自動(dòng)控制原理 第4章 根軌跡法[4.3-4.5].ppt

1、4.3在繪制殘奧度量根軌跡、根軌跡時(shí)，如果可變殘奧儀表不是根軌跡增益而是其它殘奧儀表(例如，某個(gè)校正要素的時(shí)間常數(shù))，則將得到的根軌跡稱為殘奧度量根軌跡。 繪制殘奧儀表根路徑的規(guī)則與繪制普通根路徑的規(guī)則完全相同。 如果在繪制殘奧儀表根軌跡之前引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)的概念，則普通根軌跡的所有繪制規(guī)則都將應(yīng)用于殘奧儀表根軌跡的繪制。 為此，需要對(duì)閉環(huán)特征方程式(4-36 )進(jìn)行等價(jià)變換，寫(xiě)成(4-37 )。 其中，a是除了k之外的系統(tǒng)中的任何變化的殘奧參數(shù)，和是與a無(wú)關(guān)的兩個(gè)多項(xiàng)式。 顯然，式(4-36 )必須與式(4-37 )相等，即，從(4-38 )、式(4-38 )得到等效的單位

2、反饋系數(shù)，其等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)還可以通過(guò)式(4-38 )得到閉環(huán)零點(diǎn)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在從閉環(huán)零、極點(diǎn)分布分析、估計(jì)系統(tǒng)性能時(shí)可以采用殘奧儀表根軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn)，但是必須采用原始閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。 該處理方法和結(jié)論同樣適用于描繪開(kāi)環(huán)零極變化時(shí)的根軌跡。 例4-5的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖如圖4-14所示，試著描繪為殘奧儀表的根軌跡。 解：本系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是圖4-14的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖，并且因?yàn)樵撓到y(tǒng)是殘奧表，所以不能被下一極描繪出系統(tǒng)的根軌跡。 為了基于該問(wèn)題描繪以下閉環(huán)特征方程、的根軌跡，將上式改寫(xiě)為，取系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。 這里，的極點(diǎn)是零點(diǎn)。 例子43的方法容易地證明系統(tǒng)的根軌跡的

3、多個(gè)部分是圓弧，因此方程是正的。 圖4-15是該系統(tǒng)的根軌道。圖4-15例4-5的根軌跡在系統(tǒng)設(shè)定糾正中有時(shí)存在兩個(gè)以上的可變殘奧儀表，這樣的問(wèn)題也能夠用根軌跡法來(lái)研究。 下面的示例說(shuō)明當(dāng)有兩個(gè)可變殘奧參數(shù)時(shí)如何繪制根軌跡。 例4-6單位反饋控制系統(tǒng)，如圖4-16所示，試制以k和為關(guān)殘奧儀表的根軌跡。圖4-16單位反饋控制系統(tǒng)、解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為先令、上式、或?qū)?、指令，從而建立?duì)應(yīng)的根軌跡，如圖4-17(a )所示。 如果是，則為殘奧儀表的根軌跡。 接下來(lái)，重寫(xiě)閉環(huán)特征方程式、可以認(rèn)為對(duì)應(yīng)的根軌跡的起點(diǎn)是在全部根軌跡曲線上，因?yàn)楸容^清楚的開(kāi)環(huán)極是對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極。 為了創(chuàng)建對(duì)應(yīng)的根軌跡，信

4、令k通常是恒定值并且接下來(lái)是從零的極點(diǎn)分布創(chuàng)建殘奧儀表時(shí)的根軌跡。 假設(shè)K=4，則其極點(diǎn)為j2，零點(diǎn)為0。 與特征方程式對(duì)應(yīng)的根軌跡也是圓弧，可以容易地證明該方程式是圖4-17(b )取不同值時(shí)制作的根軌跡簇。圖4-17根軌跡圖、4.4非最小相位系統(tǒng)的根軌跡、WORDS AND PHRASES、非最小相位系統(tǒng)、在平面右半平面具有開(kāi)環(huán)極(或零點(diǎn))的反饋系統(tǒng)被稱為非最小相位系統(tǒng)(nonminimum-phasesses )的上述系統(tǒng)繪制非最小相位根軌跡的基本規(guī)則與繪制最小相位根軌跡的基本規(guī)則完全相同。 控制工序中出現(xiàn)非最小相位系，通常有以下3種情況。 (1)系統(tǒng)中存在局部正反饋電路。 (2)系統(tǒng)包

5、含非最小相位元件。 (3)系統(tǒng)中含有滯后現(xiàn)象。 這3種情況下，系統(tǒng)路線軌跡描繪的規(guī)則與上述的描繪規(guī)則不同，在下面分別進(jìn)行說(shuō)明。 4.4.1正反饋電路的路徑軌跡。 在一些控制中，內(nèi)環(huán)可以是正反饋內(nèi)回路，如圖4-18所示。當(dāng)具有正反饋內(nèi)部電路的控制系統(tǒng)變得不穩(wěn)定時(shí)，其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于s的右半平面。 在此只討論正反饋內(nèi)回路部分的路線軌跡的圖。 圖4-18是具有正反饋內(nèi)環(huán)的控制系統(tǒng)，圖4-18所示的內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中，對(duì)應(yīng)的特征方程式為、(4-40 )，由上式可知，正反饋環(huán)的路徑軌跡的振幅條件與負(fù)反饋環(huán)完全相同，但其相角為零度根軌跡(4-41 )、規(guī)則3的實(shí)軸上的線段成為根軌跡的充分條件(K0)是

6、該線段的右方的實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之和為偶數(shù)。 規(guī)則4漸近線與實(shí)軸所成的角為、(4-42 )，規(guī)則6開(kāi)環(huán)共軛極的出射角與開(kāi)環(huán)共軛零點(diǎn)的入射角為、(4-43 )、(4-44 )，除了上述3個(gè)規(guī)則，其馀的規(guī)則成為負(fù)反饋系統(tǒng)路線軌跡，在4.4.2系統(tǒng)中包含非最小相位要素當(dāng)系統(tǒng)包含非最小相位元素的根軌道時(shí)，應(yīng)注意開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(分母或分子)是否包含其s的最高冪為負(fù)系數(shù)的因子。 如果存在，則根軌跡的相角條件由式(441 )表示，描繪零度根軌跡。 對(duì)此，例如以下所示。 非最小相位關(guān)系如圖4圖19所示。 根據(jù)相角條件，圖4-19非最小相位系、圖4-19非最小相位系，即根據(jù)上式的路線軌跡的復(fù)數(shù)部分是圓周，該方

7、程式通過(guò)修正路線軌跡(參照?qǐng)D4-20 )與虛軸的交點(diǎn)是j1來(lái)求出，這表示該系統(tǒng)不穩(wěn)定圖4-20圖4-19所示的系統(tǒng)的路徑軌跡、4.4.3滯后系統(tǒng)的路徑軌跡在自動(dòng)控制系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，將其傳遞函數(shù)稱為時(shí)滯鏈接。 包含時(shí)間延遲的系統(tǒng)被稱為延遲系統(tǒng)，并且屬于非最小相位系統(tǒng)。 由于滯后現(xiàn)象的存在，相位系統(tǒng)的根軌跡有明顯的特征。 對(duì)此類系統(tǒng)根軌跡的相位條件和振幅條件進(jìn)行了說(shuō)明。 圖4-21是滯后系統(tǒng)的框圖，其閉環(huán)傳遞函數(shù)是圖4-21的滯后系統(tǒng)的框圖，與此相對(duì)應(yīng)，閉環(huán)特征方程式為(4-45 )，通過(guò)代入上式，分別求出滯后系統(tǒng)路徑軌跡的相角條件和振幅條件此時(shí)，s的實(shí)部和虛部分別影響路徑軌跡的振幅條件和

8、相角條件。 可知式(443 )所示的滯后系統(tǒng)路徑軌跡的相角條件不是一定的，是函數(shù)。 如果延遲時(shí)間較小，則可以近似表示為(4-47 )、(4-48 )，該近似能夠大幅簡(jiǎn)化高加法精度和根軌跡的描繪。 4.5路線軌跡解析控制系統(tǒng)、4.5.1路線軌跡決定系統(tǒng)相關(guān)的殘奧儀表、控制系統(tǒng)能夠選擇的殘奧儀表不限于開(kāi)環(huán)增益K(open-loop gain )的殘奧儀表，有時(shí)還需要選擇其他殘奧儀表。 在這種情況下，也可以使用根軌跡法。 對(duì)此，例如以下所示。 例4-7反饋系統(tǒng)如圖4-22所示。 請(qǐng)選擇殘奧儀表K1和K2，使系統(tǒng)同時(shí)滿足以下性能指標(biāo)的要求。 另外，圖4-22控制是斜坡輸入時(shí)的系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差ess0.3

9、5。 閉環(huán)電極的衰減比為0.707。 (3)調(diào)整時(shí)間ts3s。 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，取決于、而靜態(tài)誤差系數(shù)為、0.35。從上式可以看出，K2必須取最小值，并且K1必須取大值以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求。 在s的左半平面上，坐標(biāo)原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸通過(guò)形成45角的直線，在該直線上閉環(huán)電極的電阻比均為0.707。 要求調(diào)整時(shí)間，必須大于，3s，4/3。 閉環(huán)極點(diǎn)必須位于圖4-23所示的陰影區(qū)域內(nèi)，以便同時(shí)滿足和ts要求。圖4-24式(4-50 )的根軌道是靜態(tài)性能，其中，圖4-23的s平面上的期望極點(diǎn)的區(qū)域、指令、圖4-22所示的系統(tǒng)的特征方程式是、(4-49 )、或、等式(4-49 ) 式(4-49 )

10、通過(guò)改寫(xiě)為、(4-的該圖的坐標(biāo)原點(diǎn)，與負(fù)的實(shí)軸形成45角的直線，根據(jù)與根軌跡相交的、點(diǎn)、根軌跡的振幅條件求出，即，為了求出閉環(huán)電極的實(shí)部，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間由、圖4-25式(4-51 )求出系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與根軌跡的增益k有關(guān)。 如果k是已知的，則沿著特定的根軌跡分支，并且根據(jù)根軌跡的幅度條件可以通過(guò)啟發(fā)式方法獲得相應(yīng)的極點(diǎn)。 舉例如下。 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求出K0=0.5時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 由該系統(tǒng)的根軌跡圖426可以看出，在分離點(diǎn)s=0.423處，根據(jù)振幅條件求出K0=0.385。 由此可知，K0=0.5時(shí)，該系統(tǒng)的閉環(huán)電極是一對(duì)共軛復(fù)根和一個(gè)實(shí)根，該實(shí)根位于23之間。 由此可知，如果作為實(shí)

11、驗(yàn)點(diǎn)取s3=2.2，則從振幅條件求出的相應(yīng)K0值為，求出的K0值比指定值0.5稍大。 為此，試驗(yàn)了s3=2.192，求出K0=0.5010.5。 這表示K0=0.5時(shí)，s3=2.192是閉環(huán)的一極。 其一對(duì)共軛復(fù)極可以如下求出。 圖4-26條軌跡圖是因?yàn)镵0=0.5時(shí)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式用上式除以因子式(、)來(lái)求商。 然后，相應(yīng)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)確定具有4.5.3指定衰減比的閉環(huán)極點(diǎn)和單位階躍響應(yīng)，并且基于指定衰減比產(chǎn)生具有從根軌跡圖的坐標(biāo)原點(diǎn)到負(fù)實(shí)軸的角度的輻射。 是一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)電極，在其中確定該輻射和根軌跡之間的交點(diǎn)，以及與該電極相對(duì)應(yīng)的K0值是由幅度條件來(lái)確定的。 然后，以上述方法決定閉環(huán)的其它極性。 以圖4-27所示的系統(tǒng)為例進(jìn)行說(shuō)明。 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極的衰減比=0.5，(1)基于與系統(tǒng)的閉環(huán)極對(duì)應(yīng)的根軌跡增益K0 (2)單位階躍信號(hào)的輸出響應(yīng)。 從圖4-26所示的根軌跡可以看出，系統(tǒng)的一對(duì)閉環(huán)主極通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與負(fù)實(shí)軸所成的角度在兩條線上，顯然這兩條線與根軌跡的兩條分支必然交叉，交點(diǎn)是求出的一對(duì)閉環(huán)主極從圖中可以看出。 您可以選擇、或、或、或、或、或、或、或、或、或