx. 4 4 . .答案：答案：3636 解析：解析： 3613),( ,4 , 2 4 6 sin 3 cos3 22 ，義軌跡為線段，由幾何意 yxyxx yttx 5 5 . .給定一個定角， 設)0 , 1 ( 0 P 將 i OP 順時針旋轉得到 i OQ , i OQ 與y軸對稱的稱 為 1 i OP ，求 2019 P 坐標。 5 5 . .答案：畫出圖可以看出周期性，答案：畫出圖可以看出周期性，)sin,cos( 2019 P 6 6 . . 112 , 2 1 11

6、 n n n xn x xx ，則 2019 1k k x . 6.6.答案：答案： 2020 2019 解析：解析： 2020 2019 2020 1 1 1 11 ) 1(n 1 ) 1(2 11 2019 1 1 k k n nn x nnn xn xx 7 . 1 1 z z 為純虛數(shù)，則 min 2 3zz. 7 .答案答案: : 3 33 解析：由幾何意義注意解析：由幾何意義注意的夾角與11zz，z z 的軌跡為單位圓上對應復數(shù)的軌跡為單位圓上對應復數(shù), ,所以所以 3 33 5cos8cos12sin4) 1cos4( 1sin2cos43133 min 2 min 22 min

7、 minmin 2 min 2 izzzzzzz 8 8 . .已知 4321 ,xxxx ，且 54,36,1841kjixxx kji ，求 4321 xxxx . 答案：答案：14 解析：解析： 6, 3, 3, 210854363618 .54,36,36,18 4321 3 4321 432421431321 4321 xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx 則 假設 9 . 解析：解析： 4 615 . 2 103 , 2 10 , 2 63 .36,25,16 .,. 222222 ABCD Vcba accbba cba ABCD 假設其邊長為置入到長方體即可 體

8、是一個對棱相等的四面易知：四面體 10 . 解析：解析：令 n k k n k x xf 0 ! 用數(shù)學歸納法證明n為奇數(shù)時 0 xxfe n x ，n為偶數(shù)時 0 xxfe n x 0 xxfe n x n為 1 時xex1成立，n為 0 時01xex，01xex n為奇， 0 xxfe n x , 1n為偶，令 xfexg n x 1 )0(0, 00 1 時 xxfexfexgg n x n x 所以 000, 0, 0 xggxgx , 000, 0, 0 xggxgx . n為偶 0 xxfe n x ， 0 xxfe n x 1n為奇 xfexg n x 1 , xfexgg n x , 00 0 x時， 0, 00 0 xgg xfexg n x 所以 , 0 x時， 0, 00 0 xgg xfexg n x 所以 11. 解析：解析：（1）用數(shù)學歸納法：coscos，1cos22cos 2 假設當kn ，1k結論成立， 當 n=k+2 時候：)cos() 1cos(cos2)2cos(kkk 2kn命題也成立，且最高次系數(shù)為 1 2 n