高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 第二課時(shí) 三角函數(shù)線學(xué)案 新人教A版必修4

1、第二課時(shí)三角函數(shù)線預(yù)習(xí)課本P1517，思考并完成以下問題(1)有向線段是如何定義的？ (2)三角函數(shù)線是如何定義的？ 1有向線段帶有方向的線段叫做有向線段2三角函數(shù)線圖示正弦線的終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直于x軸，有向線段MP即為正弦線余弦線有向線段OM即為余弦線正切線過A(1,0)作x軸的垂線，交的終邊或其終邊的反向延長線于T，有向線段AT即為正切線點(diǎn)睛三角函數(shù)線都是有向線段因此在用字母表示這些線段時(shí)，也要注意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫順序也不能顛倒1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值()(2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正

2、負(fù)()(3)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線()答案：(1)(2)(3)2已知角的正弦線的長度為單位長度，那么角的終邊()A在x軸上B在y軸上C在直線yx上 D在直線yx上答案：B3角(0”或“三角函數(shù)線的作法典例作出的正弦線、余弦線和正切線解角的終邊(如圖)與單位圓的交點(diǎn)為P.作PM垂直于x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線AT，與的終邊的反向延長線交于點(diǎn)T，則的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線(2)作正切線時(shí)，應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引x軸的垂

3、線，交的終邊(為第一或第四象限角)或終邊的反向延長線(為第二或第三象限角)于點(diǎn)T，即可得到正切線AT.活學(xué)活用作出的正弦線、余弦線和正切線解：如圖所示，的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.三角函數(shù)線的應(yīng)用題點(diǎn)一：利用三角函數(shù)線比較大小1利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。簊in 與sin ；tan 與tan .解：如圖所示，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，其反向延長線與單位圓的過點(diǎn)A的切線的交點(diǎn)為T，作PMx軸，垂足為M，sin MP，tan AT；的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，其反向延長線與單位圓的過點(diǎn)A的切線的交點(diǎn)為T，作PMx軸，垂足為M，則sin MP，tan AT，由圖可見，MPMP

4、0，ATATsin ，tan tan .題點(diǎn)二：利用三角函數(shù)線解不等式2在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：(1)sin ；(2)cos .解：(1)作直線y交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.(2)作直線x交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.題點(diǎn)三：利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域3求函數(shù)f(x)ln的定義域解：由題意，得自變量x應(yīng)滿足不等式組即則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，即定義域?yàn)?1利用三

5、角函數(shù)線比較大小的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對值(2)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度，還要看其方向2利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法對于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c(diǎn)，只需作直線yb或xa與單位圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置，此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍(2)正切型不等式的解法對于tan xc，取點(diǎn)(1，c)連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長，即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍3利用三角函數(shù)

6、線求函數(shù)的定義域解答此類題目的關(guān)鍵在于借助于單位圓，作出等號成立時(shí)角的三角函數(shù)線，然后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，找出符合條件的角的范圍在這個(gè)解題過程中實(shí)現(xiàn)了一個(gè)轉(zhuǎn)化，即把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1角和角有相同的()A正弦線B余弦線C正切線 D不能確定解析：選C在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出角和角的三角函數(shù)線可知，正弦線及余弦線都相反，而正切線相等2已知角的正切線是長度為單位長度的有向線段，那么角的終邊在()A直線yx上B直線yx上C直線yx上或直線yx上Dx軸上或y軸上解析：選C由角的正切線是長度為單位長度的有向線段，得tan 1，故角的終邊在直線yx上或直線yx上3如果MP和OM分別

7、是角的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論正確的是()AMPOM0MPCOMMP0OM解析：選D是第二象限角，sin 0，cos 0，OM0OM.4已知角的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則的終邊在()A第一象限的角平分線上B第四象限的角平分線上C第二、第四象限的角平分線上D第一、第三象限的角平分線上解析：選C作圖(圖略)可知角的終邊在直線yx上，的終邊在第二、第四象限的角平分線上，故選C.5若是第一象限角，則sin cos 的值與1的大小關(guān)系是()Asin cos 1 Bsin cos 1Csin cos 1.6若角的余弦線長度為0，則它的正弦線的長度為_解析：若角的余弦線長度為0，則的終邊落在

8、y軸上，所以它的正弦線的長度為1.答案：17用三角函數(shù)線比較sin 1與cos 1的大小，結(jié)果是_解析：如圖，sin 1MP，cos 1OM.顯然MPOM，即sin 1cos 1.答案：sin 1cos 18若，則sin 的取值范圍是_解析：由圖可知sin，sin1，sin 1，即sin .答案：9作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線(1)；(2).解：(1)因?yàn)椋宰鞒鼋堑慕K邊如圖(1)所示，交單位圓于點(diǎn)P，作PMx軸于點(diǎn)M，則有向線段MPsin ，有向線段OMcos ，設(shè)過A(1,0)垂直于x軸的直線交OP的反向延長線于T，則有向線段ATtan .綜上所述，圖(1)中的有向線段MP，OM

9、，AT分別為角的正弦線、余弦線、正切線(2)因?yàn)?，所以在第三象限?nèi)作出角的終邊如圖(2)所示交單位圓于點(diǎn)P用類似(1)的方法作圖，可得圖(2)中的有向線段MP，OM，AT分別為角的正弦線、余弦線、正切線10求下列函數(shù)的定義域(1)ylg.(2)y.解：(1)為使ylg有意義，則sin x0，所以sin x，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，所以2kx2k，kZ.所以原函數(shù)的定義域是.(2)為使y有意義，則3tan x0，所以tan x，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，所以kxk，kZ，所以原函數(shù)的定義域是.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列三個(gè)命題：與的正弦線相等；與的正切線相等；與的余弦線相等其中正確命題的

10、個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D0解析：選B和的正弦線關(guān)于y軸對稱，大小相等，方向相同；和兩角的終邊在同一條直線上，因而所作正切線相等；和的余弦線方向不同2若是三角形的內(nèi)角，且sin cos ，則這個(gè)三角形是()A等邊三角形 B直角三角形C銳角三角形 D鈍角三角形解析：選D當(dāng)0時(shí)，由單位圓中的三角函數(shù)線知，sin cos 1，而sin cos ，必為鈍角3如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 解析：選A如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT，很容易地觀察出OMMPAT，即cos sin tan .4使sin xcos x成立的x的一個(gè)變化區(qū)間是()A BC D0，解析：選A如圖，畫出三角函數(shù)線sin xMP，cos xOM，由于sincos，sin cos ，為使sin xcos x成立，則由圖可得x.5sin ，cos ，tan 從小到大的順序是_解析：由圖可知：cos 0，sin 0.|MP|AT|，sin tan .故cos sin tan .答案：cos sin tan 6若02，且sin .利用三角函數(shù)線，得到的取值范圍是_解析：利用三角函數(shù)線得的終邊落在如圖所示AOB區(qū)域內(nèi)，所以的取值范圍是.答案：7利用單位圓中