大學(xué)文科數(shù)學(xué)第二章課件.ppt

1、第二章 微積分的直接基礎(chǔ)-極限,第一節(jié) 數(shù)列極限,主要內(nèi)容： 數(shù)列、數(shù)列極限的概念,早在兩千多年前，人們從生活、生產(chǎn)實(shí)際中產(chǎn)生了樸素的極限思想，公元前4世紀(jì)，我國(guó)的莊子就有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的名言.17世紀(jì)上半葉法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）創(chuàng)建解析幾何之后，變量就進(jìn)入了數(shù)學(xué).隨之牛頓（Newton、英國(guó)）和萊布尼茲（Leibniz、德國(guó)）集眾多數(shù)學(xué)家之大成，各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的里程碑.微積分誕生不久，便在許多學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用，大大推動(dòng)那個(gè)時(shí)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步.在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的自身理論不斷完善的過(guò)程，才建立了極限理論.可見(jiàn)“極限”是

2、微積分的基礎(chǔ).,阿基里斯追龜,一位古希臘學(xué)者芝諾（Zenon，公元前496前429）曾提出一個(gè)著名的“追龜”詭辯題.大家知道，烏龜素以動(dòng)作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說(shuō)中的英雄和擅長(zhǎng)跑步的神仙.芝諾斷言：阿基里斯與龜賽跑，將永遠(yuǎn)追不上烏龜！,假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏龜，阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)B，當(dāng)他到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到B1點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)B1點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到B2點(diǎn)，如此等等.當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過(guò)的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離.因此，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)模?讓我們?cè)倏匆豢礊觚斔哌^(guò)的路程:設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前?0米.當(dāng)阿基里斯跑

3、了10米時(shí)，龜已前進(jìn)了1米；當(dāng)阿基里斯再追1米時(shí)，龜又前進(jìn)了0.1米，阿再追0.1米，龜又進(jìn)了0.01米.把阿基里斯追趕烏龜?shù)木嚯x列出，便得到一列數(shù)： 10，1，0.1，0.01，102n，這稱為數(shù)列，an 102n 為通項(xiàng)，數(shù)列常簡(jiǎn)記為 an .所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過(guò)的路程為,所以，阿基里斯只要堅(jiān)持跑到11.2米的路程就可以追上烏龜！,然而芝諾將這樣一個(gè)直觀上都不會(huì)產(chǎn)生懷疑的問(wèn)題與無(wú)限糾纏在一起，以至于在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不得不把“無(wú)限”排除在數(shù)學(xué)之外.直到19世紀(jì)，當(dāng)反應(yīng)變量無(wú)限變化極限理論建立之后，才可用極限理論回答芝諾的挑戰(zhàn).,一列數(shù)： 10，1，0.1，0.01，102n，稱為數(shù)列

4、. 102n為通項(xiàng).,初始長(zhǎng)度為：1,一、數(shù)列的極限（問(wèn)題的引入）：,在莊子天下篇中有截丈問(wèn)題的精彩論述：,第一天剩的長(zhǎng)度為：,截丈問(wèn)題：,一尺之棰，日取 其半，萬(wàn)世不竭.,第二天剩的長(zhǎng)度為：,截丈問(wèn)題：,一尺之棰，日取 其半，萬(wàn)世不竭.,第三天剩的長(zhǎng)度為：,截丈問(wèn)題：,一尺之棰，日取 其半，萬(wàn)世不竭.,第四天剩的長(zhǎng)度為：,截丈問(wèn)題：,一尺之棰，日取 其半，萬(wàn)世不竭.,這樣可以看出第n 天剩的長(zhǎng)度為：,一尺之棰，日取 其半，萬(wàn)世不竭.,于是得到了數(shù)列:,當(dāng)n 越來(lái)越大時(shí),棰越來(lái)越短,逐漸趨于0. 再看一下整個(gè)過(guò)程.,舉例:,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:,數(shù)列極限的定義(定性描述):,

5、若該數(shù)列不以任何常數(shù)為極限，則稱這個(gè)數(shù)列發(fā)散.,也稱該數(shù)列收斂.,這個(gè)定義是在運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上憑借幾何圖像產(chǎn)生的直覺(jué)用自然語(yǔ)言作出的定性描述.,注： 中各項(xiàng)均為相同的數(shù)（常數(shù)) 1,我們 把這樣的數(shù)列稱作常數(shù)列.因?yàn)椴徽?n 取 何值，每項(xiàng)都是1，因此該數(shù)列的極限是 1., 2, 4, 6, , 2n, , 1, 1, ,1, 1,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是:,數(shù)列有以下幾種變化趨勢(shì):,數(shù)列的變化 趨勢(shì),下面我們直觀的看一下極限的定義,在數(shù)學(xué)中一定要力避幾何直觀可能帶來(lái)的錯(cuò) 誤，因此作為微積分邏輯演繹基礎(chǔ)的極限概念， 必須將憑借直觀產(chǎn)生的定性描述轉(zhuǎn)化為用形式 化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的，超越

6、現(xiàn)實(shí)原型的理想化 的定量描述.,播放,當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,圖形演示,“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)它.,如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.,定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多 么?。┛偞嬖谥鄳?yīng)正整數(shù)N，使得滿足nN的 一切n，不等式,注：,該數(shù)列有一定的發(fā)展趨勢(shì)趨向于無(wú)窮大，并不收斂，所以 2n 無(wú)極限.為敘述方便，可以說(shuō) 2n 的極限是+.,因?yàn)閚 時(shí)，2n 逐漸變得無(wú)窮大，并不趨近于 某個(gè)常數(shù).但由于

7、2n 的變化趨勢(shì)是逐漸增大的， 所以又可認(rèn)為該數(shù)列趨于無(wú)窮大.即,第二節(jié) 函數(shù)的極限,主要內(nèi)容： 一、函數(shù)極限的概念 二、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量 三、極限的四則運(yùn)算及兩個(gè) 重要極限,一、 時(shí)（自變量趨于有限數(shù)）,有關(guān)函數(shù)極限的說(shuō)明：, 函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值是否存在，以及取值是多少并沒(méi)有關(guān)系., 函數(shù)在該點(diǎn)的極限只與函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)有關(guān)系.,對(duì)于任意的,存在,幾何解釋:,注意：,例1,證明,例2,證明,即常數(shù)的極限就是該常數(shù).,二、 時(shí)（自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的情形）,在x時(shí)，sinx并不向某個(gè)點(diǎn)逼近，所以無(wú)極限.,四、函數(shù)極限的性質(zhì),五、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量,1) 無(wú)窮大量

8、,注:無(wú)窮大是變量,并不是非常大的有限數(shù).,注意:,（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú) 界變量未必是無(wú)窮大.,（2）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆.,（3）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).,注：,2)無(wú)窮小量,例,變量、極限與無(wú)窮小量的關(guān)系定理:,1、有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量.,無(wú)窮小量的性質(zhì)：,例,2、無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量.,3、無(wú)窮小量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量.,例,4、常量與無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量.,例,當(dāng) x 2時(shí),sin(x2 ) 是無(wú)窮小量，所以 3 sin(x2) 是當(dāng)x 2時(shí)的無(wú)窮小量.,無(wú)窮小與無(wú)窮

9、大的關(guān)系,在 x 變化同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.,意義: 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.,無(wú)窮小量,無(wú)窮大量,如,定理,推論1,這意味著,常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)的外面.,六、極限的四則運(yùn)算,推論2,這意味著,求一個(gè)函數(shù) n 次冪的極限等于該函數(shù)極限值的n 次冪.,例,代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和.,在對(duì)商求極限時(shí),若分母不為0，商的極限等于先求極限后,再做除法.,例,要看分子,分母能否因式分解，并約分.,當(dāng)分母的極限為 0 的情形，,例,1. 要看能否因式分解；,對(duì)于分母求極限為0的情形，,2. 考慮利用無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大這一性質(zhì).,

10、例,例,解,無(wú)窮小量分出法,比如：,解,例,有理化法,1),七、兩個(gè)重要的極限,其中，,2),第三節(jié) 極限應(yīng)用的一個(gè)例子-連續(xù)函數(shù),主要內(nèi)容： 一、連續(xù)函數(shù)概念 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一、連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象.,增量的定義 設(shè)函數(shù) y = f (x)的定義域是X,當(dāng) 自變量從定點(diǎn) x0 變化到新的點(diǎn)x 時(shí),它們的差 稱為自變量的增量(或叫做改變量).記做,注意:x可能是正的,也可能 是負(fù)的.比如：,下面的問(wèn)題幫助我們理解連續(xù)的定義：,連續(xù)函數(shù)的定義,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,這個(gè)定義可以幫助理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù) 的本質(zhì)： 自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值的變化也很小.,在考慮函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，我們一般分三步考慮：,例1 證明 y = sinx 在定義域內(nèi)連續(xù).,由于,于是,證,因此 y = sinx 在定義域內(nèi)連續(xù).,于是,f (x),函數(shù)的間斷點(diǎn),從圖形中可以看出 x = 1是分段點(diǎn),二、連續(xù)函數(shù)求極限的法則,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,例如,四則運(yùn)算的連續(xù)性,反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù) 反函數(shù).,推論 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,該定理表明極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換.