統(tǒng)計(jì)量及其分布.ppt

1、第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù)：,1.試驗(yàn)設(shè)計(jì)和抽樣調(diào)查設(shè)計(jì)，即研究如何更有效更合理地獲得數(shù)據(jù)；2.統(tǒng)計(jì)推斷，即研究如何分析數(shù)據(jù)，對(duì)所研究的問(wèn)題作出盡可能精確、可靠的結(jié)論.,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)或試驗(yàn),收集整理統(tǒng)計(jì)資料,對(duì)研究對(duì)象作出推斷,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)概述,本章內(nèi)容,6.1 總體與樣本,6.2 統(tǒng)計(jì)量,6.3 抽樣分布,6.4 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),6.1 總體與樣本,總體：所研究對(duì)象的全體構(gòu)成的集合.,個(gè)體：總體中的每一個(gè)元素.,例：考察某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的壽命.,例：考察某大學(xué)學(xué)生的身高與體重.,總體=？個(gè)體=？,總體=？個(gè)體=？,1.定義,一、總體和個(gè)體,(1)總體和個(gè)體具有兩重性：一

2、方面指所研究的實(shí)體；另一方面又指實(shí)體的特征指標(biāo).,注：,(2) 有限總體與無(wú)限總體.,總體包含有限個(gè)個(gè)體,2.總體的隨機(jī)變量表示及總體的分布,總體就是隨機(jī)變量.可以是一維的，可以是二維的.,考察某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的壽命. 記作X； X的每一個(gè)取值就是一個(gè)燈泡的壽命.,考察某大學(xué)學(xué)生的身高與體重.總體(X,Y), X“身高”，Y“體重”.,總體的分布就是隨機(jī)變量的分布.,以后所研究的總體多是正態(tài)總體.,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：設(shè)取自總體X的樣本(X1, X2, , Xn)滿足: (1) 每個(gè)Xi 與總體X同分布（代表性）; (2) X1, X2, , Xn相互獨(dú)立（獨(dú)立性）. 則稱 樣本(X1, X2,

3、, Xn) 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱為樣本.,樣本二重性：,注,在有限總體中要得到簡(jiǎn)單樣本, 必須進(jìn)行重復(fù)抽樣.但當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)相對(duì)于樣本容量充分大時(shí)，不重復(fù)抽樣得到的樣本也可近似看作簡(jiǎn)單樣本.,隨機(jī)抽樣：從總體X中抽取部分個(gè)體的過(guò)程.簡(jiǎn)稱抽樣.,樣本與樣本容量：抽取的部分個(gè)體(抽樣的結(jié)果）叫樣本；所含 個(gè)體的個(gè)數(shù)叫樣本容量.記為(X1, X2 , ,Xn),二、樣本,容量為n 的樣本 (X1, X2, , Xn),由于試驗(yàn)的隨機(jī)性，樣本是n維隨機(jī)變量,試驗(yàn)后,( x1, x2, xn ),數(shù)據(jù)=樣本觀測(cè)值n維常數(shù)向量,統(tǒng)計(jì)推斷:分析樣本數(shù)據(jù) 對(duì)總體的分布作出結(jié)論,樣本從總體帶出的信息 是分散的、

4、零亂的,統(tǒng)計(jì)量,設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，(X1, X2, , Xn)是來(lái)自總體的樣本， 則(X1, X2, , Xn)的分布函數(shù)為,連續(xù)型: X f(x)，則樣本 (X1, X2, , Xn) 的密度函數(shù)為：,三、樣本的分布,離散型：XP(X=xi)=pi i=1,2,則樣本(X1 ,X2 ,Xn)的分布為：,F( x1, x2, , xn ) = F(x1) F(x2) F( xn),P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=P(X=x1)P(X=x2)P(X=xn),f (x1,x2, , xn) = f(x1) f(x2) f( xn),設(shè)(X1, X2, , Xn)為來(lái)自總體 X

5、 的容量為n 的樣本,h(x1, x2, , xn) 為不含未知參數(shù)的n 元實(shí)值函數(shù)，則 T = h(X1, X2, , Xn) 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為統(tǒng)計(jì)量.,6.2 統(tǒng)計(jì)量,注 ：（1）統(tǒng)計(jì)量是樣本的已知函數(shù)，不含任何未知參數(shù). （2）把樣本觀測(cè)值代入統(tǒng)計(jì)量，得到統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值.故統(tǒng)計(jì)量 也具有二重性.,一、統(tǒng)計(jì)量的定義,例2 當(dāng)總體 XN( , 2) ，其中參數(shù) , 2 未知時(shí),不是統(tǒng)計(jì)量,例1,當(dāng)參數(shù) 已知, 2 未知時(shí)，結(jié)論如何？,都是統(tǒng)計(jì)量,二、常用統(tǒng)計(jì)量,定義 設(shè)樣本 (X1, X2, , Xn) 來(lái)自總體 X，常用統(tǒng)計(jì)量：,樣本均值:,樣本方差：,樣本k階原點(diǎn)矩：,樣本k階中心矩

6、：,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 :,樣本均值和樣本方差的性質(zhì),證：由于(X1, X2, , Xn) 是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，所以EXi=EX= ， DXi=DX= 2 (i=1, 2, , n)，而且有,自由度表示獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù),6.3 抽樣分布,（1）定義：若X的密度函數(shù)為：,1.2 分布,一、 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的三個(gè)重要分布,則稱X服從 自由度為 n 的2分布. 記為 X 2(n).,（2）有關(guān)2分布的結(jié)論,20 若 X2(n),Y2(m),且X與Y相互獨(dú)立, 則 X+Y 2 (n+m).,10 若隨機(jī)變量XN( 0, 1 )，則X2 2( 1 ) .,40 若 X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，同服從于正態(tài)分布N

7、( i , i2)，則,30 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立,且同服從N( 0, 1 )， 則2 = X12+X22+ +Xn2 2(n).,構(gòu)造性定義,（3）2分布的臨界值（上 分位點(diǎn)）,例：,3.94,2. t 分布,（1）定義：若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則稱X服從,可以證明，當(dāng)自由度n無(wú)限增大時(shí)，t分布將趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,判定：,構(gòu)造性定義,(2) t 分布的臨界值（上 分位點(diǎn)）,例：,1. 397,例 若 XN ( , 2)，Y/ 2 2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，證明：,證明：,且X與Y相互獨(dú)立,所以,3. F 分布,則稱X服從第一自由度為n1 ，第二自由度為n2 的F分布.,定義

8、,則,構(gòu)造性定義,例 設(shè)(X1,X2,X6)來(lái)自XN(0,2)，則( ) F(2,4).,解：,二、正態(tài)總體下的抽樣分布兩個(gè)定理五個(gè)結(jié)論.,1.樣本線性函數(shù)的分布,定理1 設(shè)Y = a1X1+ a2X2+ a n X n ，則,以下假設(shè)樣本（X1 , X2 ， ，X n ）來(lái)自正態(tài)總體 XN(, 2),其中 a1, a2, , an 為不全為零常數(shù).,重要結(jié)論1,設(shè)(X1 , X2 ， ，X n )取自 XN( , 2)，,則,2.樣本均值和樣本方差的分布,定理2 設(shè)X N( , 2)，樣本(X1, X2, , Xn)取自總體X ， 則,重要結(jié)論2,且相互獨(dú)立,設(shè)樣本(X1, X2, , Xn)取自總體X N( , 2)，,則,證：,3.兩正態(tài)總體的抽樣分布,設(shè)樣本(X1,X2, ,X n)來(lái)自正態(tài)總體XN(1 ,12), (Y1, Y2, , Y n2) 來(lái)自正態(tài)總體YN(2 ,